體擴展的中間體與 Galois 群的子群之間存在一個映射

Galois 理論中，對於體擴展的中間體與 Galois 群的子群之間的聯繫，

找到一個一一對應的映射作為銜接，並體現理論的知識內容。在丘 維聲所著的《數學的思維方式與創新》書中的記載提到：

伽羅瓦在發現了四次一般方程的根式升鏈與群 G 的遞降子 群列之間有密切聯繫後，抽象出有限伽羅瓦擴張〔正規擴展〕

E/F 的中間域集〔體集〕與伽羅瓦群 G＝Gal(E/F)的子群集之 間存在一一對應。(頁 163)

當我們觀察 Galois 理論中這個「映射」的傳輸功能，可以發現它有 幾個特點：

(1) 一對一雙向可逆。

(2) 體擴展維度與 Galois 群子群的階數，關係恆定。

(3) 體的正規擴展與 Galois 群的正規子群，同生同滅。

(五) 界定「正規子群」與「合成因子」

在 Galois 理論中，由於有限正規體擴展 E/F 的中間體集與 Gal(E/F) 群的子群集之間，存在有一一對應，若中間體 M 恰使 M/F 為正規體擴 展，也將自然地帶出 Gal(E/F)群的正規子群 Gal(E/M)；因此，是在某種 條件存在之下，才有 Gal(E/F)群的正規子群的誕生。伽羅瓦認真整理，

並界定出「正規子群」乃左陪集與右陪集相同的子群；也將 Galois 群 的階數除以正規子群的階數稱為「合成因子」。

有了「正規子群」與「合成因子」，伽羅瓦才能繼續發展「可解群」

的概念，進而解決方程式根式求解的問題。

綜觀伽羅瓦所採取的研究方法，處處充滿創意。他擅於建構思想的空間，

並且總在疑似閉鎖處重新開展新路，其不拘泥且靈活的手法，令人敬佩。

在張雄、李得虎編著的《數學方法論與解題研究》一書中，就記載著：

為解決實踐上和理論上提出的各類數學問題，勢必創造出各種不同 的數學方法，相應的數學知識也就接踵而來。例如，為尋求高次代 數方程求根公式問題，不知多少數學家為之努力，創立了許多的方

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法和理論，直到伽羅瓦(Galois)創立了「群論」，才使這一向人類智慧 挑戰的難題得到徹底解決。伽羅瓦群論是近代數學的重大突破，被 稱為『群論』思想方法，然而卻是源於那個代數難題。(頁 7) 三、 思想精神

「Galois 理論」是近世代數很重要的里程碑，其孕育的源頭，來自於伽

羅瓦個人的特質、數學發展的進程，以及時代的演進等因素。然而，成就一 個偉大的思想，正是這些源頭當中的優質因素巧妙熔合精煉的成果。

觀察伽羅瓦的成長過程，發現他的性格有幾個特點：

性格特點 說 明

革命精神 伽羅瓦對於時勢常提出針砭，力圖改變現狀，願意承擔 風險。

高度企圖心 伽羅瓦具有熾烈的想像力，嚮往開創新局。

專注鑽研 伽羅瓦的「預見」並非偶然，而是來自於天才專一心志 的覺察能力。

自主支配 伽羅瓦懂得掌控各種存在的條件，以達成目的。

因為具有以上各種性格特點，伽羅瓦的創造力十足。

而具有獨特創造力的曠世奇才，能夠徹底改變數學風貌，在科學史上 留下劃時代的地位，重要的關鍵就在於時機已成熟。在達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本，就記載著：

十九世紀初期，代數變換已變得如此複雜，以致向前進展實際上已 經成為不可能的事情了。…數學家們不再能夠「預見」了。甚至拉格 朗日也無法把擱淺的解代數方程的問題向前推進(伽羅瓦卻做到了這 點)。……必須尋找新道路的時機來到了。決定這一時機的決不是偶然 性，而是必然性。天才的特徵就在於能覺察到這種必然性，並且立 即對它產生反應。(頁 38)

以下，我們將對於 Galois 理論的思想精神，作更細部的探討與分析。

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(一) 獨特創新的洞察力

伽羅瓦以他獨特的眼光，看見方程式解彼此間的特性乃取決於方程 式背後的結構關係。他從這一洞見中尋索解開謎團之鑰，認識到方程式 解宛如形成一個社群，在這個社群的組織網絡，可以從梳理當中找到方 程式各個解的定位。因此，伽羅瓦感興趣的是研究方程式解的置換群，

他知道在這個新領域中有他要找的答案。

節錄 Mario Livio 著，蔡承志譯的《無解方程式》的敘述如下：

伽羅瓦的洞見根本是個奇蹟。科學史上常見超乎時代「憑空」生 成的發現，……這些都是時機成熟的觀念。(頁 210)

當數學家有超凡的洞見時，即使是一點微小的亮光，卻可能帶出令 人驚奇的效果。因為 Galois 理論走一條獨特新穎的道路，不同於當時一 般人的想法，致使他生前那微小的亮光一再地被輕忽，直到伽羅瓦死後 才陸續被重視與推崇。在 Mario Livio 著，蔡承志譯的《無解方程式》一 書中，有如下的記載：

許多數學家每思及伽羅瓦，都有相同的敬畏感受。伊利諾大學的 約瑟夫‧羅特曼(Joseph Rotman)曾對我說：「伽羅瓦的群發明是個 神來之筆。畢竟，在那同一時代研究根式可解性問題的偉大數學 家阿貝爾，並沒有構思出群論。確實，似乎只有柯西才能賞識伽 羅瓦的成就，他在 1840 年代〔伽羅瓦過世後 8 年〕返回法國途中 領悟到這點，後來柯西深入鑽研群的學理課題，這才發展出其他 數學領域的群論應用。」牛津大學代數學家彼得‧紐曼(Peter Neumann)也說：「伽羅瓦對於群的根本道理具有超凡洞見，不過 他還有同等超凡的悟性，能領會我們該如何把群運用於方程式理 論—最後更發展出我們如今所稱的伽羅瓦理論(最終這構成現代 方程式理論)。」(頁 210-211)

(二) 大膽躍進的勇氣

伽羅瓦因熱衷於政治，追隨共和派的運動，培養了革命的勇敢精 神，也反映在他對學術的態度上。他急於打破不合時宜的局勢，試圖 建立新的秩序；他定睛於未來，懷著使命必達的企圖心。

在伽羅瓦的理論思想中，可見他從方程式的係數體出發，以「體 擴展」解構原係數體，再建立新的較大的係數體，大破大立的精神，

逐步進逼方程式的分裂體，造成各個係數體與分裂體之間活動空間的 限縮，降低方程式解彼此置換的可能性，也讓方程式的所有解一一現 形。他的論證方式指引了科學長期發展的方向，並奠定了結構概念的

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基礎。

在 Mario Livio 著，蔡承志譯的《無解方程式》一書中，有如下的 記載：

伽羅瓦對哪種方程式能夠以公式求解提出的證明，就是突破思考 框架的具體表現—為了解答代數方程式的問題，他發展出一個完 整的嶄新數學分支。(頁 326)

由此可見，伽羅瓦在思想上是大膽躍進的，他不願受制於舊傳統 的約束，他要開創新局。在言談中也曾出現「未來數學家的使命」、「所 選擇的道路」等想法。¹⁹⁴縱觀伽羅瓦在世的歲月極為短暫，卻活出了 超越世代的學術生命。

(三) 抽絲剝繭的探究心

伽羅瓦規劃了前進的路線之後，還必須將整個思想概念落實建立。

因此對於每個環節都要清楚掌握，「群」的結構更要仔細剖析，才能 自主支配各種狀況；尤其若想研究任何特殊問題(例如方程式的根式解) 時，必須用科學方法對於群的元素加以分析，再藉由遵循群的結構及 邏輯推演所得到的一般理論，找到或預見所要探究的結論。

在達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本，就記載著：

伽羅瓦說：「我在這裏進行分析之分析」，這種想法表明了他竭力 想使這些新的、像辭匯表那樣地具有實用意義的基元得到使用。

群論首先是數學語言的整理。(頁 39)

在整套理論構建的過程當中，伽羅瓦引進了相當多新穎的觀念，

包括 Galois 群、正規子群(Normal Subgroup)、同構(Isomorphism)、單群 (Simple Group)、合成群(Composite Group)、可解群(Solvable Group)等。

有了這些觀念，理論的框架更為紮實穩固，也使伽羅瓦的立論更加有 了秩序。

(四) 協同合作的器度

伽羅瓦的生活經驗，包括求學、政治狂熱、愛情等方面的遭遇，

都成了澆灌他學術研究的養分。事實上，數學家伽羅瓦的學術研究模 式，總帶著革命者伽羅瓦的積極態度與社會性格。在達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本，就記載著：

194參考達爾馬斯原著：《伽羅瓦傳》，頁 21。

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伽羅瓦早在聖佩拉吉監獄裏，就想到未來科學家們的團結：

「科學家生來並不比其他人要過孤獨的生活；他們也是屬於特定 時代的人，而且遲早要協同合作。到了那時候，將有多少時間騰 出來用於科學。」

大概，沒有一位科學家有過伽羅瓦那樣把科學理想與社會理 想結合起來的；大概，這種結合從來不曾引起來自政府方面如此 瘋狂的迫害的。(頁 39)

伽羅瓦專注於獨創的 Galois 群。他掌握變動的因子，從群的結構變 化去探究問題的根源。如以方程式的係數體進行擴展，相對地將使方 程式對應的 Galois 群之結構更改並縮小；尤其是當方程式的係數體進行

「根式擴展」時，對應的 Galois 群所表現出的更像是有組織的聚合，此 時衍生的「正規子群」可作為代表。

另一方面，「同構」的運用充分銜接了不同領域的相關性，而能 夠合作的基礎，就在於「結構」的相通性；儘管外表看來極其不同的 事物，在「結構」的整規之下，可達成一致性，並共同完成更偉大的 理論。在 Mario Livio 著，蔡承志譯的《無解方程式》一書中，有如下 的記載：

伽羅瓦離家赴死之前，把一批文稿留在書桌上，我們在其中一頁 發現幾則批註，裡面夾雜了數學塗鴉和幾項革命理念。……提出 共和宣言之後，接著又是數學分析，彷彿從頭到尾就是個完整的 思維。顯然在伽羅瓦心中，團結和不可分割的概念，對數學及革 命精神一體適用。群論正發揮了這種功能—讓各色各樣看似無關 的學科，從根本上整合構成不可分割的模式。(頁 333-334) 不論是「群」或「同構」，Galois 思想掌握了以抽象的聚合模式，

探討內部相關與外部聯繫所形成的秩序，使得學術研究也顯現了協同 合作的器度。

(五) 登高俯瞰的眼光

伽羅瓦看待問題時，不會拘泥於問題本身，他的眼光會從「點」

伽羅瓦看待問題時，不會拘泥於問題本身，他的眼光會從「點」

在文檔中 Galois理論思想研究 (頁 115-121)