第二章 文獻回顧
2.2 隨機邊界模型相關文獻
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2.2 隨機邊界模型相關文獻
Aigner et al. (1977) 和 Meeusen and Van Den Broeck (1977) 首先從橫斷面資 料架構下，提出隨機邊界模型之概念，模型設定如下：
其中 為產出， 為投入要素向量， 即為隨機邊界模型特有之組合誤差項，
含有隨機誤差項 及無效率項 ， 代表生產過程中非人為可控制之干擾因素，
假設為雙邊常態分配，而 則為生產過程中發生之技術無效率，導致產出減少。
因此 必須假設為非負值，例如半常態分配。
而隨著計量模型的發展，後續出現縱橫資料 (panel data) 模型，此資料包括 多個廠商多個觀察期間的樣本觀察值，比起早期橫斷面資料，蘊含較多訊息。Pitt and Lee (1981) 提出了隨機效果模型，將 Aigner et al. (1977) 之隨機邊界模型擴 展至縱橫資料架構下，此模型設定為：
假定廠商之無效率項為非時變性 (time-invariant)，亦即同一廠商之無效率表現是 不隨時間變動的，僅在個別廠商間有所區別；Schmidt and Sickles (1984) 則提出 了固定效果模型，相對於隨機效果模型將 設定為隨機變數，固定效果模型將 視為待估計參數，其設定為：
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無效率項估計式 則為 ，在此模型中，由於無效率項是透過
各廠商之截距項相互比較得出，因此必存在一最小截距項 ，即相對最有效率之
廠商，其效率值為 ，其餘各廠商的效率值介於 0 與一之間。
上述之隨機效果模型及固定效果模型，皆設定廠商之效率不隨時間改變，但理論 上隨著經營期間的增加，有可能會產生技術變化或學習效果而使經營效率改變，
如此一來非時變性之無效率項假設顯得不甚合理。
為了將廠商之學習效果或技術變化之現象納入模型考量，Cornwell et al.(1990) 將 Schmidt and Sickles (1984) 模型內之截距項 重新設定為時間趨勢之二次函 數，即 ，意即隨著時間趨勢二次項係數 正負號的不同，
廠商之技術變化可能有先增後減或先減後增之差異。
Battese and Coelli (1992) 則提出下述隨機效果模型之延伸，考慮無效率項之 時變性：
此模型中，無效率項 為一包含時間趨勢項之函數； 為待估參數，當 時，
代表無效率表現會逐年遞減，技術效率隨時間經過逐年上升，存在正面學習效果；
當 時，代表無效率表現會逐年遞增，技術效率隨時間經過逐年退步。
Kumbhakar (1990) 則建議可將無效率項 設計為
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，Lee and Schmidt (1993) 則建議將無效率項 設定為時間虛擬變數 之函數，即 ，而 ，但相較於前兩模型之設計，在此 模型中當觀察期間 T 越多時，模型待估參數 也會跟著增加。
上述之隨機邊界模型，皆隱含了廠商條件為同質性 (Homogeneous) 之假設，
但實際上，各廠商卻是處於異質性 (Heterogeneous) 的營運環境，即便是在相同 生產條件、相同規模、相同投入水準的兩廠商，最終產出仍可能不同。此生產水 準之不一致並不能完全歸因於經營效率之表現差異，往往是由於外部環境因素或 其他異質性條件之影響。Battese and Coelli (1995) 根據此概念，將無效率項設計 為環境變數之函數，藉此將異質性影響納入隨機邊界模型中，模型設定為：
故
其中 即為外部之環境變數向量，代表廠商之無效率表現 會受到環境變數 之影響；此模型除了考量廠商異質性，同時也考慮了無效率項之時變性，與 Battese and Coelli (1992) 不同之處在於，此模型並未對無效率項之時變趨勢做出假設，
廠商在觀察期間內之無效率變動並非一定為遞增或遞減之型式。
Caudill et al. (1995) 提出另一種廠商異質性之考量方式，認為廠商之無效率 項可能存在異質之變異數，成為：
其中 通常設定為與廠商規模有關之環境變數向量，並進而影響廠商之無效率
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項變異數；Hadri et al. (2003) 則認為不僅無效率項 會存在異質變異數，對稱 誤差項 也會存在異質異質變異數，模型修改為：
除了將對稱誤差項加上異質變異數假設外，Hadri et al.(2003)也認為對稱誤差項 是受到規模環境變數 影響，無效率項 則是受到管理面環境變數 之影 響，而與 Caudill et al. (1995) 之模型有所區別。
Tsionas (2002) 認為將廠商之異質性會影響投入要素的係數值，即：
其中 即為投入要素 的係數向量，並假設為多維常態分配，因此在投入資料
個數上升時，多元常態變異數矩陣 之維度會上升，而使 之分配結構難以估
計。根據此模型，Huang (2004) 假設僅有部分投入要素的係數值會受到廠商異質 性影響，模型設定須改為：
代表會受廠商異質性影響之投入要素，其對應之參數向量 則假設平均數為 0 之多元常態分配。另外，Tsionas (2002) 及 Huang (2004) 分別假設無效率項之
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分配為指數分配及伽瑪分配下進行模型模擬。
Greene (2005) 有別於以往之隨機邊界模型，將廠商之異質性直接納入截距 項參數，容許模型同時包含固定效果與技術無效率項，稱為"真實"固定效果隨機 邊界模型 (true fixed effect stochastic frontier analysis, TFESFA)，其模型設定為：
此模型同時考量了廠商之異質性以及無效率項之時變性，且並不需對無效率項之 時變趨勢做假設，由於此模型所需假設較少，因此能對各廠商做出較為客觀及合 理之效率評估。
然而，實證上 Greene (2005) 之 TFESFA 模型若使用虛擬變數代表固定效果，
往往在觀察期間過少時易受到擾攘參數問題之影響，而使估計式存在偏誤。Wang and Ho (2010) 將環境變數之影響納入 TFESFA 模型中，並將無效率項分配假設 加以修改，成為：
透過此一修改後，上述之模型便能利用一階差分法或組內估計法等模型轉換來解 決擾攘參數問題，並導得其模型概似函數。
綜觀隨機邊界文獻之演進，可以發現各種考量廠商異質性以及無效率項隨時 間變異性之模型逐漸發展完備，目前以 Greene (2005) 之 TFESFA 模型較受實證 研究者的注意。
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