線性解的分析與修正

4-1 線性理論的結果與分析

為了驗證根據前章以輸入孤立波造波板運動方程式作為初始條 件推求而得的暫態解，本節取水槽長度為 36m，水深為 0.3m，波高 為 0.03m 為孤立波造波之測試條件。根據（3-8）式與（3-9）式，其 對應之線性化造波板位移及速度對時間之關係圖如圖 4-1 與圖 4-2 所示。

圖 4-3 至圖 4-7 為在不同時間時瞬時水面波形與理論解之比較 圖，由此一系列圖可以明顯看出孤立波造波時的水面變化。在造波初 期（圖 4-3），造波板位移僅有微量變化（參考圖 4-1、圖 4-2），至圖 4-4 時，造波板速度急遽增加，水面也因此跟著逐漸抬升，此時造波 板位移曲線位於反曲點，造波板速度達到最大值，至圖 4-5，造波板 速度逐漸遞減至 0，水面抬升量亦跟著下降，圖 4-6 在t =τ 時造波板 靜止，波浪自由向水槽尾端傳遞（如圖 4-7）。由圖中亦可發現，由於 分散效應的影響，計算而得的波形相較理論解隨時間增加有分散而拉 長的現象，波形亦略有偏斜的現象，同時，在造波過程中波形尾端即 有尾波的產生，且隨時間而增大，其整體波速也較理論波速慢。

Boussinesq 方程式與其延伸之 KdV 方程相當適合用來探討淺 水長波的運動特性，此點已經被許多文獻證實（可參考 Svendsen，

2006），而根據 Boussinesq 方程式的基本假設：

( )

1

2 ≈O μ

δ (4-1)

式中δ =H h代表相對波高，μ =h L為相對水深。一般在文獻中多以δ 代表波浪非線性效應強弱與否，而以μ代表分散性的多寡。此假設意 指δ 與μ²必須非常接近，且由於 Boussinesq 方程式為一以δ 及μ為微 小參數展開之三階方程式，δ 與μ必均為小值，Boussinesq 方程式之 解才會與現實狀況相符，而孤立波即為此假設下的一個水面波形解，

故在波形不變的前提下，孤立波可視為是由於非線性項引起之變形效

應與分散關係造成之擴展效應相抵消而成的定常波形波浪。

前節所提出之線性理論解並未考慮非線性項，且因為對整個水槽 的自由水面以 Fourier 級數展開之緣故，其成份波之波長可視為：

n l l

k_n n _n 2

=

⇒

= π λ

(4-2) 由（4-2）式中可知成份波波長由 2l 至無限小遞減，週波數 k 則 隨成份波數 n 增加而遞增。由第二章理論推導過程中得到之分散關係 式：

( )

k h Tanh gk_{n n}

n² =

ω (4-3)

可知由於成份波波長變化極大之緣故，造成強烈之分散效應而導致前 文所述之尾波與波形歪斜，此結果亦與孤立波的原始假設不符合。

線性波理論波速為：

( )

k h k Tanh

g

c k _n

n n n

n = ₂ =

2

2 ω

(4-4)

在長波時，kh→0，故c= gh。與孤立波理論波速^{c= g}

(

^h+H

)

比 較之下，可知由於未考慮非線性項的緣故，線性波速將會較非線性波 速慢。

圖 4-1 造波板位移曲線

（l =36m，H =0.03m，h=0.3m）

圖 4-2 造波板速度曲線（條件同圖 4-1）

圖 4-3 計算結果與理論波形的比較

（l=36m，H =0.03m，h=0.3m，t=0.25τ ）

圖 4-4 計算結果與理論波形的比較（條件同圖 4-3，t=0.5τ）

圖 4-5 計算結果與理論波形的比較（條件同圖 4-3，t=0.75τ ）

圖 4-6 計算結果與理論波形的比較（條件同圖 4-3，t =τ ）

圖 4-7 計算結果與理論波形的比較（條件同圖 4-3，t=2τ ）

4-2 線性理論的修正

由前節之討論，可以歸納出本文線性解析解存在兩個問題：

1. 整體波速較非線性波慢。

2. 由於分散效應過強，導致波形產生與現實不符的變化，同時 與實際淺水長波為弱分散性的認知相違悖。

此二問題都與非線性有關，為了求取更正確的解，可能需要較高 階的解析，但由於第三章推導之孤立波線性解析解的型式中含有 hypergeometric 函數，難以用攝動法（perturbation method）的形式推 展至高階以探究非線性的影響。

Zhang 與 Schäffer（2004）在其數值造波研究中，曾以修正其分 散關係來減少其方程式中高頻波的效應，以符合所套用之 Boussinesq 數值模式之水深限制。為了修正線性解析解與理論孤立波在分散性假 設的差異，本文參考 Zhang 與 Schäffer（2004）的方法，將原解析解

中之線性分散關係式改寫為：

關於波速較理論波形慢的問題，則參考線性化之 Boussinesq 方 程式之分散關係需經過修正以減少其在相對水深(H h)增加後造成之 Hedges，1987）。

二階的 Stokes 分散關係式為：

(

D

)

Tanh

( )

kh

gk ²

2 1 ε

ω = + (4-7a)

式中： Dalrymple，1986）。為了克服水深限制，Kirby 與 Dalrymple（1986）

平滑地連結二階 Stokes 分散關係式與 Hedges（1976）的淺水分散關 係式，提出了一個同時適用於深水和淺水的分散關係式為：

Hedges（1987）改良（4-9）式在 kh 為小值時結果會不準確的問 題，提出了新的聯合分散關係式：

Kirby 與 Dalrymple（1987）同樣提出了新的聯合分散關係式：

( )

_⎟^⎟

Tanh kh D

Li 與 Tao（2004）修正前人提出之聯合分散關係式，以減少其對 二階 Stokes 分散關係式在中間水深時的相對誤差： 以為了計算方便，選取 Hedges（1976）之淺水非線性分散關係式做 為修正線性理論的修正依據，故（4-5）式可改寫為：

圖 4-8 非線性分散關係比較

圖 4-9 長波條件下之非線性分散關係比較

4-4 計算結果與討論

4-4-1 修正線性解計算結果

將（4-14）式套用回原孤立波解析解即可得到修正後之線性解。

圖 4-10 至圖 4-14 為在造波中（t<τ）至結束後（t ≥τ ）水面波浪傳 遞的情形，由於減弱其分散效應以及納入非線性分散關係的影響，與 未修正之前的結果比較，可發現其尾波大幅減少，波速亦與理論波速 相近，但在傳遞過程中由於弱分散性依然存在的緣故，其尾波剛開始 並不明顯，但隨著傳遞距離變長仍會逐漸增大，波高亦會因此隨著傳 遞距離而逐漸衰減。但在波浪傳遞時間增加後，波形前端會產生水面 抬升的現象，波形與理論解亦有一位相差。

4-4-2 修正線性解之收斂性與質量守恆

前面於第二章已經討論過線性解的收斂特性，對於修正線性解之 收斂性測試可參考圖 4-15。由於水槽長度較短，此修正線性解之係數 C₁n與C_2n在約 40 項時值即小於 10^-6，在約 110 項時值即小於 10^-8。考 量級數收斂時係數疊加對收斂值的影響，若以t =3τ，x=60h做為測試 條件，在相對誤差小於 0.01%的要求下，僅需要 63 項即能達到收斂 之要求。

根據質量守恆定理，水槽中之水體積需為一定值，線性解之部份 已於第二章證明，而修正過之線性解可藉由於造波板運動所抬升之水 體積需與水槽內增加之水體積相等判定質量守恆與否，以數學式表達 如下：

( )

^{t h}

( )

^{x tdx}

X0 ⁼

∫

0^lη , (4-15)

圖 4-16 為造波過程中造波板推移之水體積與水面抬升之水體積 比較，可見經過修正後之解依然能符合質量守恆定律。

4-4-3 波高衰減與尾波效應

圖 4-17 為波浪於不同相對波高H h時，通過水槽不同位置（30h、

45h、60h、75h、90h）的孤立波波峰高度H'與第一個尾波波高a'與之 百分比值，圖 4-18 則為波浪在不同相對波高時通過水槽不同位置（條 件同上）的波峰高度H'與理論波高H的衰減率，對於H、H'、a'等符 號的定義方式，則可參考圖 4-19。

由圖 4-17 與 4-18 中可以發現非線性效應對尾波波高以及波峰之 影響，會隨非線性效應增加而提高，此結果與 Goring 與 Raichlen

（1980）、Katell 與 Eric（2002）等人之實驗結果相近，但 Goring 與 Raichlen（1980）、Katell 與 Eric（2002）分別提出造成尾波的可能原 因為水中摩擦力之影響，Katell 與 Eric（2002）之研究中曾利用 Keulegan 公式（1948）推估由黏滯力造成之波高衰減量，而公式預測 之平均衰減量較實驗結果為低，故必有其它造成波高衰減之原因；

Goring 與 Raichlen（1980）亦曾建議將造波時間（參考 3-7 式）增加 10%，可有效減少尾波產生，推測可能因為造波過程不可能完全滿足 其波長與周期均為無限大的特性，其波形在傳遞的過程由於仍有其它 成份波存在，故必然會發生變形，但對其尾波變形尚需要進一步的試 驗比較。

圖 4-10 修正後計算結果與理論波形的比較

（l=36m，H =0.03m，h=0.3m，t=0.75τ ）

圖 4-11 修正後計算結果與理論波形的比較

（造波條件同圖 4-11，t =τ ）

圖 4-12 修正後計算結果與理論波形的比較

（造波條件同圖 4-11，t=1.5τ ）

圖 4-13 修正後計算結果與理論波形的比較

（造波條件同圖 4-11，t=2τ）

圖 4-14 修正後計算結果與理論波形的比較

（造波條件同圖 4-11，t =3τ）

圖 4-15 修正線性級數解係數收斂情形

（造波條件同圖 4-11）

圖 4-16 造波過程中造波板推移之水體積與自由水面抬升之水體積 比較（條件同圖 4-11，t ≤τ ）

圖 4-17 在不同位置（x=30h、45h、60h、75h、90h）計算通過波峰 振幅與第一個尾波波高之相對百分比

（l=36m，h=0.3m，h/H =0.1~0.3）

圖 4-18 波峰衰減之相對百分比，造波條件同圖 4-18

圖 4-19 理論孤立波波高、行進波波高與尾波高度之示意圖

在文檔中 有限長度水槽中孤立波造波與傳遞過程之修正線性解析 (頁 31-48)