二次曲線
試求滿足下列各條件的雙曲線方程式：
坽 兩焦點為 與 ，貫軸長為 。
夌 中心在原點，一焦點為 ，一頂點為 。
試求雙曲線 的焦點、頂點坐標及漸近線方程式 。
試求兩焦點為 及 ，共軛軸長為 的雙曲線方程式 。
試 求 滿 足
的 所 有 點，所形成的雙曲線標準式 。
《提示》 令 點坐標為 、、，則原方程式表示
。
試 求 過 點， 且 兩 漸 近 線 為 與 的 雙 曲 線 方 程式 。
試求雙曲線
的頂點、焦點坐標及漸近線方程式。
化雙曲線 為標準式，並求貫軸長、共軛軸 長及正焦弦長 。
習 題 2-5
2-1重點
1. 圓的標準式：
以 為圓心，半徑是 的圓方程式為 。
2. 圓的直徑式：
設、，則以線段 為直徑的圓方程式為 。
3. 圓的一般式：
坽 當 時：
方程式的圖形為一圓，圓心是
，半徑 。 夌 當 時：方程式的圖形為一點，即點
。奅 當 時：方程式沒有圖形 。
4. 點與圓的位置關係：
設點，圓 ：，則 坽 在圓 的外部 + 。
夌 在圓 上 + 。
奅 在圓 的內部 + 。
2
二次曲線
2-2重點
1. 圓與直線的位置關係：
設圓： ，直線：
又
（圓心 與直線 的距離）
坽 當 時：圓 與直線 不相交（即相離）。
夌 當 時：圓 與直線 恰有一交點（即相切）。
奅 當 時：圓 與直線 交於相異兩點（即相割）。
2. 圓與直線相割的弦長：
設圓 與直線 相交於 、 兩點，
圓心與直線 的距離為 ，則 。
3. 過圓上一點（切點）的切線方程式：
利用過切點的半徑與切線互相垂直，斜率乘積等於，求出切線方程式 。
4. 過圓外一點的切線方程式：（有二解）
設 為圓外一點，則切線可設為 ：，
利用圓心到切線的距離等於半徑，求出 值（應有二解），
若 只有一解，則另一切線斜率不存在，其方程式為 。
5. 圓的切線段長：
坽 自點 到圓 ： 的切線段長為 。
圖 2-31
2-3重點
1. 拋物線的定義：
設 是平面上的一直線， 為同一平面上但不在直線 上的一定點，則平面 上到點 與到直線 等距離的所有點 （即 ）所形成的圖形稱 為拋物線，其中直線 與點 分別稱為拋物線的準線與焦點 。
拋物線的正焦弦長 （焦點與準線的距離）（焦距）。
3. 頂點為原點 (0 0)，焦點在坐標軸上的拋物線：
標準式 圖形
2
二次曲線
4. 頂點為 ，對稱軸平行坐標軸的拋物線：
標準式 圖形
5. 拋物線的一般式：
坽 對稱軸平行 軸的拋物線方程式為 （其中 ≠ ）。
夌 對稱軸平行 軸的拋物線方程式為 （其中 ≠ ）。
2-4重點
1. 橢圓的定義：
設、 為平面上相異二點， 為一正數且 ，則平面上到 、 兩點距離和為 的所有點 （即 ）所形成的圖形稱為橢圓，
而定點 和 稱為橢圓的焦點 。
2. 中心為原點 (0 0)，焦點在坐標軸上的橢圓：
標準式 圖形
（ 且
）
長軸長：
短軸長：
正焦弦長：
（ 且
）
長軸長：
短軸長：
正焦弦長：
2
二次曲線
3. 中心為 ，長、短軸平行坐標軸的橢圓：
標準式 圖形
（ 且 ）
（ 且 ）
2-5重點
2
二次曲線
3. 中心為 ，貫軸、共軛軸平行坐標軸的雙曲線：
標準式 圖形
（）
（）
（ ） 的圖形為一圓，則圓心坐標為
酎 酏
釕
釢
。 【2-1】（ ） 設 為實數，若圓 的半徑為 ，則
酎 酏 釕
釢
。 【2-1】
（ ） 設 為實數，若方程式 的圖形為一圓，則 的範圍為 酎 或 酏 釕 釢 或
。 【2-1】
（ ） 以二直線 ： 與 ： 的交點為圓心，且過 點 的圓方程式為 酎
酏 釕
釢 。 【2-1】
（ ） 一圓通過 及 兩點，且圓心在 軸上，則圓方程式為 酎 酏 釕
釢 。 【2-1】
《提示》設圓方程式為，因為圓心
在 軸上，故得 。（ ） 設 為實數，若直線 與圓 相切，則
酎 ! 酏 ! 釕 ! 釢 ! 。 【2-2】
（ ） 過圓 上一點 的切線方程式為 酎 酏 釕 釢 。
【2-2】
（ ） 設 為實數，若圓 與 軸相切，則 酎
酏 釕 釢 。 【2-2】
2
（ ） 橢圓 的兩焦點距離為 酎 酏
2
二次曲線
（ ） 設雙曲線通過原點，且兩漸近線為 及 ，
則此雙曲線方程式為 酎 酏
釕 釢 。 【2-5】
（ ） 設 為實數，若方程式
的圖形是貫軸平行
軸的雙曲線，則 的範圍為 酎 酏 釕 或
釢 。 【2-5】