第三章 研究方法
3.3 考慮環境變數之固定效果模型
國
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(3-16)
其中 為向量 內第 i 個及第 j 個元素之線性相關係數。
透過式 (3-15) 之 Gaussian copula 函數，我們可求出第 i 廠商在樣本期間 T 年內之一次差分誤差聯合機率密度函數。如前所述，相鄰差分誤差之線性相關係 數 為-0.5，透過式 (3-16) 可得到 spearman 等級相關係數 約為-0.48258，代 入式 (3-12) 及式 (3-13) 導出之差分組合誤差邊際機率密度近似函數及邊際累 積分配近似函數，並將所有廠商差分誤差項聯合機率密度函數連乘後，所有 N 間廠商在樣本期間 T 年內，差分組合誤差之聯合機率密度函數為：
(3-17)
上式中 及 即為式 (3-12) 及式 (3-13) 所導出之差分組合誤差邊際機率 密度近似函數及邊際累積分配近似函數，透過式 (3-17) 取自然對數後，可進一 步得到全體樣本之對數概似函數如下，即為 DSFA 模型之概似函數：
(3-18)
3.3 考慮環境變數之固定效果模型
Battese and Coelli (1995) 考慮將環境變數對無效率的影響納入隨機邊界模 型中，模型架構如下：
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故
此模型假設無效率項 為環境變數向量 之函數， 為對應之待估參數向量。
接下來，本研究亦嘗試將上述模型設定納入 Greene (2005) 之 TFESFA 模型中，
成為：
故
根據 Battese and Coelli (1995)，此模型組合誤差項 之機率密度函 數為：
， (3-19)
式 (3-19) 對所有 i 及 t 連乘後，可得全樣本期間的誤差項聯合機率密度函數及對 數概似函數為：
(3-20)
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此模型之無效率項 分為兩部份，分別為受環境變數影響之無效率項 以及非受環境變數影響之無效率項 ，極大化概似函數可求得各參數之估計值，
而無效率項 之估計，則與式 (3-5) 相同，使用給定組合誤差項 下 的條 件期望值為其估計值，公式為：
(3-21)
根據上式得到無效率項估計值 後，技術效率估計值即為
(3-22)
為消除模型之固定效果項以解決參數擾攘問題，我們同樣利用 3.2.2 節之一 階差分方法來求得模型差分組合誤差項 之近似機率密度函數
如下(詳細推導過程見附錄四)：
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式中 ， ， ， ， ， ，
，
， ， ，
， ， ， ，
及 為兩組合誤差 及 內含之環境變數向量
表 3-3 為利用 R 軟體中數值積分之指令，觀察考慮環境變數時差分誤差項之 近似封閉解式 (3-23) 以及原始函數在給定不同差分誤差項 以及不同模型參數 設計下之誤差值，在此簡化假設模型只存在一項環境變數，斜率項 為 1，而兩 項需差分之誤差項各自內含之環境變數假設只有一項，並表示為 及 ，假設 及 分別為相同 及相異 兩種情況；可以發現 在不同的參數組合下，誤差值皆能在可接受之範圍內。圖 3-2 及圖 3-3 為參數設 計 以及 兩種情況下，
差分組合誤差機率密度近似函數圖，可以發現當 時，差分組合誤差 函數同樣接近一對稱之分配；而當 時，由於環境變數值會影響無 效率項 之下界，因此差分組合誤差會形成非對稱之分配。
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表 3-3 考慮環境變數之差分組合誤差項近似解及原始公式之誤差值
值 -2 -1 0 1 2
0.1009568 0.2227248 0.2897841 0.2227248 0.1009568
0.1009219 0.2225596 0.2895186 0.2225596 0.1009219 誤差值 3.49E-05 0.000165 0.000265 0.000165 3.49E-05
值 -2 -1 0 1 2
0.09734543 0.2163368 0.285791 0.2259892 0.1075143
0.09734671 0.2162778 0.2856556 0.2258696 0.1074605 誤差值 -1.3E-06 5.9E-05 0.000135 0.00012 5.38E-05
值 -2 -1 0 1 2
0.09653422 0.2266663 0.3009697 0.2266663 0.09653422
0.09651306 0.2265551 0.3007803 0.2265551 0.09651306 誤差值 2.12E-05 0.000111 0.000189 0.000111 2.12E-05
值 -2 -1 0 1 2
0.0895166 0.2126242 0.2910547 0.2336473 0.1113282
0.08952021 0.2125975 0.2909489 0.2335225 0.1112627 誤差值 -3.61E-06 2.67E-05 0.000106 0.000125 6.55E-05
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表 3-3 考慮環境變數之差分組合誤差項近似解及原始公式之誤差值(續)
值 -2 -1 0 1 2
0.0894729 0.2315316 0.317826 0.2315316 0.0894729
0.08946161 0.2314435 0.3176664 0.2314435 0.08946161 誤差值 1.13E-05 8.81E-05 0.00016 8.81E-05 1.13E-05
值 -2 -1 0 1 2
0.07994073 0.2087673 0.2990168 0.2432214 0.1146203
0.07993788 0.2087373 0.2989287 0.2431224 0.1145745 誤差值 2.85E-06 3E-05 8.81E-05 9.9E-05 4.58E-05
圖 3-2 考慮環境變數之差分組合誤差機率密度近似函數圖(一)
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圖 3-3 考慮環境變數之差分組合誤差機率密度近似函數圖(二)
為能使用關聯結構函數求得此模型之概似函數，我們仍須推導出差分組合誤差 h 之累積分配函數，由於推導過程過於繁雜，本研究尚未得出結果，僅提出此方向 供後續研究發展所用。
而在僅有差分組合誤差 h 之機率密度函數下，我們仍可將式 (3-6) 之一階差 分模型做修改，以使用最大概似法來估計考慮環境變數之 TFESFA 模型，修正之 模型如下：
(3-24)
故
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式 (3-6) 之一階差分模型是將第 i 家廠商組合誤差的 T 筆樣本資料，透過差 分後縮減為 T-1 筆差分樣本資料，因此相鄰期之差分組合誤差會存在相關性；而 式 (3-24) 之一階差分模型則將 T 筆樣本資料減半為 T/2 筆樣本資料。此模型在 同一廠商內各個差分組合誤差間則為獨立；舉例而言，第 i 間廠商的第一筆差分 組合誤差為 ，第二筆差分組合誤差為 ，因此相鄰之差分組合誤差並沒有相 同的隨機誤差項 或無效率項 成份存在。在各期以及各廠商之差分組合誤差 項獨立下，使用最大概似法估計模型 (3-24) 所對應之對數概似函數，即只需將 式 (3-23) 連乘取對數，成為：
(3-25)
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