在這個小節當中，我們討論 A 國和 B 國在自給自足的情況之下，市場的均 衡價格。而 A 國和 B 國的差異在於ℎ̅ 的不同，且 B 國是 First-order stochastic 𝑖 dominance A 國的2。我們設定ℎ̅̅̅ = 2，而 B 國的ℎ𝐴 ̅̅̅ = 3，目的是為了簡化 B&R 𝐵 (2007) 的模型，以便納入人力資本累積的變數並進一步分析其效果。
首先根據 B&R (2007) ，A 國在自給自足的情況之下。存在一個均衡價格𝑝𝐴， 此價格會等於人力資本門檻值ℎ𝐴∗。人力資本符合ℎ𝐴 ≥ 𝑝𝐴的人生產 X 財，其預算 限制式為ℎ𝐴 − 𝑋𝐴− 𝑝𝐴𝑌𝐴 = 0，可以得出對於 X 財和 Y 財的需求函數如下：
𝑋𝐴 =12ℎ𝐴, 𝑌𝐴 =12ℎ𝑝𝐴
𝐴 (2)
另外ℎ𝐴 ≤ 𝑝𝐴的人生產 Y 財，其預算限制式為𝑝𝐴− 𝑋𝐴− 𝑝𝐴𝑌𝐴 = 0，對於 X
2
First-order stochastic dominance(一階隨機優勢)：假設 X 和 Y 的累積機率密度函數(CDF)分別為
𝐹
1和𝐺
1。若分配滿足𝐹
1(𝑥) ≤ 𝐺
1(𝑥)，代表 X 對於 Y 是有一階隨機優勢的，且任意的 x 皆滿足。
8
9
10
圖一、受教育前後均衡價格和生產配置的變化
3.3. A、B 兩國自由貿易之下的均衡價格
本章節討論的是兩國進行貿易的貿易方向和市場均衡。根據 B&R (2007) 中 Proposition 3，若 B 國具有 First-order stochastic dominance 的優勢(即𝐹(ℎ𝐵) ≤ 𝐹(ℎ𝐴))，則可說 B 國是人力資本豐富國，對於生產 X 財有較大的優勢。而 A 國 為勞動力豐富國，對於生產 Y 有較大的優勢。故 B 國應當出口 X 財，本文在基 本模型中，因為得出𝑝𝐴 < 𝑝𝐵，貿易方向是由 A 國出口 Y 財，B 國出口 X 財。由 於設定 B 國相較 A 國為人力資本豐富國，故與 B&R (2007) 中得出結果吻合。
3.3.1. 未考慮教育機會下之貿易均衡
已知貿易方向為 A 國出口 Y 財，B 國出口 X 財。令國際市場均衡價格 𝑝𝑇1(= ℎ𝑇1∗ )，可藉由表一資訊求出其值：
如下式：
∫
ℎ𝑇1𝑓
𝐴(ℎ
𝐴)𝑑ℎ
𝐴∗ 1
+ ∫ 𝑓
𝐵(ℎ
𝐵)𝑑ℎ
𝐵=
ℎ𝑇1∗ 1
∫
1ℎ𝑇1∗ 12𝑓
𝐴(ℎ
𝐴)𝑑ℎ
𝐴+ ∫
12ℎℎ𝐴𝑇1∗
𝑓
𝐴(ℎ
𝐴)𝑑ℎ
𝐴2
ℎ𝑇1∗
+ ∫
1ℎ𝑇1∗ 12𝑓
𝐵(ℎ
𝐵)𝑑ℎ
𝐵+ ∫
12ℎℎ𝐵𝑇1∗
𝑓
𝐵(ℎ
𝐵)𝑑ℎ
𝐵3
ℎ𝑇1∗ (11)
11
12
13
表三、未考慮教育機會時貿易造成所得變化 生產項目變化
(貿易前→貿易後)
總所得變化
A 國 產 Y 者→產 Y 者 (𝑝𝑇1− 𝑝𝐴)(𝑝𝐴− 1) (↑)
產 X 者→產 Y 者 1
2(𝑝𝑇1− 𝑝𝐴)2 (↑)
產 X 者→產 X 者 所得不變
B 國 產 Y 者→產 Y 者 (𝑝𝑇1− 𝑝𝐵)(𝑝𝑇1− 1) (↓) 產 Y 者→產 X 者 −1
2(𝑝𝐵− 𝑝𝑇1)2 (↓)
產 X 者→產 X 者 所得不變
育機會以及貿易方向分成以下三種情況：
情況 1：未考慮教育機會 (參閱表三)
若不考慮教育機會，則人力資本相對缺乏的 A 國，貿易後 Y 財價格 提升，
使得產 Y 者的收入變好，雖然產 Y 的人變多了 (部分產 X 者貿易後變成產 Y 者)，
但這些改變生產項目者，他們的所得因貿易後獲得改善，整體所得分配更加公平。
而 B 國為人力資本豐富國，因為 Y 財價格下降，使得產 Y 者所得下降，而且原 本有些在貿易前是產 Y 者變成產 X 者，收入也跟著下降，所得分配是惡化的。
情況 2：考慮教育機會，貿易方向未逆轉 (參閱表四)
表四是加入教育且貿易方向未被逆轉，貿易後兩國的所得變化。貿易後 A 國產 Y 者的所得是上升的，但是幅度與𝑒成反比；貿易前產 X，貿易後變成產 Y 者，收入也上升的，所得分配是變公平的。B 國貿易後產 Y 者的收入是下降的，
與 A 國不同的是，隨著𝑒的增加，下降的幅度會越來越小，所得分配更加不公。
情況 3：考慮教育機會，但貿易方向逆轉 (參閱表五)
14
Proposition 2：如果教育逆轉了貿易方向，則會使得 A 國貿易後所得分配不
公平，而 B 國更公平；相反的，如果教育不能夠逆轉貿易方向，則會使得 A 國15
表五、考慮教育機會時貿易造成所得變化 (方向逆轉) 生產項目變化
(貿易前→貿易後)
總所得變化
A 國 產 Y 者→產 Y 者 (𝑝𝑇2− 𝑝𝐴𝑒)(𝑝𝐴𝑒− (e + 1))(↓) 產 Y 者→產 X 者 1
2(𝑝𝑇2− (𝑝𝐴𝑒− 𝑒))2(↓)
產 X 者→產 X 者 所得不變
B 國 產 Y 者→產 Y 者 (𝑝𝑇2− 𝑝𝐵)(𝑝𝐵− 1) (↑)
產 X 者→產 Y 者 1
2(𝑝𝑇2− 𝑝𝐵)2 (↑)
產 X 者→產 X 者 所得不變
較，當貿易後，產 Y 者的所得上升。但是在情況三中，隨著 e 的增加，逆轉了 貿易方向，但也使得產 Y 者的所得下降，使得分配惡化。貿易與教育在此為替 代關係，當教育程度越高時，貿易會使得所得分配更加惡化。
4.2. 自給自足之下的社會福利
社會福利即為整體國民效用的總合，而參照 B&R (2007) 中的社會福利函數 如下：
𝑊(ℎ, 𝑝) = ∫1ℎ𝑀𝐴𝑋𝑈(𝑋(ℎ, 𝑝), 𝑌(ℎ, 𝑝))𝑓(ℎ)𝑑ℎ (13) 因為在我們的模型設定中，加入了單調分配函數進入模型中，我們因此可以 計算出產 X 財和產 Y 財的人的效用水準。接著計算出在自給自足之下 A 國和 B 國的社會福利。
4.2.1. A 國未加入教育
我們將 A 國人民的 X、Y 財的需求函數代入 (13) 式，可得下式：
16
表六、自給自足時考慮教育機會造成所得變化 生產項目變化
(貿易前→貿易後)
總所得變化
A 國 產 Y 者→產 Y 者 (𝑝𝐴𝑒− 𝑝𝐴)(𝑝𝐴𝑒− (e + 1))(↑) 產 Y 者→產 X 者 1
2(𝑝𝐴 − (𝑝𝐴𝑒− 𝑒))2
+ 𝑒(𝑝𝐴 − (𝑝𝐴𝑒− 𝑒))(↑) 產 X 者→產 X 者 𝑒(2 − 𝑝𝐴) (↑)
𝑊𝐴 = 16𝑝𝐴3−14𝑝𝐴2+23 (14) 接下來將 A 國市場均衡價格𝑝𝐴代入(14)式，可以得到 A 國自給自足之下的 為𝑊𝐴 = 1621 (85 + 7√13) ≒ 0.68。
4.2.2. A 國加入教育
接下來討論在自給自足時加入教育之後，對於 A 國社會福利的影響，我們同 樣使用 (13) 式，將𝑝𝐴𝑒代回，可以求得加入教育之後的社會福利函數如下：
𝑊𝐴𝑒 = (16𝑝𝐴𝑒3 −14(𝑒 + 1)𝑝𝐴𝑒2 +23+ 𝑒 +12𝑒2+121 𝑒3) (15) 將𝑝𝐴𝑒代回 (15) 式，可以得到𝑊𝐴𝑒(𝑒)形式的函數如下：
𝑊
𝐴𝑒= (
23+ 𝑒 +
𝑒22+
𝑒123−
361(1 + 𝑒)(1 + 𝑒 + √13 + 2𝑒(7 + 2𝑒))
2+
1621(1 + 𝑒 +
√13 + 2𝑒(7 + 2𝑒))
3)
(16)接著將𝑊𝐴𝑒對𝑒做微分，來觀察教育對於社會福利的影響，結果如下：
𝜕𝑊𝐴𝑒
𝜕𝑒 = (25+6𝑒−18𝑒2−8𝑒3+37√13+2𝑒(7+2𝑒)+29𝑒√13+2𝑒(7+2𝑒)+4𝑒2√13+2𝑒(7+2𝑒))
54√13+2𝑒(7+2𝑒) > 0 (17)
其中因為8𝑒3 < 4𝑒2√13 + 2𝑒(7 + 2𝑒))又18𝑒2 < 29𝑒√13 + 2𝑒(7 + 2𝑒)恆成 立，所以上式恆正。可以得以下結果：
Proposition 3：在自給自足時，A 國透過教育會使得社會福利上升。
17
根據 (17) 式，𝑊𝐴𝑒會隨著教育程度 (𝑒) 增加而增加，且當𝑒 = 0時𝑊𝐴 = 𝑊𝐴𝑒。 在加入教育程度之後，隨著教育效率增加，Y 財的均衡價格也隨之上漲，同時使 得產 Y 者的所得上升。然而因為在我們的設定之下 X 財的價格固定為 1，所以 產 X 財的人在加入教育之後，每一個產 X 財者全部都會增加𝑒的產量，所以這些 人的實質所得隨之上升。而 Y 財的價格上升亦代表產 Y 者之實質所得增加，故 社會整體福利上升，且教育帶來柏拉圖改善效果 (Pareto Improving)。
4.2.3. B 國的社會福利
B 國相較於 A 國為人力資本豐富國，人力資本分配是 First-order stochastic dominance A 國的。在這裡求出 B 國的社會福利，以便之後的討論。我們將 B 國 人民需求函數代入，可得到𝑊𝐵水準如下：
𝑊𝐵 = (121 𝑝𝐵3−18𝑝𝐵2+98) (18) 再將𝑝𝐵代回 (18) 式，可以求出 B 國自給自足之下的社會福利為𝑊𝐵 =
11
324(29 + 4√7) ≒ 1.34。我們可以得知，在自給自足的情況之下，人力資本較豐 富的 B 國相較於 A 國，社會福利較高 (𝑊𝐵 > 𝑊𝐴)。這是因為 B 國產 X 財的優勢 較 A 國高，且 B 國中 Y 財的價格較高，產 Y 財者可支配所得增加，整體來說社 會福利是高於 A 國的。
4.3. 未加入教育，貿易後的社會福利
在這裡我們先算出基礎貿易模型下的社會福利，以便驗證 B&R (2007) 的命 題和接下來的分析，首先計算 A 國的社會福利。
我們同樣利用 (13) 式的函數，將表(一)中 A 國對 X、Y 財的需求函數帶入，
可以得到𝑊𝐴𝑇1函數如下：
𝑊𝐴𝑇1= (16𝑝𝑇13 −14𝑝𝑇12 +23) (19)
18
將𝑝𝑇1代入，可以得到 A 國貿易之下的社會福利水準為𝑊𝐴𝑇1= 155324+2√29 ≒ 0.79。由上式可以得知，在 A 國貿易之後，社會福利是上升的 (𝑊𝐴 < 𝑊𝐴𝑇1)。在 B&R (2007) 的 Proposition 5 當中說明，當 B 國是 first-order stochastic dominance A 國時，雙方進行貿易活動，貿易會增加人力資本豐富國也就是 B 國的所得不 平等，而人力資本缺乏國的 A 國則會降低所得不平等。A 國因為貿易所降低的 不平等，使得產 Y 者所得變高，而產 X 者雖然因為 Y 財價格提升而有所損失，
但是整體上來說遠低過產 Y 者的所得增加，因此社會福利上升。
接著我們計算 B 國貿易之後的社會福利，同樣使用 (13) 式，將表(一)中 B 國對 X、Y 財的需求函數帶入，可以得到𝑊𝐵𝑇1函數如下：
𝑊𝐵𝑇1= (121 𝑝𝑇13 −18𝑝𝑇12 +98) (20)
代入𝑝𝑇1，可以得到 B 國貿易之下的社會福利為𝑊𝐵𝑇1 =167162+√29 ≒ 1.2在與 B 國自給自足之下的社會福利相比較，可以發現人力資本豐富國的 B 國，在與 A 國貿易之後，社會福利反而是下降的。在 B&R (2007) 的 Proposition 5 也提到，
貿易會增加人力資本豐富國的所得的不平等，此不平等主要是 B 國貿易後 Y 財 價格下降，使得產 Y 者所得降低，而產 X 者所得不變，但是整體社會福利是下 降的。
4.4. 加入教育，貿易後的社會福利
此節是本文主要想要探討的內容，在 A 國加入教育之後進行貿易，進而分析 對於 A、B 兩國社會福利的影響。
4.4.1. A 國的社會福利
首先先討論加入教育之後的 A 國。和之前相同的使用 (13) 式，將表(二)中 A 國對 X、Y 財的需求函數帶入，可以得到𝑊𝐴𝑇2如下式：
19
20
Proposition 5：貿易後，A 國的社會福利會因為教育效率不同而有所增減，
0 < 𝑒 < 0.57時社會福利增加，0.57 < 𝑒 < 4.03時社會福利減少，𝑒 > 4.03時社會 福利增加。
與加入教育後自給自足時的社會福利做比較，先從均衡價格討論起，貿易前 的均衡價格為𝑝𝐴𝑒，貿易後的均衡價格為𝑝𝑇2，我們比較這兩個函數，可以得知當 0 < 𝑒 < 0.57時，𝑝𝑇2 < 𝑝𝐴𝑒；當e > 0.57時，可以發現𝑝𝑇2 > 𝑝𝐴𝑒，而這個0.57也 是逆轉貿易方向的臨界值，當e > 0.57時貿易方向逆轉，A 國出口 X 財，而 B 國 出口 Y 財。
就社會福利而言，若𝑒 > 4.03，因為教育效果𝑒夠大，A 國會專業生產 X 財 (𝑒 > 2.16時 A 國專業化生產 X 財，此時𝑝𝑇2− 𝑒 < 1，A 國市場中無產 Y 財者)，
B 國專業生產 Y 財(𝑒 > 2.16時𝑝𝑇2 > 3，表示 B 國市場無人生產 X 財)。在兩國 貿易的情況下，A 國人民全都會接受教育且生產 X 財，雖然教育也會使得 Y 財 價格上升，但從𝜕𝑝𝜕𝑒𝐴𝑒 =13(1 + 4𝑒+2(7+2𝑒)
2√13+2𝑒(7+2𝑒)) < 1可以得知，Y 財價格受教育影響 提升，比起受教育提升的所得來得低，所以教育水準在這區間時，貿易是會增加 社會福利的。接下來討論0.57 < 𝑒 < 4.03，𝑒 ≒ 0.57正好是 A 國逆轉貿易方向的 臨界值。在這個區間裡面 A 國出口 X 財，且貿易使得 Y 財價格下降，產 Y 者所 得減少，財富分配不均，此時受教育的好處未高於貿易後的損失，所以造成 𝑊𝐴𝑒 > 𝑊𝐴𝑇2的情況發生。最後討論0 < 𝑒 < 0.57，此時貿易方向尚未逆轉，A 國 出口 Y 財，而貿易增加 A 國產 Y 財者的所得，而產 X 財者不變，社會福利上升。
4.4.2. B 國的社會福利
雖然在我們的模型當中，B 國無教育機會，但是因為和加入教育的 A 國做貿 易，仍然會被教育所間接影響。同樣使用(13)式，我們可以得到𝑊𝐵𝑇2如下：
𝑊𝐵𝑇2= (121 𝑝𝑇23 + (18𝑒 −18) 𝑝𝑇22 −18𝑒2𝑝𝑇2+241 𝑒3+98) (24) 再將𝑝𝑇2代回上式可以得到𝑊𝐵𝑇2(𝑒)形式的函數如下：
21
𝑊𝐵𝑇2 =174961 (18036 + 216√162 + 84𝑒 + 22𝑒2+ 𝑒(5589 + 1225𝑒2+
294√162 + 84𝑒 + 22𝑒2+ 𝑒(2637 − 67√162 + 84𝑒 + 22𝑒2))) (25) 我們將 (25) 式對𝑒做微分，可以得到下式：
𝜕𝑊𝐵𝑇2
𝜕𝑒 = 1
5832√81+𝑒(42+11𝑒)(27 (350√2 + 69√81 + 𝑒(42 + 11𝑒)) + 𝑒 (3348√2 − 189√2𝑒 − 737√2𝑒2+ 1758√81 + 𝑒(42 + 11𝑒) +
1225𝑒√81 + 𝑒(42 + 11𝑒))) > 0 (26)
其 中 1225𝑒√81 + 𝑒(42 + 11𝑒) > 737√2𝑒2 、 1758√81 + 𝑒(42 + 11𝑒) >
189√2𝑒，上式恆正。我們可以從上式得知，隨著𝑒上升，B 國的社會福利也隨之 增加。
我們之前討論過 B 國在貿易後會降低社會福利，接下來想討論與加入教育 的 A 國做貿易，是否會因為教育改變貿易後社會福利降低的情況。所以我令 B 國自給自足下的社會福利𝑊𝐵，等於與加入教育後 A 國貿易後的社會福利𝑊𝐵𝑇2。 發現當𝑒 ≒ 0.25時，𝑊𝐵 = 𝑊𝐵𝑇2成立；當𝑒 > 0.25時，𝑊𝐵 < 𝑊𝐵𝑇2成立，反之當 𝑒 < 0.25時，𝑊𝐵 > 𝑊𝐵𝑇2成立。我們可以得到：
Proposition 6：貿易後若是 A 國的教育效率太低
(𝑒 < 0.25)，會使得 B 國的 社會福利相較於自給自足時低；相反的 A 國效率良好的情況下 (𝑒 > 0.25)，B 國的社會福利相較於自給自足時高。B 國貿易後的均衡價格也會受到教育的影響，當𝑒 > 0.25時，𝑊𝐵< 𝑊𝐵𝑇2成 立，且從 (26) 式可得知，𝑊𝐵𝑇2會隨著𝑒的增加而上升，且為單調遞增函數。當 A 國加入教育後並與 B 國貿易，在教育為𝑒 < 0.25時，貿易方向尚未逆轉，市場 中 Y 財價格因為教育而上漲。但在貿易之後，B 國的 Y 財價格相較於自給自足 時是下降的，B 國產 Y 者所得下降，此時貿易並不能帶給 B 國社會福利增加。
而𝑒 > 0.25時，對 B 國來說，教育所帶來的好處已經超過貿易所帶來的損失，所 以整體社會福利上升。
22
圖二、1 < 𝑝𝑇< 𝑝𝑖 < ℎ𝑚𝑎𝑥時，貿易前後效用變化
若使兩國社會福利同時提升，教育水準必須介於0.25 < 𝑒 < 0.57, 𝑒 > 4.03。
當教育水準不足以逆轉貿易方向時，兩國仍可透過貿易來提升社會福利。或是教 育程度夠高時，貿易也可以提升兩國福利。
4.5. 投票模型
本節討論人民對於貿易的態度。假設人們可以投票選擇是否開放貿易。根據 人民自身效用，如果貿易後增加則會支持貿易。若過半數的人效用提升，則該國 貿易決策會被通過。在我們的模型中，令半數之人力資本為ℎ𝑚𝑖𝑑，在貿易前後，
本節討論人民對於貿易的態度。假設人們可以投票選擇是否開放貿易。根據 人民自身效用，如果貿易後增加則會支持貿易。若過半數的人效用提升，則該國 貿易決策會被通過。在我們的模型中，令半數之人力資本為ℎ𝑚𝑖𝑑，在貿易前後，