接著，我們利用平面坐標來導出雙曲線的方程式，再根據方程式來探討雙 曲線的性質 。
中心為原點 ，焦點在 軸上的雙曲線：
設雙曲線的兩焦點坐標為 與 ，如下圖 所示 。
圖 2-25
設 為雙曲線上任意一點，由雙曲線的定義知（此時 因，故得 ），
亦即
，去絕對值移項得 !，
兩邊平方得 ! ， 移項整理得 ! ，
將兩邊再平方得， 移項化簡得，
兩邊同除以 得
，
取 （即），則上式可寫成
。
2
例題 試求兩焦點為 與 ，貫軸長為 的雙曲線方程式 。 解 因為兩焦點為 與 ，
故知焦點在 軸上，中心為原點，
又貫軸長，即 ，
，故得 ，
則 ， 由雙曲線標準式
知，所求方程式為
。
隨 堂 練 習
試求兩焦點為 與 ，貫軸長為 的雙曲線方程式 。
中心為原點 ，焦點在 軸上的雙曲線：
設雙曲線的兩焦點坐標為 及 ，如下圖 所示。仿照前 面的討論方式，我們可得雙曲線的方程式為
（其中 ），
同樣可得頂點坐標為 及 ，貫軸長為 ，共軛軸長為 ，正焦弦 長為
。
2
例題 試求雙曲線 的焦點、頂點坐標及正焦弦長 。
2
雙曲線
2
二次曲線
例題 試求雙曲線
的漸近線方程式 。
解
可化為 ，
令常數項為，得 ，
即，
故所求漸近線方程式為
： 和 ：。
隨 堂 練 習 試求雙曲線
的漸近線方程式 。
在討論雙曲線的漸近線時，令雙曲線方程式的常數項為，可導出漸近線方 程式 。反之，若知道雙曲線的漸近線方程式，再配合其他條件，亦可迅速求出 雙曲線方程式 。
例題 已知一雙曲線的漸近線為 及 ，又過點 ，試 求此雙曲線方程式 。
解 已知二漸近線為 及 ，
則 與雙曲線方程式僅一常數之差，
故設雙曲線方程式為，
點 代入得
，故得 ，
隨 堂 練 習
已知雙曲線過點 ，其二漸近線為 及 ，試 求此雙曲線方程式 。
中心為，貫軸平行 軸的雙曲線：
先在坐標平面上描繪出中心為原點，焦點為 與 的雙曲 線C：
，再將 C 上的每一個點 沿著向量 平 移到點，得到中心為 ，焦點為 與 的雙曲 線 C，如下圖 所示 。
圖 2-29
當點 在雙曲線 C 上時，則點 在雙曲線 C：
上，故得雙曲線 C 的方程式為 C：
。
由上面的討論我們得知，中心為 ，焦點為 與 的雙曲線 方程式為
。
此時，雙曲線的貫軸在 上，共軛軸在 上，且二漸近線為
2
上表中各雙曲線的中心都是，貫軸長為 ，共軛軸長為 ，正焦弦 長為
。
雙曲線
的中心為 ，焦點為
和 ，頂點為 和 。
例題 試求兩焦點為、，共軛軸長為 的雙曲線方程式 。 解 因為雙曲線兩焦點為 與 ，
故知中心為，貫軸平行 軸且 ，
又共軛軸長，即 ，
則 ，
由雙曲線標準式
知，所求方程式為
。
隨 堂 練 習
試求兩焦點為、，貫軸長為 的雙曲線方程式 。
2
所以焦點為、，
2
二次曲線
試求滿足下列各條件的雙曲線方程式：
坽 兩焦點為 與 ，貫軸長為 。
夌 中心在原點，一焦點為 ，一頂點為 。
試求雙曲線 的焦點、頂點坐標及漸近線方程式 。
試求兩焦點為 及 ，共軛軸長為 的雙曲線方程式 。
試 求 滿 足
的 所 有 點，所形成的雙曲線標準式 。
《提示》 令 點坐標為 、、，則原方程式表示
。
試 求 過 點， 且 兩 漸 近 線 為 與 的 雙 曲 線 方 程式 。
試求雙曲線
的頂點、焦點坐標及漸近線方程式。
化雙曲線 為標準式，並求貫軸長、共軛軸 長及正焦弦長 。