(一) 出人意料
第三節 藝術的延伸
伽羅瓦思想席捲整個世紀之後，仍像一顆閃亮的星星般灼灼發亮，它像藝術 品一樣讓人津津樂道，所散發出來的藝術特質是不同於感性美的「理性美」。英 國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy 1877-1947 年)曾將數學比喻為藝術：「數學定 理的美麗在很大程度上依賴其嚴肅性」。209
本節將從兩方面來探討 Galois 思想在藝術(尤其是視覺藝術)上所滲入的痕跡，
包括追蹤形式的或形狀的「對稱群」，以及立足不同場域所開創出的「多視角」。
一、 追蹤「對稱群」
(一) 形式的
伽羅瓦在尋找方程式的根式解時，將方程式的所有解玩弄於掌心之中，
尤其對各解間的對稱性特別感興趣。雖然它不是任何形狀的對稱，卻是高 度抽象以形式呈現的對稱。
例如在有理係數的方程式 x4－7x2＋10＝0 中，因可將左式分解，方程 式改寫成(x2－2) (x2－5)＝0，其解為 x＝ 或－ 或 或－ 。若分別以
a、b、c、d 代替 、－ 、 、－ 時，則 a 和 b 交換不會改變 x2－2＝0，稱 a 和 b 之間存在有「代數對稱」；類似地，c 和 d 交換不會改
變 x2－5＝0，稱 c 和 d 之間也存在有「代數對稱」。
於 是針 對方 程式 解的 置換狀 況，我們 可以構 築出一 個對稱群：
｛e, (a b), (c d), (a b)(c d)｝，這個對稱群中元素(置換)與元素(置換)的組合，
仍是保有原「代數對稱」特性的元素(置換)，它們是一群捍衛對稱特性的 勇士所組成的群體，我們將此對稱群稱為原方程式的 Galois 群。
(二) 形狀的
在平面上所見的對稱變換，包括平移、鏡射、旋轉或它們之間的簡單 組合。210若是圖形經變換後看起來仍與變換前一樣(圖形上的點可能已移 動了位置)，則此圖形是對稱圖形。
圓形是最明顯的對稱圖形，當它對圓心作任何角度的旋轉，或是在任 一直徑作鏡射，以至於經過有限次旋轉與鏡射的組合變換之後，看起來仍 與變換前相同。因此，這些所有變換的總集合，就形成了一個圓形的對稱 群。
209參考鄭毓信著：《數學教育哲學》，頁 72；J.N.Kapur 著，王慶人譯：《數學家談數學本質》，
頁 303。
210參考曹亮吉著：《阿草的數學聖杯》(台北市：天下遠見出版股份有限公司，2003 年)，頁 233。
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在 Keith Devlin 所著，洪萬生、洪贊天、蘇意雯、英家銘譯的《數學 的語言》211中記述著：
一個圖形的對稱群是一個數學結構，就某一意義上來說，它捕捉了 圖形可見的對稱程度。以圓為例，它的對稱群是無限的，因為對於 一個圓的旋轉，存在著無限多種可能的角度，而且，也有無限多條 可能的直徑可以被鏡射。圓的對稱變換群的豐富性對應了視覺對稱 的高等級—「完美對稱」(perfect symmetry)，這是我們注視著圓時 就能觀察到的。(頁 253)
比較一個正 n 邊形的對稱變換與圓形的對稱變換，可以發現有許多的 差異。此時，旋轉變換不再接受任何角度了，只剩 n 種旋轉(模 360 度，
即忽略旋轉圈數)能保持圖形相同；鏡射變換也減少為 n 種。將這些篩選 出來的旋轉變換、鏡射變換，以及它們之間的有限次變換組合聚集起來，
就可形成正 n 邊形的對稱群。
對於任一個完全不對稱的圖形，它也有一個對稱群，此對稱群只包含 單位變換這個元素。所以，圖形的對稱群無所不在。
在人類的心智活動中，到處可見從具象昇華到抽象的情形，對稱性即為 一例。節錄自 Keith Devlin 所著，洪萬生、洪贊天、蘇意雯、英家銘譯的《數 學的語言》一段文字如下：
幾何學始於我們週遭世界的可見模式：形狀的模式。但是我們的眼睛 感知到了其他的模式：可見的模式並不總是形狀，而在於形式。對稱 的模式就是一個明顯的例子。一抹雪片或一朵花的對稱，清楚地與那 些物體明顯的幾何一致性有關。對稱的研究捕捉了形狀更深刻、更抽 象的面向之一。因為我們總是察覺這些深層的、抽象的模式為美，它 們的數學研究可以被描述為美感中的數學。(頁 249)
由此可見，在各類藝術的呈現當中，不論是形狀上或形式上的對稱性變 換，都有著 Galois 思想的核心觀點；而此一觀點並非伽羅瓦所創，卻是緣於 伽羅瓦站在對的位置，致使得以窺見上帝創造中，精心鋪設「對稱」的美麗 痕跡。
211 Keith Devlin 著，洪萬生、洪贊天、蘇意雯、英家銘譯：《數學的語言》(台北市：商周出版，
2011 年)。
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二、開創「多視角」
伽羅瓦的研究工作不僅證明及解答了數學上的重要問題，更重要的意義，
則在於他不拘泥於舊思維卻勇於開創新局的精神。
西元 19 世紀以來，面對科學與藝術的蓬勃發展，我們以伽羅瓦開放且 嚴謹的態度，來審視各種新興的結構體系，會有更多的看見。以下將從「結 構是本質」出發，開拓「典範可轉移」的視角，再進而看清「現代藝術的崛 起」。
(一) 結構是本質
Galois 理論運用抽象結構來進行探討，將繁瑣的問題化約為統整的思 想，解決了困擾數學家們數百年之謎。對於數學上許多方面的研究，如果 都以內在結構作為思考，將會歸在同一種學問當中。在 Mario Livio 著，蔡 承志譯的《無解方程式》一書中就有如下記載：
事實上，龐加萊還認為「整個數學就是群的學問」。先前看似完全 無關的領域，如代數方程理論，各色各樣的幾何學，甚至數論(藉 由尤拉和高斯的開創性研究成果)，霎時由單一基本結構統合為一。
(頁 238)
起先，數學研究的對象在於空間形式和數量關係。後來，形式從空間 出走，關係也脫離了數量，數學開始研究純形式與純關係。當不侷限於空 間和數量時，所抽象出來的形式和關係，稱之為「結構」212，例如代數結 構、平面幾何結構、拓樸結構、序結構等。而一個集合可以同時有幾個結 構，而形成「系統」，例如實數系具有代數結構(運算)、序結構(大小)、
拓樸結構(連續)等。213
20 世紀 30 年代開始，在法國有一群數學家，以尼古拉‧布爾巴基 (Nicolas Bourbaki)為筆名，撰寫現代高等數學的著作。他們認為用「公理 方法」可以將數學看成一種統一的科學。節錄自張景中所著的《數學與哲 學》中的記載如下：
數學推理的長鏈背後還有更本質的東西。這種更本質的東西，真正 反映了數學特點的東西是什麼呢？布爾巴基學派稱之為「結構」。
(頁 104)
212參考張景中著：《數學與哲學》，頁 118。
213參考張景中著：《數學與哲學》，頁 112。
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而在人類的生存環境中，我們搜索著熟悉或類似的場景，由許多活動 記錄也可理解：結構是事物的本質。諸如：地圖和實際的地理狀況、流程 圖和會議的進行、玩具模型與真實物品，都有相同或相似的結構。
又如許多語言學家投入分析不同語言的結構，且致力釐清多種語言之 間相互的關聯。以台灣原住民所使用的語言屬於「南島語系」而言，就具 有許多古南島語的特徵。在李筱峰所著的《台灣史 101 問》214書中記載：
台灣在荷蘭人及大量漢語族人移入之前，即已居住有達數千、
數萬年的原住民族，他們都屬於南島民族。
從語言的觀點看，台灣的原住民(不論是所謂的「高山族」或
「平埔族」)，使用的語言屬於「南島語系」(Austronesian language family)，或稱「馬來亞玻利尼西亞語系」(Malaio-Polynesian language family)，與南太平洋區域住民，像印尼、馬來西亞、菲律賓、玻里 尼西亞……的語言同屬於南島語系。(中略)
一九八四年，語言學者 Robert Blust 提出南島語源自台灣的論 說，因為透過語料的蒐集、分析，發現台灣原住民的語言分歧最多，
且具有最多南島語的特徵。(頁 33-34)
語言藉由其結構的共通性，作為傳遞情感意念的工具，其流通性也自
然地擴散開來。但歷史的殘酷現象，卻說明了強權的侵害也包括語言的霸 凌，很可惜地，致使許多具優美特質的語言在地球上逐漸消失。
同樣地，各種藝術藉由不同素材與表現手法的呈現，傳達了其本質的 部分，也由此激發了人們的情感；而為了追求美的價值，數學也發展出對 於結構的研究。在 M.Kline 著，張祖貴譯的《西方文化中的數學》一書中，
有如下記載：
事實上，對美感愉悅的尋求，一直影響並刺激著數學的發展。從一 大堆自相誇耀的主題或模式中，數學家們有意或無意之中，總是選 擇那些具有美感的問題。古典時期的希臘人鑽研幾何，是因為幾何 的形式和邏輯結構對他們來說是美好的。他們重視發現自然界中的 幾何關係，並不是因為這些發現能幫助他們更好地征服自然，而是 因為這些發現揭示了美的結構。(頁 480)
同樣地，當我們從許多不同領域或學科當中，提取抽象的屬性或概念，
可能會發現它們具有相同的本質；並能藉此在視覺、聽覺、觸覺等方面搭 建出熟悉的結構思維，盡情遨遊於其中。215藝術的理性美於焉產生！
214 李筱峰著：《台灣史 101 問》(台北市：玉山社，2013 年)。
215 參考 M.Kline 著，張祖貴譯：《西方文化中的數學》，頁 476。
124 耶(János Bolyai 1802-1860 年，匈牙利數學家)都嘗試更換第五條公設，並 在新的結構體系中推出新的幾何學理論。偉大的數學家高斯也研究非歐幾
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角和大於 180°」等定理雖不符歐氏幾何的結構，但在球面幾何將「大圓」
視為直線的結構下卻是合宜的。
古時候人類的活動區域多只侷限於小範圍，所看到的地面是平坦的感 覺，因此歐氏平面幾何率先取得了研究這個世界的主導權。兩千年的發展 下來，甚至代數方程與幾何概念也相互解釋，彼此形成一個和諧且似乎牢 不可破的結構體系。但平面幾何不可能是唯一的真理，當我們將球面放到 歐氏幾何的框架中時，必然會發現許多「不合身」的定理。因著非歐幾何 的創立，人們開始認識到「數學空間」和「物理空間」是有區別的；歐氏 幾何可以在數學空間中建立王國，卻不能精確描述物理空間的真實狀態。
以往人們將兩者視為相同的習慣與思維，必須徹底地重新調整。
在 M.Kline 著，張祖貴譯的《西方文化中的數學》一書中，有如下一 段話頗發人深省：
確實，歐氏幾何被應用了數千年，它也適合人們長期以來所形成的
確實，歐氏幾何被應用了數千年，它也適合人們長期以來所形成的