第2章(二次曲線)

(1)

第

章

二次曲線

2

(2)

2

二次曲線在各種曲線中，經常接觸到的較容易引起人們的興趣，其中以直線及圓算是最簡單也最常接觸到的。關於直線的方程式，我們已在第一冊討論過。另外，例如砲彈發射後行經的路徑為拋物線；地球繞太陽公轉的軌道為橢圓；質點受到排斥力作用後運動的軌跡為雙曲線。本章將就圓、拋物線、橢圓、雙曲線的特有性質，在平面直角坐標上

(3)

2-1

圓方程式

在平面上，與一定點等距離的所有點所成的圖形就是圓。定點稱為圓心，圓心與圓上任一點的距離稱為半徑。顯然，一個圓的圓心和半徑確定後，這個圓便可以完全決定。

2-1.1

圓的標準式

設坐標平面上有一圓，圓心是，半徑為 ，又 為圓上任一點，如圖  所示。則因 ，由距離公式可得 　 ，兩邊平方得_{}__……泝因此，圓上的點 都滿足方程式泝。反之，若平面上有一點__ _ 滿足方程式泝，則 _  _，即 _　  （ ）。故得__ _ 與    的距離為 ，所以點 __ _ 必落在以    為圓心，半徑為 的圓上。因此，我們稱泝式為圓的標準式。圓的標準式以 為圓心，半徑是  的圓方程式為  　　坽半徑  恆為正數。圖 2-1

(4)

2

二次曲線 　　　　　已知圓方程式，則此圓的圓心是 ，半徑為。

例

題

隨堂練習

　試求以點   為圓心，半徑為  的圓方程式。試求以點   為圓心，半徑為  的圓方程式。解　由圓的標準式知：所求圓方程式為　 　，　即　。

例

題

設點  、  ，試求以線段  為直徑的圓方程式。解　如圖所示：　直徑 的中點  為圓心， 坐標為　



_  _



  ，　又圓半徑　 　  　    ，　由圓的標準式知：所求圓方程式為　  ＋ 。　

隨堂練習

(5)

2-1.2

圓的直徑式

設__ _、__ _ 為平面上相異兩點，以線段 為直徑的圓方程式，除可利用上面例題 的解法外，亦可討論如下。若 是以線段 為直徑的圓上任一點（但 ≠  且 ≠ ），如圖 所示。圖 2-2 因為半圓所對的圓周角為直角，所以 +__

_

，因此 ⊥ 。又_ 的斜率 _  _， 的斜率  _ _（其中 且），故得__，亦即　　 _  _ _ ，整理得____，移項得____…… 沴當_ 斜率不存在時，_ 垂直  軸，而 _ 平行  軸，此時，_ 且 _，沴式照樣成立，而___、___ 也滿足方程式沴，表示其均在圓上。因此，我們稱沴式是以線段 __為直徑之圓的直徑式。設點___、___，則以線段 為直徑的圓方程式為 __　 　  圓的直徑式

(6)

2

二次曲線

例

題

設點、，試求以線段  為直徑的圓方程式。解　由圓的直徑式知：所求圓方程式為　 ，　即，　亦可乘開整理得　 。

隨堂練習

設點  、  ，試求以線段  為直徑的圓方程式。（利用直徑式求法）

2-1.3

圓的一般式

我們知道以 為圓心，半徑是  的圓方程式為 ，將上式展開得 ，若令，，，則可得 …… 沊凡是圓的方程式，都可化成沊式的形式。因此，我們稱沊式為圓的一般式。　　圓的方程式不含 項，且 _、 _{項的係數相等。} 雖然圓的方程式都可以表示為二元二次方程式

(7)

將方程式__{ 依 、 配成完全平方得}







_















_











_



 



_



 ，整理得



 _



 



 _



  _ ，即







 _



 







 _



  _ ___{…… 沝} 當 時：沝式的解，就是以



 _  _



為圓心，_ 　 　為半徑之圓上的點。當 時：沝式恰有一組實數解，即 



 _  _



。當 時：沝式無實數解。因此，可得結論如下：坽　當   時：　方程式 的圖形為一圓，圓心為



 __



，　半徑 _ 　 。夌　當   時：　方程式 的圖形為一點，即點



 _  _



。奅　當   時：　方程式 沒有圖形。公式所以，我們稱為圓的判別式。

(8)

2

二次曲線

例

題

試判別下列各二元二次方程式的圖形：坽 _： 夌 _： 奅 _： 解　利用圓的判別式：　坽　_：__{，} 　　則__{}_{}_{，} 　　　



     







   



 



，　　所以_ 的圖形為一點，即點。　夌　_：，　　即_：   ，　　則__{}__



_  



，　　　



     











 



  



，　　　 _ 　  _   _  ，　　所以_ 的圖形為一圓，圓心為，半徑為_  。　奅　_：，　　則，　　所以_ 沒有圖形。

隨堂練習

　試判別下列各二元二次方程式的圖形：坽 _： ：

(9)

例

題

設 為實數，若方程式  的圖形為一圓，試求  的範圍。解　由圓的判別式知：　 ，　即，　故得，　所以 的範圍為  或 。若方程式 的圖形為一點，試求實數 。

隨堂練習

例

題

試求下列各圓方程式的圓心及半徑：坽  夌  解　坽　_{，} 　　則，，，　　



     







     



，　　  _ 　  _  　  _  ，　　所以圓心為，半徑為 。

(10)

2

二次曲線　夌　，　　移項化簡得 _ ，　　則， _，，　　



     







       







  



，　　  _ 　  _ _



_  



     ，　　所以圓心為



  



，半徑為   。

隨堂練習

　試求下列各圓方程式的圓心及半徑：坽　 夌　 若__、__、__ 為平面上不共線的三點，則通過這三定點恰有一個圓，設其方程式為 ，因為、、 三點都在圓上，故它們的坐標分別滿足上式，即 ____ ____，     

(11)

例

題

試求通過、、 三點的圓方程式。解　設所求圓方程式為　 __{，} 　將、、 三點分別代入上式，得　　　　　　　　　　，　整理得　　　　　　　，　由泝  沴得 ，即 ，　將 代入泝及沊，得　　　由沝  沀得 ，即 ，　將 代入沝得 ，　因此，所求圓方程式為__{。}

隨堂練習

　試求通過、 及  三點的圓方程式。    　……泝 　……沴 　……沊 　 ……沝 　……沀

(12)

2

二次曲線

2-1.4

點與圓的位置關係

在平面上，一點 與圓  的位置關係有下列三種情形：圖 2-3 由上面的三個圖可以看出，當 點與圓心  的距離大於半徑時， 點落在圓的外部，如圖A 所示；當  點與圓心  的距離等於半徑時， 點落在圓上，如圖B 所示；當  點與圓心  的距離小於半徑時， 點落在圓的內部，如圖C 所示。設點__，圓 ：，則圓 的圓心為 ，又圓 化為一般式為 ：。坽　　當 點落在圓  的外部時：　　 ，則 ，　　故得__，　　亦即____ 。夌　　當 點落在圓  上時：　　 ，可得____。奅　　當 點落在圓  的內部時：　　 ，可得____。因此，我們得結論如下：設點__，圓 ：，則坽　 在圓  外部　+　____ 。公式

(13)

　　　　　若點 在圓 ： 的內部，則 。

例

題

設圓：，判別下列各點在圓的內部、外部或圓上？坽 _　　夌 _　　奅 _ 解　圓：。　坽　_ 代入圓  方程式，得　　 ，　　所以點_ 在圓  的內部。　夌　_ 代入圓  方程式，得　　 ，　　所以點_ 在圓  的外部。　奅　_ 代入圓  方程式，得　　 ，　　所以點_ 在圓  上。

隨堂練習

　設圓：，試判別下列各點在圓的內部、外部或圓上？坽 _　　夌 _　　奅 _

(14)

2

二次曲線

例

題

試求下列各點與圓： 的最近距離與最遠距離。坽 　　夌  解　坽　　 代入圓  方程式，得　　 ，　　所以點 在圓  的外部。　　　又圓 的半徑 ，　　圓心為，　　連接直線 交圓於 、 兩點，　　如右圖所示，　　又  _{} _{  ，} 　　故得點 到圓  的最近距離為  ，　　點 到圓  的最遠距離為 。　夌　　 代入圓  方程式，得　　 ，　　所以點 在圓  的內部。　　連接直線 交圓於 、 兩點，　　如右圖所示，　　　又  _{} _{ ，} 　　故得點 到圓  的最近距離為　　     ，　　點 到圓  的最遠距離為       。

隨堂練習

試求下列各點與圓： 的最近距離與最遠距離。坽 　　夌 

(15)

　試由下列各已知條件，求圓的方程式：坽圓心為 ，半徑為 。夌圓心為 ，且通過點 。奅 、 為直徑兩端點。妵圓心為原點，且過直線  與  的交點。 　試求下列各圓的圓心及半徑：坽 　夌  奅  妵  　試求通過下列三點的圓方程式：坽　、、 夌　、、 　　試求實數 的範圍，使方程式  的圖形為一圓。 　點  在圓 ： 的外部，試求  的範圍。

習題

2-1

(16)

2

二次曲線

2-2

圓與直線的關係

2-2.1

圓與直線的關係

在平面上，一條直線與一個圓的關係有下列三種情形：圖 2-4 在圖A 中，直線  與圓不相交，稱為相離；在圖B 中，直線  與圓恰有一交點，我們稱  和圓相切於  點，直線  為圓的切線， 為切點；在圖C 中，直線  與圓交於相異兩點  和 ，稱直線  為圓的割線。設直線 與圓  的方程式分別為 ：，：，則圓 之圓心  與直線  的距離為   _ 。比較 與半徑  的大小關係，我們得知坽　當時：圓 與直線 不相交（即相離），如圖A 所示。夌　當時：

(17)

奅　當時：圓 與直線 交於相異兩點（即相割），如圖C 所示。圖 2-5

例

題

試討論圓： 與下列各直線的關係：坽　　_： 夌　　_： 奅　　_： 解　圓：，　圓心為



     



，　半徑    __{ 。} 坽 _：，　　 _   ，則 ，　　所以圓 與直線 _ 相切，恰有一交點。夌 _：，　　 _   ，則 ，　　所以圓 與直線 _ 交於相異兩點。

(18)

2

二次曲線奅 _：，　　 _   ，則 ，　　所以圓 與直線 _ 不相交。

隨堂練習

試討論圓： 與下列各直線的關係：坽　_： 夌 _： 奅 _：

例

題

已知直線 與圓  的方程式如下： ：，：（其中  為實數），當 與  相離、相切、交於相異兩點時，試分別求出  值。解　圓：__{ 的圓心為 ，半徑 ，} 　又圓心 到直線 ： 的距離　      _ 。泝當  與  相離時：，　　即   ，得  _{ ，} 　　平方得，故 ，　　亦即   ，所以 。沴當  與  相切時：，　　即  _ ，得  ，

(19)

沊當  與  交於相異兩點時：，　　即   ，得  _{ ，} 　　平方得_{，故 }_，　　亦即   ，所以  或 。　

隨堂練習

設直線：，圓 ：，當  與  相離、相切、交於相異兩點時，試分別求出 值。

例

題

試求直線： 到圓 ： 的最近距離與最遠距離。解　如右圖所示，　圓： 　半徑為    __{ ，} 　圓心為，　過圓心 作垂直 ： 的直線，　交直線 於  點，　交圓 於 、 兩點。　　又圓心 到直線  的距離（即  長）為　      ，　所以直線 到圓  的最近距離為  　 ，　直線 到圓  的最遠距離為   。

(20)

2

二次曲線

隨堂練習

試求直線： 到圓 ： 的最近距離與最遠距離。設直線 與圓  相交於 、 兩點，欲求弦  的長，我們可以利用：過圓心且垂直於弦的直線平分此弦，如右圖  所示，設圓的半徑為 ，圓心與直線  的距離為 ，則 AB 2AM  2 r2__d2 _。現在，我們利用實例說明如下。

例

題

設直線： 與圓 ： 相交於 、 兩點，試求弦 的長。解　　圓： 的圓心為　



 _  _



，　半徑    _{}_{   ，} 　又圓心 與直線 ： 的距離　     ，　則 _ _ _{  }_{ } _{  ，} 圖 2-6

(21)

隨堂練習

設直線 ： 與圓 ：_{}_{ 相交於 、} 兩點，試求弦 的長。

2-2.2

求圓的切線方程式

我們知道通過圓上一點只有一條切線；通過圓外一點可向圓作兩條切線；通過圓內一點的直線則不能和圓相切，如圖 所示。在國中數學裡，同學們曾經學過下面的兩個幾何性質：「圓的切線必垂直於過切點的半徑」及「圓心到切線的距離等於圓的半徑」。我們將根據這些性質，來討論如何求圓的切線方程式。圖 2-7 　　　　　過點 作圓 ： 的切線恰有兩條。

(22)

2

二次曲線設__ 為圓 ： 上的一點，直線 為通過  點的切線，我們先假設切線 不為水平線也不為鉛垂線，如下圖  所示。設 為直線  上異於 __ 的任一點，則9 ，亦即（ 的斜率）（  的斜率），又 的斜率   _， 的斜率  _ _，故得  _  _ _ ，乘開整理可得切線 的方程式為 ____。當過__ 點的切線  為水平線時，其方程式為 _，當  為鉛垂線時，其方程式為_。由上面的討論，我們將求過圓上一點的切線方程式，以實例說明如下。

例

題

試求過圓： 上一點  的切線方程式。解　　圓： 的圓心為  ，　設 為切線  上異於  的任一點，　則 斜率  _，　　 斜率  _ ，　故得_ ，　即，　所以，所求切線方程式為。

隨堂練習

試求過點 作圓 ： 的切線方程式。圖 2-8

(23)

例

題

試求過點 且與圓 ： 相切的直線方程式。解　　因為，　所以 為圓  上的點，　又圓： 的圓心為  ，　設 為切線  上異於  的任一點，　則 的斜率  _ ，　　 的斜率    ，　故得   ，　即，　所以，所求切線方程式為。

隨堂練習

試求過圓： 上一點  的切線方程式。過圓外一點作圓的切線，由圖B 可以直接看出必有兩條，其切線方程式的求法，我們以實例說明如下。

例

題

試求過點 作圓 ： 的切線方程式。解　因為，所以  在圓  的外部，　故過 點的切線應有兩條。　設所求切線 斜率為 ，則　 ：，　即：，

(24)

2

二次曲線　又圓心 到切線  的距離等於半徑 ，　即  ，　整理得 _{ ，} 　兩邊平方得，　即，　則，　所以 _ 　　或   。　泝　當  _ 　　時：　　所求切線_： _ ，　　化簡得_：。　沴　當  _ 　　時：　　所求切線_： _ ，　　化簡得_：。　所以過點 的切線方程式為　  和 。

隨堂練習

試求過點，且與圓 ： 相切的直線方程式。

(25)

隨堂練習

試求過點，且與圓 ： 相切的直線方程式。

例

題

試求過點 作圓 ： 的切線方程式。解　因為，所以  在圓  的外部，　故過 點的切線應有兩條。　設所求切線 斜率為 ，則　 ：，　即：，　又圓心 到切線  的距離等於半徑 ，　即 _ ，　整理得_{ }_{ ，} 　兩邊平方得，　即，　　所以 _ 　　，　故所求切線為 _ ，　化簡得。　由右圖知：　另一切線垂直 軸（斜率不存在），其方程式為 。　故所求過點 的切線方程式為  和 。

(26)

2

二次曲線

例

題

試求斜率為，且與圓 ： 相切的直線方程式。解　利用斜截式。　設切線方程式為（因為斜率為 ），　即，　又圓心_{ 到切線的距離等於半徑  ，} 　即     ，　得  ，所以 !，　故所求切線方程式為 和 。

隨堂練習

試求平行直線，且與圓  相切的直線方程式。

2-2.3

圓的切線段長

設__為圓：外一點，自 向圓 可作兩條切線，設切點分別為、，如圖所示。此時，i 為直角三角形，且 i ,i，故得，我們稱 為 到圓 的切線段長。

(27)

在 i 中，由畢氏定理知：。又圓：_{}_ _的圓心為_{，半徑為 ，} 即_{  }___  _{， ，} 故得__，所以 __ 。若將圓 的方程式換為一般式 __{，} 則我們可得 



_ _



 



_ _



 ，  _ ，  　 



_ _



 



_ _



  _  　 ____，所以 __  。將上面的討論，整理如下：坽　　自圓： 外一點__ 到圓  的　切線段長為  __ 夌　　自圓： 外一點 __ 到圓  的　切線段長為  ____ 公式

(28)

2

二次曲線 　　　　　自圓： 外一點  到圓  的切線段長為 。

例

題

試求自點 到圓 ： 的切線段長。解　：__{，} 　即： _  _ ，　由圓的切線段長公式知：　自點 到圓  的切線段長　   _  _ 　   。

隨堂練習

　試求自點 到圓 ： 的切線段長。

(29)

　試討論圓 ： 與下列各直線的關係：坽 _： 夌 _： 奅 _： 　　設直線： 與圓 ： 相交於 、 兩點，試求弦 的長。 　試求符合下列各條件的切線方程式：坽　過點  且與圓  相切。夌　過點  且與圓  相切。奅斜率為  且與圓  相切。 　　　試求過點 作圓 ： 的切線斜率。 　　試求過點 作圓 ： 的切線方程式。 　　設 為實數，若直線 ： 與圓 ： 恰有一個交點，試求 值。 　試求下列各切線段長：坽　自點  至圓 。夌　自點  至圓 。

習題

2-2

(30)

2

二次曲線

2-3

拋物線的圖形與標準式

在本書第一冊第一章所討論的二次函數，其圖形就是拋物線，又平常所見吊橋鋼纜所呈現的弧形曲線、運動員擲出鉛球所行經的路徑也都是拋物線。本節將利用拋物線的幾何定義來導出拋物線的方程式，並探討其性質。

2-3.1

拋物線的定義

設 是平面上的一直線， 為同一平面上但不在直線  上的一定點，則平面上到點 與到直線  等距離的所有點 （即  ）所形成的圖形稱為拋物線，其中直線 與點  分別稱為拋物線的準線與焦點。拋物線的定義如右圖 所示， 為焦點， 為準線。過焦點 且與準線  垂直的直線  稱為對稱軸（簡稱軸），又對稱軸 與拋物線的交點 稱為頂點，頂點 與焦點  的距離   稱為焦距。拋物線上任取相異兩點的連線段稱為弦，過焦點的弦稱為焦弦，又垂直對稱軸的焦弦稱為正焦弦，如圖A 所示。在圖 B 中，、 分圖 2-10

(31)

準線，由點、 分別向準線  作垂線，垂足分別為  和 ，由拋物線的定義得知：   ，  ， ，所以四邊形  與四邊形  均為正方形，故得        。由上面的討論，我們可得拋物線的正焦弦長（焦點與準線的距離）（焦距）公式

例

題

已知拋物線的焦點為，準線為 ：，試求此拋物線的正焦弦長。解　拋物線的焦點為，準線 ：，　則焦點 與準線  的距離為　       ，　所以拋物線的正焦弦長為　 。

隨堂練習

　已知拋物線的焦點為，準線為 ：，試求此拋物線的正焦弦長。

2-3.2

拋物線的標準式

現在我們先利用平面坐標來導出拋物線的方程式，再根據方程式來探討拋

(32)

2

二次曲線 　頂點為原點 ，焦點在  軸上的拋物線：設拋物線的焦點坐標為，則準線為 ：（其中  ≠ ），如圖  所示。圖 2-12 設 為拋物線上任意一點，由拋物線的定義得知 ，亦即 _{}_{} _{}_。兩邊平方得，展開得，整理得，當 時，拋物線圖形開口向右；當  時，拋物線圖形開口向左，如圖 所示。

例

題

試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。解　焦點 在準線 ： 的右方，　所以拋物線開口向右，　頂點為，，如右圖所示。　由拋物線的標準式得知，　所求拋物線方程式為。

隨堂練習

試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。

(33)

有關拋物線_{ 的焦點、準線、圖形整理列表如下：} 標準式焦點準線對稱軸圖形  （）    ： （  軸）  （）    ： （  軸） 　頂點為原點 ，焦點在  軸上的拋物線：設拋物線的焦點坐標為，則準線為 ：（其中  ≠ ），如圖  所示。仿照前面的討論方式，我們可得拋物線的方程式為__，當_ 時，拋物線圖形開口向上；當 時，拋物線圖形開口向下。圖 2-13

(34)

2

二次曲線試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。解　焦點 在準線 ： 的下方，　所以拋物線開口向下，　頂點為，，如右圖所示。　由拋物線的標準式得知，　所求拋物線方程式為。

例

題

隨堂練習

試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。有關拋物線 的焦點、準線、圖形整理列表如下：標準式焦點準線對稱軸圖形  （）    ： （  軸）  （）    ： （  軸）拋物線由於它在坐標平面上的位置不同，所對應的方程式也就不同，我們將方程式 與  統稱為拋物線的標準式。在前面的兩個表格中，各拋物線的頂點都是原點，焦點與頂點的距

(35)

　　　　　拋物線 的焦點坐標為 。

例

題

試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。解　 可以寫成 ，　由拋物線的標準式得知，　 ，圖形開口向左，　頂點坐標為原點，　焦點 坐標為 ，　準線：，即 ：，　對稱軸為（即  軸），　正焦弦長  。

隨堂練習

　試求拋物線 的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。 　　頂點為，對稱軸平行  軸的拋物線：先在坐標平面上描繪出頂點為原點，焦點為  的拋物線 C_：，再將 C 上的每一個點 __ 沿著向量　  平移到點 __，得到頂點為 ，焦點為 的拋物線 C_，如圖  所示。當點 在拋物線 C_ 上時，則點 在拋物線 C ： 上，故得拋物線 C 的方程式為圖 2-14

(36)

2

二次曲線由上面的討論我們得知，頂點為，對稱軸平行  軸的拋物線方程式為 _{}_。現在，我們將拋物線_{ 的圖形及相關性質列表如下：} 標準式焦點準線對稱軸圖形  （）  ：   （）  ： 

例

題

試求頂點為 ，準線為 ： 的拋物線方程式。解　頂點  到準線 ： 的距離為 ，　又頂點 在準線  的右方，　所以拋物線開口向右，　故得，焦點  為 ，　如右圖所示。　因為拋物線開口向右，　所以方程式形如，　故所求方程式為。

隨堂練習

試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。

(37)

　頂點為 ，對稱軸平行  軸的拋物線：由類似上面的討論我們可得知，頂點為，對稱軸平行  軸的拋物線方程式為 _{}_。圖 2-15 同樣的，我們將拋物線 的圖形及相關性質列表如下：標準式焦點準線對稱軸圖形  （）  ：   （）  ：  前面的兩個表格中，各拋物線的頂點都是，焦距為  ，正焦弦長為  。 　　　　　拋物線 的頂點為 ，焦點為 。

(38)

2

二次曲線

例

題

試求焦點為，準線為 ： 的拋物線方程式。解　焦點 在準線 ： 的下方，　所以拋物線開口向下，如右圖所示。　對稱軸過焦點 與準線　 ： 垂直相交於點 ，　又頂點 為   的中點，　坐標為，　因拋物線開口向下，且  ，　故得，　拋物線方程式形如，　故所求方程式為。

隨堂練習

試求頂點為 ，焦點為  的拋物線方程式。試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長。解　將 移項配方得　 ，　故得，　亦即，　所以頂點為，　且，圖形開口向上，　焦點為，

例

題

(39)

隨堂練習

試求拋物線 的頂點、焦點與正焦弦長。

例

題

試求拋物線 的焦點、準線與對稱軸。解　將 移項配方得　 ，　故得，　亦即，　故得頂點為，　且，圖形開口向左，　焦點為，　準線為，即 ，　對稱軸為，即 。

隨堂練習

試求拋物線_{ 的焦點、準線與對稱軸。}

例

題

已知有一拋物線形狀的拱橋，拱頂（ 點）離水面 公尺時，水面寬度（   長）為  公尺，如右圖所示，若水再下降 公尺，則水面寬度（ 長）為幾公尺？解　　選定拋物線頂點  為原點，對稱軸為  軸，建立直角坐標系，由此可設拋物線 

(40)

2

二次曲線　因為 在拋物線上，　故得，即 ，　所以拋物線方程式為。　  代入 ，　得!  ，　則、 兩點坐標分別為   、  ，　所以水再下降 公尺後，水面寬度為　       （公尺）。

隨堂練習

　如右圖，一條隧道頂部是拋物線型的拱形，拱高 公尺，寬度為  公尺，試求距離中心線  公尺處的拱高 是多少公尺？

2-3.3

拋物線的一般式

將對稱軸平行 軸的拋物線方程式展開整理為  _ ，故得 _  _     。令 _ ， _ ，    ，

(41)

類此，對稱軸平行 軸的拋物線方程式 _{}_{亦可表示成} _{}_（其中_{ ≠ ）的形式。} 坽　對稱軸平行  軸的拋物線方程式，可表為  夌　對稱軸平行  軸的拋物線方程式，可表為  （其中、、 為實數且  ≠ ）　拋物線的一般式

例

題

試求通過、、 三點，且對稱軸平行  軸的拋物線方程式。解　因拋物線對稱軸平行 軸，　故設方程式為，　將、、 三點坐標代入，　得  ……泝  ……沴，  ……沊　沊分別代入泝、沴得　 ……沝，……沀，　由沀  沝  得 ，即 ，　  代入沝得 ，　故所求拋物線方程式為。

隨堂練習

　試求通過、、 三點，且對稱軸平行  軸的拋物線

(42)

2

二次曲線 　試求滿足下列各條件的拋物線方程式：坽　焦點為 ，準線為 ：。夌焦點為 ，準線為 ：。 　　　試求下列各拋物線的焦點、準線及正焦弦長：坽　 　　夌  　　試求頂點為 ，準線為 ： 的拋物線方程式。 　試求焦點為 ，準線為 ： 的拋物線方程式。 　試求拋物線  的頂點、準線及正焦弦長。 　試求拋物線  的頂點、焦點及對稱軸。 　　如下圖所示，拋物線造型的鋼拱全長 為  公尺，中央鋼柱的高為  公尺，試求距離鋼拱中央  公尺處的鋼柱   高度。 　　試求對稱軸平行 軸，且過點 、、 的拋物線　

習題

2-3

(43)

2-4

橢圓的圖形與標準式

在電腦作圖中，將圓均勻地壓縮即得一橢圓。將圓形木頭柱子斜著鋸斷，所呈現的截面也是橢圓形。德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler， ∼ ）根據他觀測研究的結果，更提出行星運行的軌道就是在一個平面的橢圓上。本節將介紹橢圓的定義，進而導出橢圓的方程式並討論其性質。

2-4.1

橢圓的定義

過去工匠簡單描繪橢圓的方法，就是取一長為_ℓ 的細線，將線的兩端分別固定在圖板上的兩個點_ 和_（其中ℓ ），再利用一枝筆將線拉緊，讓 筆尖在圖板上慢慢順勢繞一圈，就可畫出一橢圓。設_、_ 為平面上相異二點， 為一正數且 ，則平面上到 _、_ 兩點距離和為 的所有點 （即  ）所形成的圖形稱為橢圓，而定點_ 和_ 稱為橢圓的焦點。橢圓的定義　　在上面的定義中：坽當  時，即 ，則 點所成的圖形就是線段 __。夌當  時，即 ，由於三角形任二邊長的和大於第三邊長，故 點不存在，所以沒有圖形。圖 2-16

＊

(44)

2

二次曲線在右圖 中，有關橢圓圖形的一些名詞說明如下：坽焦點：_、_ 兩定點稱為焦點。夌長軸：　連接_、_ 的直線交橢圓於、 兩點，線段 稱為橢圓的長軸。奅中心：線段 的中點，稱為橢圓的中心。妵短軸：　過中心且垂直長軸的直線交橢圓於、 兩點，線段 稱為橢圓的短軸。妺頂點：長軸的端點 、 稱為長軸頂點，短軸的端點 、 稱為短軸頂點。姏正焦弦：　橢圓上任取相異兩點的連線段稱為弦，過焦點且垂直長軸的弦稱為正焦弦，線段  和   都是正焦弦。姎焦半徑：　橢圓上任一點 與兩焦點 _、_ 連成的線段和，稱為 點的焦半徑。

2-4.2

橢圓的標準式

接著，我們利用平面坐標來導出橢圓的方程式，再依據方程式來探討橢圓的性質。 　中心為原點 ，焦點在  軸上的橢圓：設橢圓的兩焦點坐標為_ 及 _，如下圖  所示。圖 2-18 圖 2-17

(45)

設 為橢圓上任意一點，由橢圓的定義知 __（此時因 __，故得 ），亦即 _{}_ _{ }_ __。移項得 _ _{ }__，兩邊平方得 _ _{}__，移項整理得 _ __。將兩邊再平方得，移項化簡得，兩邊同除以 得       。取 _ _（即____{），則上式可寫成}      。以 代入方程式　       ，得 !；以  代入方程式　       ，得 !。由此我們可得橢圓的頂點坐標、、 、，如圖 所示。所以長軸長　，短軸長  。再將 代入方程式　       ，得　       ，移項整理得        __{ }  （因為  _ _），故得!   。所以，通過焦點 的正焦弦兩端坐標分別為 



   



及 



  



，如圖 所示，故得正焦弦長     。

(46)

2

二次曲線有關橢圓       （其中 ）的性質及圖形整理列表如下：標準式中心長軸頂點短軸頂點圖形        （ 且　　 ）      焦點長軸長短軸長正焦弦長 _ _     根據上表，給定橢圓的標準式，我們也能找出橢圓的一些性質並概略的描繪出其圖形。 　　　　　橢圓       的長軸長為 ，短軸長為 ，正焦弦長為   。

例

題

試求兩焦點為 與 ，長軸長為  的橢圓方程式。解　因為兩焦點為_、_，　故知焦點在 軸上，中心為原點，　又長軸長，即 ，　 ，可得 ，　則  ，　由橢圓的標準式　    得知，

(47)

隨堂練習

試求兩焦點為_   與   ，長軸長為  的橢圓方程式。

例

題

試求中心為原點，一焦點為 ，一頂點為  的橢圓　方程式。解　因為中心為原點，一焦點為 ，　故得橢圓標準式為　　      且，　又頂點 在  軸上，　故得，　則  _{  ，} 　所求方程式為       。

隨堂練習

　試求中心為原點，一焦點為 ，一頂點為  的橢圓方程式。

(48)

2

二次曲線

例

題

試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長。解　將 兩邊同除以 ，得　       ，即        ，　由橢圓的標準式得知，　中心為原點，焦點在 軸上，　且，，　則  _，　所以焦點坐標為 與 ，　長軸頂點為 與 ，短軸頂點為  與 ，　又正焦弦長為         。 A

隨堂練習

試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長。

(49)

　中心為原點 ，焦點在  軸上的橢圓：設橢圓的兩焦點坐標為_ 及 _，如下圖  所示。仿照前面的討論方式，我們可得橢圓的方程式為　       （其中  _ _），同樣可得長軸長為，短軸長為 ，正焦弦長為　   。圖 2-19 有關橢圓       （其中 ）的性質及圖形整理列表如下：標準式中心長軸頂點短軸頂點圖形        （ 且 ）          焦點長軸長短軸長正焦弦長 _ _    

(50)

2

二次曲線

例

題

試求兩焦點為 與 ，短軸長為  的橢圓方程式。解　因為兩焦點為_、_，　故知焦點在 軸上，中心為原點，　又短軸長，即 ，　 ，可得 ，　則  ，　由橢圓的標準式　       得知，　所求方程式為　       。

隨堂練習

試求兩焦點為_ 與 _，短軸長為  的橢圓方程式。

例

題

試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長。解　將 兩邊同除以 ，　得      ，　即      ，　由橢圓的標準式得知，中心為原點，　焦點在 軸上，且 ，，　則 _ _ __ _ __，　所以焦點坐標為   與   ，　長軸頂點為 與 ，短軸頂點為  與 ，

(51)

隨堂練習

試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長。 　中心為 ，長軸平行  軸的橢圓：先在坐標平面上描繪出中心為原點，焦點為  與  的橢圓C_：      ，再將 C 上的每一個點 沿著向量　  平移到點__，得到中心為 ，焦點為  與  的橢圓 C，如圖 所示。圖 2-20 當點 在橢圓 C_ 上時，則點 在橢圓 C_：       上，故得橢圓 C 的方程式為 C_：       。由上面的討論我們得知，中心為 ，焦點為  與  的橢圓方程式為       。

(52)

2

二次曲線 　中心為 ，長軸平行  軸的橢圓：由類似上面的討論我們可得知，中心為，焦點為  與  的橢圓方程式為       。此時，橢圓的長軸在 上，短軸在  上。圖 2-21 現在，我們將中心為，長軸平行  軸或  軸的橢圓方程式、圖形及相關性質列表如下：標準式焦點長軸頂點短軸頂點圖形        （ 且　　 ___） _ _               

(53)

上表中各橢圓的中心都是，長軸長為 ，短軸長為 ，正焦弦長為   。 　　　　　橢圓       的中心為 ，焦點為  及 ，正焦弦長為   。

隨堂練習

　試求兩焦點為_ 與 _，長軸長為  的橢圓方程式。

例

題

試求兩焦點為 與 ，短軸長為  的橢圓方程式。解　因為橢圓的焦點為_ 與 _，　故知中心為，長軸平行  軸且 ，　又短軸長，即 ，　則    ，　由橢圓的標準式　        知，　所求方程式為       。

(54)

2

二次曲線

例

題

已知橢圓的兩頂點為 與 ，一焦點為 ，試求此橢圓方程式。解　因為橢圓的兩頂點、 及焦點  均在直線  上，　故知橢圓長軸平行 軸，中心為 ，，　且長軸長，即 ，　則  ，　由橢圓的標準式　        知，　所求方程式為       。

隨堂練習

　已知橢圓長軸頂點為 與 ，一短軸頂點為 ，試求此橢圓方程式。

例

題

試求橢圓         的焦點、頂點及正焦弦長。解　原式可化為        ，　由橢圓的標準式知，　橢圓長軸平行 軸，中心為 ，

(55)

　所以橢圓焦點為、，　即 與 ，　長軸頂點為、，　即 與 ，　短軸頂點為   與   ，　正焦弦長           。

隨堂練習

　試求橢圓　        的焦點、頂點及正焦弦長。

例

題

化橢圓方程式 為標準式，並求中心坐標及長、短軸的長。解　將方程式移項，依、 配方得　 ，　故得，　兩邊同除以，即得橢圓的標準式　        ，　所以橢圓中心為，且 ，，　故得長軸長，短軸長 。

隨堂練習

化橢圓方程式 為標準式，並求中心坐標及長、

(56)

2

二次曲線 　試求滿足下列各條件的橢圓方程式：坽　焦點坐標為    與   ，長軸長為 。夌中心在原點，一焦點為 ，短軸長為 。 　試求橢圓  的焦點、頂點坐標及正焦弦長。 　　設二定點_、_，試求平面上滿足  之所有  點的軌跡方程式。 　　試求短軸頂點為 與 ，長軸長為  的橢圓方程式。 　試求橢圓        的中心、焦點及正焦弦長。 　　化橢圓方程式 為標準式，並求中心坐標及長、短軸的長。 　　一橢圓中心為，短軸長為   ，焦點在直線  上，正焦弦長為，試求此橢圓的方程式。

習題

2-4

(57)

2-5

雙曲線的圖形與標準式

在前面 節中我們討論過，當平面上二定點距離為  時，則平面上與此二定點距離和為定值（其中  ）的所有點所成的圖形為橢圓。那麼，在平面上與二定點距離差為定值的所有點所成的圖形又是什麼？這就是本節將要介紹的雙曲線。

2-5.1

雙曲線的定義

利用下面所敘述的方法，我們可以概略的描繪出雙曲線的圖形。取長度相差ℓ 的二細線，然後在圖板上選取相異兩個定點 _ 與_，並使__ℓ。先將 短線的一端固定在點_，又將長線的一端固定在點_，再將兩線的另一端結在一起為。以左手拉緊 ，右手握筆並以筆尖  同時將兩細線撐緊，當拉著  的左手慢慢移動時，握著筆的右手順勢移動，則因為 ____ℓ 所以筆尖就在圖板上畫出雙曲線右邊一支的部分圖形。將兩線分別固定在點_ 與_ 的位置互換，就可以同樣的畫出雙曲線左邊一支的部分圖形。圖 2-22 設_、_ 為平面上相異二點， 為一正數且 ，則平面上到 _、_ 兩點距離差為 的所有點 （即  　 ）所形成的雙曲線的定義

第2章(二次曲線)

第

章

二次曲線

2

2

2-1

圓方程式

2-1.1

圓的標準式

2

例

題

隨 堂 練 習

例

題





隨 堂 練 習

2-1.2

圓的直徑式



2

例

題

隨 堂 練 習

2-1.3

圓的一般式





























































2

例

題



























隨 堂 練 習

例

題

隨 堂 練 習

例

題

隨堂練習

隨堂練習

_

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

習題

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習

隨堂練習