在電腦作圖中，將圓均勻地壓縮即得一橢圓 。將圓形木頭柱子斜著鋸斷，
所呈現的截面也是橢圓形 。德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler， ∼
）根據他觀測研究的結果，更提出行星運行的軌道就是在一個平面的橢圓 上 。本節將介紹橢圓的定義，進而導出橢圓的方程式並討論其性質 。
2-4.1 橢圓的定義
過去工匠簡單描繪橢圓的方法，就是取一長為
ℓ
的細線，將線的兩端分別固定在圖板上的兩個點 和（其中ℓ ），再利用一枝筆將線拉緊，讓
筆尖在圖板上慢慢順勢繞一圈，就可畫出一橢圓 。設、 為平面上相異二點， 為一正數且 ，則平面上到
、 兩點距離和為 的所有點 （即 ）所形成的圖 形稱為橢圓，而定點 和 稱為橢圓的焦點 。
橢圓的定義
在上面的定義中：
坽 當 時，即 ，則 點所成的圖形就是線段
。
夌 當 時，即 ，由於三角形任二邊長的和大於 第三邊長，故 點不存在，所以沒有圖形 。
圖 2-16
＊
2
二次曲線
在右圖 中，有關橢圓圖形的一些名詞說明如下：
坽 焦點：、 兩定點稱為焦點 。
夌 長軸： 連 接、 的 直 線 交 橢 圓 於、 兩 點，
線段 稱為橢圓的長軸 。
奅 中心：線段 的中點，稱為橢圓的中心 。 妵 短軸： 過中心且垂直長軸的直線交橢圓於、 兩
點，線段 稱為橢圓的短軸 。
妺 頂點：長軸的端點 、 稱為長軸頂點，短軸的端點 、 稱為短軸頂點 。 姏 正焦弦： 橢圓上任取相異兩點的連線段稱為弦，過焦點且垂直長軸的弦稱為
正焦弦，線段 和 都是正焦弦 。
姎 焦半徑： 橢圓上任一點 與兩焦點 、 連成的線段和，稱為 點的焦半徑 。
2-4.2 橢圓的標準式
接著，我們利用平面坐標來導出橢圓的方程式，再依據方程式來探討橢圓 的性質 。
中心為原點 ，焦點在 軸上的橢圓：
設橢圓的兩焦點坐標為 及 ，如下圖 所示 。
圖 2-18
圖 2-17
設 為 橢 圓 上 任 意 一 點， 由 橢 圓 的 定 義 知 （此 時 因
2
隨 堂 練 習
試求兩焦點為 與 ，長軸長為 的橢圓方程式。
例題 試求中心為原點，一焦點為 ，一頂點為 的橢圓 方程式 。
解 因為中心為原點，一焦點為 ，
故得橢圓標準式為
且，又頂點 在 軸上，
故得，
則 ， 所求方程式為
。
隨 堂 練 習
試求中心為原點，一焦點為 ，一頂點為 的橢圓 方程式 。
2
二次曲線
例題 試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長 。 解 將 兩邊同除以 ，得
，即
，
由橢圓的標準式得知，
中心為原點，焦點在 軸上，
且，，
則 ，
所以焦點坐標為 與 ，
長軸頂點為 與 ，短軸頂點為 與 ，
又正焦弦長為
。
A
隨 堂 練 習
試求橢圓 的焦點、頂點坐標及正焦弦長 。
中心為原點 ，焦點在 軸上的橢圓：
設橢圓的兩焦點坐標為 及 ，如下圖 所示 。仿照前 面的討論方式，我們可得橢圓的方程式為
（其中 ），
同樣可得長軸長為，短軸長為 ，正焦弦長為
。
圖 2-19
有關橢圓
（其中 ）的性質及圖形整理列表如下：
標準式 中心 長軸頂點 短軸頂點 圖形
（ 且
）
焦點 長軸長 短軸長 正焦弦長