回首觀看數學的歷史，會發現遠在古希臘數學的發展中，就經常出現令人讚嘆的 美感。近代英國著名的數學家哈代(Godfrey H. Hardy 1877-1947 年)在《一個數學 家的自白》（A Mathematician’s Apology）一書中，就曾提出：
現在也許難以找到一個受過教育的人，對於數學美的魅力全然無動於衷。
數學美可能很難定義，但它的確是一種真實的美，和任何其他的美一樣。
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後來有一些研究數學的學者，相當醉心於數學美的種種特性，遂更深入探討 形成這種美感的因素，發現不論是在形式上或內容中，數學常表現出簡單、統一、
對稱、秩序、新奇、神秘等美感。而伽羅瓦的生命雖極為短暫，但所鑽研的學術 思想卻能如此深邃，背後必定具有對於「美」極強烈的崇高敬意！
其實，「美學」(Aesthetics) 這個名詞是由德國哲學家鮑姆嘉通(Baumgarten 1714-1762 年）在 1735 年首次使用的，主要研究美的本質及其意義，可作為哲 學的一個分支。
在數學美的分類當中，大致可區分為三大特徵：簡單美、和諧美、奇異美。
196以下將探討伽羅瓦思想與數學美學所擦出的火花。
一、簡單美
人類從認識生存的環境開始，就相信上帝創造宇宙本著簡單的原則進行。
義大利科學家伽利略(Galileo Galilei，1564-1642 年)就曾說過：「數學是上帝用 來書寫宇宙的語言。」197因此，簡單美成為數學美的首要特徵。
數學的簡單美可從兩方面表現出來：一個是「結構系統」，另一個則是
「語言符號」。前者美感的來源奠基於深層的組織，後者美感的來源則仰賴 於表層的傳達。但無論源頭為何，它們都像豐沛的土壤般孕育出簡單美的花 朵來。
代數學不僅將符號代替常數或變數以進行各種運算，也對各種抽象化的 結構進行研究。無疑地，代數學的興起，使數學在簡單美的實現上發揮得淋 漓盡致。
195 轉引自徐炎章等著：《數學美學思想史》(台北市：曉園出版社有限公司，1998 年)，序。
196 參考徐炎章等著：《數學美學思想史》，頁 22。
197 轉引自徐炎章等著：《數學美學思想史》，頁 122。
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「結構系統」簡化複雜的理論，幫助人類深入瞭解數學的奧妙。節錄自 徐本順、殷啟正所著的《數學中的美學方法》198一書中的記載，如下：
所謂結構美，正如法國數學家龐加萊〔Jules Henri Poincaré 1854 - 1912 年〕所說：「數學的結構美是指一種內在的美，它來自各部分的和諧 秩序，並能為純粹的理智所領會，可以說，正是這種內在美給了滿足 我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，
能夠預見數學定理。」(頁 80)
「語言符號」可以降低人類在思考時的腦力勞動，可稱職地作為數學的 傳達工具。節錄自徐本順、殷啟正所著的《數學中的美學方法》一書中的記 載如下：
數學語言是一種特殊的語言，因為它有一整套的數學符號系統。(中略)。
一個世界範圍內公認的某種符號系統，能夠突破各民族語言的隔閡而 成為全人類共同的統一的表述工具。(中略)。數學語言借助於數學符 號把思維運算(過程)扼要地表現出來，並能準確地、深刻地把現象的 結構表現為其不變式。(頁 80-81)
在「結構系統」方面，我們看到 Galois 理論銜接了方程式的「Galois 群」
和「體擴展」的關係，也看到「置換群」與方程式的「Galois 群」的結構系 統有其共通性，更在「可解群」的檢驗方法下透視了方程式「根式擴展」的 可能性。伽羅瓦將他深刻的思想以如此完美的體系呈現，令人驚豔不已！
198徐本順、殷啟正著：《數學中的美學方法》(中國大連：大連理工大學出版社，2008 年)。
體擴展 Galois 理論 Galois 群 同構 置換群
簡單美
結構系統
簡單美
語言符號
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在「語言符號」方面，伽羅瓦成功地標舉了「置換群」的功用，它將任 一方程式所有解的對稱性表露無遺。若將有限置換群表列成一個符號表，當 我們查看時，只要掌握與方程式的 Galois 群同構的置換群，就可解讀方程式 根式解的秘密！將置換群作為數學語言的符號，是伽羅瓦的創見，它也帶動 了後來群論的發展。
置 換 群 表 列
置換群 極大正規子群列 合成因子列 是否為可解群
S2 ｛e｝ 2 是
S3 A3、｛e｝ 2, 3 是 S4 A4、K4、｛e, (1 2)(3 4)｝、｛e｝ 2, 3, 2, 2 是 S5 A5、｛e｝ 2, 60 否 Sn (n＞5) An、｛e｝ 2, ！ 否
德國偉大的科學家愛因斯坦(Albert Einstein 1879-1955 年)曾說過：
「我們在尋求一個能把觀察到的事實聯結到一起的思想體系，它將具 有最大可能的簡單性。」199
Galois 思想能充分掌握「體擴展—Galois 群—置換群」之間的結構系統，
並整理出「置換群」的合成因子列作為語言符號，讓原本混亂的「五次一般 方程式是否有根式解？」問題，變得有秩序且散發單純的美感。
二、和諧美
任何事物在動態中若能達到有秩序的平衡狀態，就會呈現一種和諧美。
數學一直在傳達著統一、對稱、整齊等特性，因此，和諧美也是數學美當中 不可或缺的特徵。以下是和諧美幾個主要表現形式的描述：
199轉引自徐炎章等著：《數學美學思想史》，頁 320。
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表現形式 描 述
統 一 部分與部分，部分與整體之間的和諧、協調。200
對 稱
1. 物體(圖形)在某種變換條件下，其相同部分間有規律重 覆的現象，稱為對稱。
2. 一個物體(圖形)在對稱變換後重合於另一個物體(圖形) 的變換，是「相互對稱」。201
3. 一個物體(圖形)在對稱變換(異於恆等變換)後仍重合於 本身的變換，是「自身對稱」。202
4. 空間有軸對稱、中心對稱、鏡對稱；
時間有周期、節奏對稱、旋律對稱。203 整 齊 有條理；有次序；有規則。
18 世 紀 時 ， 在 德 國 有 一 位 精 通 美 學的科 學 家 康 德 (Immanuel Kant 1724-1804 年)，雖然他在科學上有許多輝煌的成績，但後人對他的印象卻以 哲學家居多。康德對於科學美學的思想有較深刻的見解，當時在歐洲的科學 研究，有不少觀點都印證了康德的說法。在徐紀敏著的《科學美學思想史》
中有一段記載如下：
康德認為宇宙的美並不完全在於它的現存部分，還應當追溯到它的形 成過程。像過去那樣用孤立、靜止的方法來研究自然界的美是遠遠不 夠的了，而是要用聯繫、發展的觀點來研究自然界的美。(頁 327) 伽羅瓦出生於康德逝世後不久，我們在伽羅瓦的理論思想中所看到的一 些美學呈現，的確可對照於康德的見解，最主要是將「發展變化」納入了美 學領域的觀點204。
對於伽羅瓦的理論思想所表現的和諧美，整理如下：
200參考徐本順、殷啟正著：《數學中的美學方法》，頁 89。
201參考徐炎章等著：《數學美學思想史》，頁 300。
202參考徐炎章等著：《數學美學思想史》，頁 300。
203參考徐本順、殷啟正著：《數學中的美學方法》，頁 93。
204參考徐紀敏著：《科學美學思想史》(中國湖南長沙市：湖南人民出版社，1987 年)，頁 344-345。
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