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2-5.2 雙曲線的標準式

在文檔中 第2章(二次曲線) (頁 59-72)

接著,我們利用平面坐標來導出雙曲線的方程式,再根據方程式來探討雙 曲線的性質 。

 中心為原點 ,焦點在  軸上的雙曲線:

設雙曲線的兩焦點坐標為 與 ,如下圖  所示 。

圖 2-25

設 為雙曲線上任意一點,由雙曲線的定義知(此時 因,故得 ),

亦即

  

,

去絕對值移項得    !,

兩邊平方得 !  , 移項整理得 ! 

將兩邊再平方得, 移項化簡得,

兩邊同除以 得

 

 ,

取  (即),則上式可寫成

 

。

2

例題 試求兩焦點為 與 ,貫軸長為  的雙曲線方程式 。 解  因為兩焦點為 與 ,

  故知焦點在 軸上,中心為原點,

  又貫軸長,即 ,

  ,故得 ,

  則    ,   由雙曲線標準式 

 



知,

  所求方程式為 

  

 。

隨 堂 練 習

試求兩焦點為 與 ,貫軸長為  的雙曲線方程式 。

 中心為原點 ,焦點在  軸上的雙曲線:

設雙曲線的兩焦點坐標為 及 ,如下圖  所示。仿照前 面的討論方式,我們可得雙曲線的方程式為

 

(其中  ),

同樣可得頂點坐標為 及 ,貫軸長為 ,共軛軸長為 ,正焦弦 長為 

 。

2

例題 試求雙曲線 的焦點、頂點坐標及正焦弦長 。

2

     雙曲線 

2

二次曲線

例題 試求雙曲線 

  

  的漸近線方程式 。

解   

  

  可化為 ,

  令常數項為,得 ,

  即,

  故所求漸近線方程式為

  : 和 :。

隨 堂 練 習  試求雙曲線 

  

  的漸近線方程式 。

在討論雙曲線的漸近線時,令雙曲線方程式的常數項為,可導出漸近線方 程式 。反之,若知道雙曲線的漸近線方程式,再配合其他條件,亦可迅速求出 雙曲線方程式 。

例題 已知一雙曲線的漸近線為 及 ,又過點 ,試 求此雙曲線方程式 。

解  已知二漸近線為 及 ,

  則 與雙曲線方程式僅一常數之差,

  故設雙曲線方程式為,

  點 代入得

  ,故得 ,

隨 堂 練 習

已知雙曲線過點 ,其二漸近線為  及 ,試 求此雙曲線方程式 。

  中心為,貫軸平行  軸的雙曲線:

先在坐標平面上描繪出中心為原點,焦點為  與  的雙曲 線C:

 

,再將 C 上的每一個點 沿著向量   平 移到點,得到中心為 ,焦點為  與  的雙曲 線 C,如下圖 所示 。

圖 2-29

當點 在雙曲線 C 上時,則點 在雙曲線 C:

 

 上,故得雙曲線 C 的方程式為 C:

 

。

由上面的討論我們得知,中心為 ,焦點為  與  的雙曲線 方程式為



 

。

此時,雙曲線的貫軸在 上,共軛軸在  上,且二漸近線為

2

上表中各雙曲線的中心都是,貫軸長為 ,共軛軸長為 ,正焦弦 長為

 。

     雙曲線

  

  的中心為 ,焦點為

 和 ,頂點為  和 。

例題 試求兩焦點為、,共軛軸長為  的雙曲線方程式 。 解  因為雙曲線兩焦點為 與 ,

  故知中心為,貫軸平行  軸且 ,

  又共軛軸長,即 ,

  則  ,

  由雙曲線標準式  



 



知,

  所求方程式為

  

 。

隨 堂 練 習

 試求兩焦點為、,貫軸長為  的雙曲線方程式 。

2

  所以焦點為、,

2

二次曲線

 試求滿足下列各條件的雙曲線方程式:

坽  兩焦點為    與   ,貫軸長為 。

夌 中心在原點,一焦點為 ,一頂點為 。

 試求雙曲線  的焦點、頂點坐標及漸近線方程式 。

  試求兩焦點為 及 ,共軛軸長為  的雙曲線方程式 。

  試 求 滿 足

  

 的 所 有 點

,所形成的雙曲線標準式 。

 《提示》 令 點坐標為 、、,則原方程式表示

。

  試 求 過 點, 且 兩 漸 近 線 為  與  的 雙 曲 線 方  程式 。

 試求雙曲線 

  

 的頂點、焦點坐標及漸近線方程式。

  化雙曲線 為標準式,並求貫軸長、共軛軸 長及正焦弦長 。

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