腔模 (cavity modes)

光子彈模型只是簡單描述共振腔振盪衰減光譜法，無法完整解釋其他 複雜的光學現象。例如：模拍頻(mode beating)現象。因此吾人需要以另一 種方法來說明共振腔振盪衰減法的原理。

根據光學原理，兩片曲率半徑為 的高反射率鏡片，相距為 ，若當 或 時 ， 則 所 形 成的 共 振 腔 為 一 穩定 共 振 腔 (stable resonator)，其本徵頻率(eigenfrequencies)可表示成：

[ (

√ )] (2-14)

其中 為縱模模數(longitudinal mode index)， 和 為橫模模數(transverse mode indices)。當 時，所形成的模稱為 TEM00 模，TEM 係 transverse electromagnetic waves 之縮寫。由(2-14)式可知縱模間距，又稱自 由光譜範圍(free spectral range)為：

(2-15)

橫模間距為：

18 (

√ ) (2-16)

當入射光進入到共振腔時，其電場會和腔模產生耦合，因此腔體內的總電 場可以寫成腔模的線性組合[12]：

∑ ∑ (2-17) 其中 是入射光電場空間分布 和腔體橫模 之耦合常數，

是 入 射 光 頻 譜 結 構 和 腔 體 頻 率 響 應 函 數 (cavity response function) 之耦合常數。

∫ ∫ ( ) (2-18)

(2-19) 對於傅立葉轉換極限的同調雷射(fourier-transform limited coherent laser) 而言，頻寬愈窄，則脈衝時間愈長。根據 Zalicki 和 Zare[11]，假如脈衝時 間遠大於光在腔體內來回一次的時間，雷射頻寬會遠小於腔體的自由光譜 範圍。當掃描雷射波長時，雷射若是沒有和腔模耦合便無法離開腔體到達 偵測器，導致光譜失真。由此可知若要取得正確的光譜資訊，雷射至少要 包含兩個以上的腔模。脈衝時間若遠小於光在腔體內來回一次的時間 ， 光子便不會發生自我干涉現象。此時，因為腔體的自由光譜範圍遠小於雷 射線寬，所以多個腔模將會被激發而產生模拍頻現象，其解釋如下[13]：

假設入射雷射光包含了兩個腔模，其頻率分別為 和 ，則到達偵測

19

器的總電場可表示成：

̃ ̃ (2-20) 而光強度為：

∬| | (2-21) ∬| ̃ ̃ | (2-22) (2-23) 其中 、 和 分別為：

∬| ̃ | (2-24)

∬| ̃ | (2-25)

∬ ̃ ̃ (2-26) (2-23)式已假設 的高頻率項可被偵測器平均掉，故省略。所以偵測 器收到的光強度為 dc 部分( 和 項)加上 ac 部分( 項)：

[ ] (2-27) (2-27)式中的 即為模拍頻之頻率。上述說明是考慮雷射線寬僅包含 兩個腔模，實際上模拍頻訊號通常為多重模造成之結果。由於模拍頻會使 振盪衰減時間的量測精準度下降，進而降低靈敏度，因此實驗上需盡量避 免。

通常要掃描氣態分子振轉動躍遷(vibration-rotation transitions)的高解析 光譜，便需要頻寬僅幾百 MHz 的雷射，其傅立葉轉換極限的脈衝時間約為

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十幾個奈秒。由於脈衝時間遠大於或小於光在腔體內來回一次的時間皆不 容易得到精確的光譜資訊，因此脈衝時間通常會和光在腔體內來回一次的 時間差不多，這也就是為何共振腔體的長度通常會設計在一至二公尺以內 的原因。以吾人的系統而言，可調頻紅外雷射的頻寬為 600 MHz，其脈衝 時間為 12 ns，雷射腔體的長度為 63 cm。此設計足以掃描氣態分子振轉動 躍遷的高解析光譜，不會有光譜失真的問題或是受到模拍頻現象嚴重的干 擾。