一、 觀察
觀察是指主體通過感官對客體的認識過程。在張雄、李得虎所編著的
《數 學方法論與解題研究》一書中，記載著：在心理學中，觀察被看做是一種有目的、有計劃、有步驟的感知活 動，是一種主動的、對思維起積極作用的感知活動。(頁 22)
伽羅瓦為了探尋五次方程式是否有根式解，觀察方程式的所有解的屬 性，找到了關鍵的原因，說明如下：
(一)對稱性
以 Galois 理論的創立而言，最初是為了尋求高次代數方程式的求解 公式，這個問題困擾數學家達兩百多年之久。伽羅瓦就是觀察者，也是 主體；「高次代數方程式能否用根式表出其解？」是客體。伽羅瓦對這個 問題進行解剖與觀察，發現以往總是以方程式的次數作為分類標準，其 實只掌握到外觀的形式，並沒有抓住方程式的內在本體，而主控內在本 體的精髓卻是「方程式解的對稱性」。
在 Mario Livio 所著，蔡承志譯的《無解方程式》一書中提到：
169參考丘維聲著：《數學的思維方式與創新》，頁 1。
觀察 抽象 探索 猜測 論證
數學思維方式的五個重要環節
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在伽羅瓦之前，方程式一律依次方數歸類，如二次、三次、五次 等。伽羅瓦發現，對稱性是更重要的方程式特性。根據次方數來 把方程式分門別類，就像依尺寸來把玩具盒裡的木頭積木分門別 類。伽羅瓦想出依對稱性來區分方程式類別，這相當於領悟到，
積木更重要的基本特性是形狀——圓形、方形或三角形。(頁 211) 一般的對稱性表現，常見於二度空間的平移、旋轉、鏡射和滑移鏡 射，或是三度空間的螺旋對稱，這些都屬於幾何變換；而對於任何事物 或概念進行置換排列，也是對稱性的另一種形式表現。170
以兩個物件(1 代表黑、2 代表白)為例，只有兩種置換：
與 。第一種是單位置換，保持原狀；第二種是兩者互換位置。有時 候我們將這兩種置換記為 e 及(1 2)。如下圖：
再以正三角形為例，三個頂點分別以 1、2、3 代表，將其位置交換，
得到 3!種(即 6 種)置換，分別是
、 、 、
、 、 、 。其中第一種是單位置換，保持 原狀；第二、第三及第四種各將其中兩頂點對換了一次；最後兩種則是 進行了兩次對換頂點的結果。有時候我們將這六種置換依序記為 e、(1 2)、
(2 3)、(1 3)、(1 2 3)、(1 3 2)。觀察下圖，應可感覺到它們所散發出來的 對稱性格，有原封不動、鏡射、旋轉等。
170參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 35-36。
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(二) 方程式的專屬群
由代數基本定理知道：一元 n 次方程式恰有 n 個解。若這 n 個解都 是相異的，將這 n 個解進行重排，則會有 n! 種置換產生，形成一個群。
但每一個方程式都會服從於某些「預解式」，這些預解式是由方程式 的推定解(因可能尚未得其解，暫稱為推定解)所形成。例如 x2＋ax＋b＝0 的推定解為 x1、x2，則 x1＋x2＝－a，x1x2＝b 都是預解式；又如 x4＋x3＋ x2＋x＋1＝0 有四個推定解 x1、x2、x3、x4，則 x1x2x3x4＝1 也是其中一個 預解式。171拉格朗日就曾經試圖以低於原方程式次數的預解式找解，但 沒有成功。
如前述，n 次方程式的 n 個相異解會有 n! 種置換。將這 n! 種置換 作用在所有的預解式，可能某些置換已開始違逆當中的預解式了；但有 一批忠誠的置換，卻仍永遠服從於所有的預解式(無論所列出的預解式有 多少個！)，將這一批忠心耿耿的置換聚集起來，就產生了一個置換群，
就是此方程式專屬的「Galois 群」。
伽羅瓦一定嗅到每一個 Galois 群中，各個置換之間也存在著某些對 稱關係，這樣獨到的觀點，使他造就出更豐沛的理論。因此，Galois 群 稱得上是方程式對稱性的代言者。
例如假設二次方程式 x2＋ax＋b＝0 的解為 x1、x2，將 x1、x2進行重 排，得到兩種置換： 、 。預解式 x1＋x2＝－a，x1x2＝b 在 單位置換下必然不變；在 置換下得 x2＋x1＝－a，
x2x1＝b，仍然成立。因此，x2＋ax＋b＝0 的 Galois 群就是包括兩種置換 的 。172
換句話說，當數學家們觀察二次、三次、四次方程式的求解公式，
試圖找出更高次方程式求解線索時，伽羅瓦承續了拉格朗日所看見卻未
171參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 151。
172參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 211。
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竟的成果。他明確地觀察到：「方程式解的排列理論」就是整個問題的核 心，而每一個方程式的 Galois 群都有其個別的對稱特性。173
在達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本，記述了伽羅瓦在聖 佩拉吉監獄所寫的研究報告中的一段話，就可看出他對研究的路線所抱持的 自信，如下：
使計算聽命於自己的意志，把數學運算歸類，學會按照難易程度，而 不是按照它們的外部特徵加以分類——這就是我所理解的未來數學家 的任務，也是我所要走的道路。(頁 56)
伽羅瓦除了在研究問題時有如上驚人的洞察力之外，他對科學的觀察也 是超越一般人的。在聖佩拉吉監獄所寫的研究報告中，還敘述了一段深具遠 見的看法，仍節錄自達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本：
從最先進的數學家們致力於求得嚴整性這一確定不移的事實中，可以 有把握地作出結論說，同時掌握幾種運算的必要性變得越來越迫切了，
因為人的智力沒有足夠的時間來詳細研究細節。(頁 56)
對照今日的科學發展，伽羅瓦已經看到「同時掌握幾種運算的必要性」
是未來世界的常態，他的感知活動的確領先於同時期的研究。
二、 抽象
抽象是指從眾多的事件當中，抽取共有的、本質性的特徵和屬性，並捨 棄非本質的內容。若以數學方式進行抽象思維，可將不重要的細節省略或剔 除，只把最重要的觀點展現出來；而展現的方法是從各種不同的情境中，找 到它們共同的關係、結構或模式。
伽羅瓦為了揭開高次方程式的神秘面紗，他抓住了方程式解最重要的本 質乃「解的對稱性」這個特徵。但這個共同的特徵隱藏在方程式的 Galois 群 中，因此有必要將置換群抽離出來研究，找出組成元素的關係，明白整體的 結構，以建立可遵循的模式。伽羅瓦從方程式解進化到群的研究，就是抽象 思維的表現。
「群」(Group)有聚集、會合的意思，更有依照類別區分的意涵。伽羅瓦 所討論的置換群是最早被認識的群，它的組成「元素」是幾個文字所產生的 置換，而一個置換接續一個置換的動作可視為「運算」，因此群中元素經過 運算後仍是群中元素。當時尚未有抽象群的定義，但伽羅瓦對於這樣的運算，
173參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 151；袁小明編著：《數學史》，頁 208。
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以 H 的左陪集個數和右陪集個數相同，都是(n÷m)個。
雖然 G 可裂解成(n÷m)個 H 的左陪集的拼圖，G 也可裂解成(n÷m)個 H 的右陪集的拼圖，卻只有在 H 為 G 的正規子群時，兩者的裂解方式才 會完全相同。對於母群 G，只有正規子群能在左、右陪集的分割上達成 一致；也就是 G 中的元素都被分配到各自歸屬的隊伍，而且不論是在左 陪集或右陪集的整隊之下，屬於同一隊的成員永遠都會在同一隊中。
正規子群的左陪集與右陪集完全相同
以三元對稱群 S3＝｛e, (1 2) , (2 3) , (1 3) , (1 2 3) , (1 3 2)｝為例，H＝
｛e, (1 2 3) , (1 3 2)｝是其子群。可檢驗得 eH＝He＝H，(1 2 3)H＝H(1 2 3)
＝H，(1 3 2)H＝H(1 3 2)＝H； (1 2)H＝H(1 2)＝｛(1 2) , (2 3) , (1 3)｝，
(2 3)H＝H(2 3)＝｛(1 2) , (2 3) , (1 3)｝，(1 3)H＝H(1 3)＝｛(1 2) , (2 3) , (1 3)｝。
因此 H 是 S3的一個正規子群，並且 S3的六個元素可被正規子群 H 分成 兩隊：e、(1 2 3)、(1 3 2)都在 H 中；(1 2)、(2 3)、(1 3)都在另一隊。
(二) 合成因子
由前述知，若母群有 n 個元素，它的一個正規子群有 m 個元素，則 可產生左(右)陪集個數是(n÷m)個，這個整數稱為「合成因子」。今假設母 群 G 中，找到一個極大的正規子群 H1(不可以是 G)，合成因子為 p1； H1中又找到一個極大的正規子群 H2(不可以是 H1)，合成因子為 p2；…，
以此類推，繁衍下去，直到某個 Hk＝｛e｝。這個極大正規子群家族代代 所產生的關聯，可寫下連串的合成因子列( p1 , p2 ,…, pk )，這串合成因子 列正好可作為母群 G 的家族族譜。176特別值得一提的是：G 的家族族譜 排列順序可能更動，不過卻一定是這 k 個數的排列。
伽羅瓦細心地推敲，發現這個族譜隱藏著上帝的密碼，它竟然是牽 動著方程式產生根式解的源頭。177
再來看 n 元對稱群 Sn，因每一個 Sn中的奇置換與偶置換各佔一半，
我們將所有偶置換(對換偶數次)所形成的子群稱為 Sn的交錯子群，以 An
表示，那麼 An的元素個數是 個，並且也很容易檢驗 An是 Sn的一個極
176參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 212-213。
177參考 Mario Livio 著，蔡承志譯：《無解方程式》，頁 212-213。
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大正規子群。
例如：S3＝｛e, (1 2) , (2 3) , (1 3) , (1 2 3) , (1 3 2)｝，A3＝｛e, (1 2 3) , (1 3 2)｝是 S3的極大正規子群，可知第一代的合成因子是 6÷3＝2；又 A3
的極大正規子群是｛e｝，則第二代的合成因子是 3÷1＝3。綜合上述，S3
的極大正規子群家族繁衍出 S3、A3、｛e｝，其合成因子列為( 2 , 3 )。
進一步探討 S4，它共有 4!＝24 個元素，而 A4是 S4的一個極大正規 子群，且 A4有 12 個元素，可知第一代的合成因子是 24÷12＝2；在 A4當 中又可找到一個極大正規子群 K＝｛e , (1 2)(3 4) , (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)｝，K 有 4 個元素，則第二代的合成因子是 12÷4＝3；在 K 中再找到一個極大 正規子群 H＝｛e , (1 2)(3 4)｝，H 有 2 個元素，則第三代的合成因子是 4÷2＝2；最後，H 的極大正規子群只能是｛e｝，則第四代的合成因子是 2÷1＝2。綜合上述，S4的極大正規子群家族繁衍出 S4、A4、K、H、｛e｝，
其合成因子列為( 2 , 3 , 2 , 2 )。
伽羅瓦用抽象的觀點研究方程式解，選擇了分析「群」的結構，因為他 的努力，使群的概念深入數學中，扮演了相當重要的角色。以下是節錄自達 爾馬斯(Andre Dalmas)著《伽羅瓦傳》中譯本的記載：
群的概念的建立，使數學家們擺脫了研究大量的、各式各樣的理論的 繁重負擔。原來人們只要指出這些理論是可能的就行了。由於這些理 論就其本質而言都是十分類似的，所以用同樣一句話就足以表白它們。
(頁 38-39)
同樣在達爾馬斯(Andre Dalmas)著的《伽羅瓦傳》中譯本有另一段記載，看到 群論成為數學的一個分支，聯繫著科學各領域的發展：
伽羅瓦的「群」，…，一再表明，確定新聯繫在科學上會起著多大的作 用。其中每一項發現都標誌著科學家所使用的語言的重要改進。(頁 39)
伽羅瓦秉持著先人開疆拓土的精神，為數學發展覓得一片優聖美地。
三、 探索
探索是為解決疑問，多方尋求答案的研究過程。就好比前方的道路不確 定，必須摸石過河一般。在數學上經常用到分析、歸納、類比，甚至直覺、
探索是為解決疑問，多方尋求答案的研究過程。就好比前方的道路不確 定，必須摸石過河一般。在數學上經常用到分析、歸納、類比，甚至直覺、