第四章 研究結果與討論
第一節 補救教學的個案分析
本節的內容主要在分析三名個案在前測時對面積概念錯誤的原因，茲分述如 下。
一、個案一：小彤 (一)前測試題分析
研究者將小彤在前測試題的作答情況與訪談記錄，作答情況分析整理如下表 4-1。由表 4-1 中可看出小彤對扇形和圓形的定義不清且公式沒背熟，致使她在 計算過程中會出現類似題目有時寫對有時寫錯的情形發生。
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重新為扇形定義。
2.扇形面積測量(以第 3 題為例) T：請將題目讀過一次。
S：有一個圓心角 36 度，半徑為 10 公尺的扇形，請問面積大約是多少平方公 尺?
S：10×10×3.14×36
T：圓心角 36 度的算法錯了，36 度的意思是說這個扇形的占整個圓形的比例，
所以應該是 才對。
由此題推知小彤並不了解圓心角的意義，另外，老師也發覺小彤對於題目的 意思有時會一知半解，在講解題意時如果輔以教具會讓學生更容易理解，因此以 第 4 題說明在進行題意理解時，即時應用教具有助於提昇學生對題意的理解。
T:一個圓對折 4 次後會變成幾分之幾的圓?
S：四分之四。
T：那你將這個圓對折後，圓變成幾分之幾了?(老師拿出圓形紙卡) S：二分之一。
T：二分之一圓再對折呢?
S：四分之一。
T：四分之一圓再對折呢?
S：八分之一。
T：八分之一圓再對折呢?
S：十六分之一。
T：所以說，對折四次後的圓會變成幾分之幾圓。
S：十六分之一圓。
T：那你現在可以算出第 4 題的扇形面積了嗎?
S：可以。
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3.圓面積測量(以第 16 題為例) T：這一題你怎樣計算?
S：將圓面積減掉三角形的面積。
T：圓面積怎麼算?三角形的面積怎麼算?
S：5×5×3.14-10×5÷2
T：這是一個 圓，所以圓面積也應該是算整個圓的一半才對。
S：喔，對。
由此推知，小彤對於圓面積的算法大致上了解，唯獨要在計算 圓面積時要 提醒她面積要算一半就好。
二、個案二：小倫 (一)前測試題分析
研究者發覺小倫對數字的反應快，也很喜歡數學，但是作答時容易粗心大 意。小倫在「扇形面積測量」和「圓面積測量」的錯誤較多，歸咎於對題目敘述 不了解與公式應用錯誤。小倫在公式背誦的能力強，但因為面積的公式繁多，常 常容易搞混。研究者將小倫在前測的作答情形整理如下表 5。
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S：2 條。那我懂了。
2.扇形面積測量(以第 16 題為例) T：請一題你怎樣計算?
S：用 圓減掉三角形。
T：圓面積和三角形的公式會背嗎?
S：圓(半徑×半徑×3.14)、三角形(底×高) T：10 是直徑不是半徑。
S：哦，我忘記除以 2 了。
T：三角形的公式是(底×高÷2)才對喔，你背的是平行四邊形的公式。
S：哦。
由本題可知小倫在本題對複合式圖形的概念是正確的，礙於公式沒背熟加上 自己計算錯誤，因此錯失了很多題(題號 7、13 和 16 都是類似情況)，研究者也 提醒小倫自己在作答時應該要更仔細，細心才能避免這些小錯誤的發生。
3.圓面積測量(以第 19 題為例) T：請問這一題你怎樣計算?
S：314×900 T：為什麼是 900?
S：30×30 啊。
T：你再將題目看清楚一點。
S：啊，看錯了，應該是 30×20。
T：那答案算出來還是不對啊?那你怎麼選答案?
S：我不知道啦，我就選一個最像的。
由本題推知，小倫將兩個 圓的面積加在一起後又再乘上長方形的面積，研 究者在訪談中發現對於本題的複合式題目概念並不熟悉，沒辦法理解可以將左邊 的 圓補到長方形中空缺的 圓。
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(二)訪談記錄
1.基本公式與測量(以第 20 題為例) T：這一題的半徑是幾格?幾公分?
S：6 格，6 公分。
T：你如何列式?
S：6×6×3.14=11304 T：小數點怎麼不見了?
S：我忘記了。
T：應該怎麼寫才正確?
S：113.04
研究者在課堂中發現小茹對於小數的四則運算能力較弱，尤其在加減法時小 數點應該要對齊後才能計算或是在乘除法時，運算結束後應該要再將小數點有幾 位放上去，這兩部分小茹常常忘記。
另外，在本題項中的題目小茹答錯的比例偏高，訪談後發現答錯率偏高的原 因在於小茹對各圖形的面積公式並不熟悉及本身的計算能力不佳。
2.扇形面積測量(以第 3 和第 14 題為例)
研究者發現小茹對於題目意思的理解能力較弱，另外在面積公式的記憶與應 用上也較前兩位研究對象來的弱，因此在本測驗題項中的錯誤率偏高的原因即為 不了解題意也不會應用面積公式。另外，小茹在公式的推理能力也需要再加油，
以下是針對小茹在本次單元中對無法理解的公式整理如下：
(1)圓周長度=直徑×圓周率(可理解，且會應用在求圓周長度的題目)
(2)圓面積公式=半徑×半徑×圓周率(可理解，但在計算時常會忘記半徑的算法) (3)直徑=半徑÷2(常會忘記，且在複合式圖形中會用直徑來計算圓面積)
(4)直徑=圓周長度÷圓周率(無法理解，只能仰賴老師隨時提醒)
(5)扇形面積=半徑×半徑×圓周率×圓心角 (無法背誦公式，且不會將圓心角占全圓
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的比例應用於題目上)
以第 3 和第 14 題和小茹進行訪談結果如下，研究者發覺小茹在計算過程中 會因為不知道該如何計算，而在算式中省略，另在訪談時也得知小茹在本次測驗 中，有幾題因為題意太長沒耐心或看不懂題意而猜測答案。
T：第 3 題你如何計算?
S：10×10×3.14=314
T：那圓心角 36 度呢?怎麼沒放進算式中?
S：不會算。
T：那第 14 題你又如何計算呢?
S：10×10×3.14=314
T：那圓心角 90 度呢?怎麼沒放進算式中?
S：沒看到，不會算。
四、教學規畫
由前測試卷中了解到三名個案在作答時的錯誤原因及想法有多處雷同，而研 究者本身是三名個案的導師，研究者在教授完圓面積及扇形面積兩單元後，發覺 個案對於此兩單元的觀念不甚了解，因而決定設計本次補救教學課程，並在課程 中結合電子白板，期許藉活電子白板活絡課程教學，除了釐清個案在圓面積和扇 形面積的觀念外，也讓個案重拾自信心與對數學的喜愛。
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第二節 電子白板於扇形及圓面積補救教學的實施歷程
本節旨在探討於補救教學中導入電子白板的實施歷程研究，同時這也是本研 究的研究目的之一。首先說明本次補救教學的教學流程，接著再分析電子白板在 扇形及圓面積補救教學中的實施歷程。
一、補救教學的教學流程
本次的補救教學教案中的教材來源為 101 學年度南一版數學第 11 冊，在教 學過程中，老師依序在電子白板上佈題，請三名個案輪流上台操作電子白板後並 和同學分享作答的方法。當作答錯誤時，個案間可進行討論或由老師示範解題，
達到教學相長之功效。
二、應用電子白板於扇形及圓面積補救教學的實施歷程
本次補救教學的課程設計為六節課，有三個主要的活動，分別是基本公式的 應用(2 節)、扇形與圓形面積的測量(2 節)、複合圖形面積的測量(2 節)，以下 分別就各活動的實施歷程探討之。
(一)基本公式應用的實施歷程
在這個單元中，研究者發覺個案們對於圓和扇形的組成要素一知半解，對於 各平面圖形公式的應用能力也不佳，因此在教學過程研究者使用了無限複製器和 百格板讓學生了解扇形的定義和圓的組成元素，並讓個案進行簡單的平面圖形公 式計算。
因為是第一次在課程上使用電子白板，個案的反應呈現兩極化，有些個案在 操作過程中不順手，甚至覺得有點難；但也有個案覺得很好玩，以下是個案們在 本活動的實施歷程說明(T 是教師，S 是學生)：
T：請你們在圖上畫出圓心、直徑、半徑和弧長。
T：請小倫上台畫(圓心和直徑，半徑都畫對，但是不知道弧長怎麼畫)。
T：大家都畫的很好，但是你們的弧長都畫錯了。
S：(小彤)弧長到底是什麼啊?為什麼要有弧長呢?
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T：弧長是圓周的一部分啊，你看這個扇形上是不是也有一段彎彎的弧長呢?
S：(小茹)有啊，是每個扇形都會有嗎?
T：對!所以說一個扇形會有一段弧長和 2 條半徑。
S：(小彤)原來紅色的是弧長，我以為是半徑，現在我懂了。
T：一個圓的直徑一定要通過圓心才可以，那一個圓會有幾條半徑?
S：(小茹)1 條吧；(小彤)很多條；(小倫)很多條。
T：老師用無限複器畫出這些通過圓心的直徑，它們的長度都是一樣的，所以說 一個圓可以有無限多條直徑，但是它們的長度都會相等。
S：(小倫)老師，那半徑也可以有很多條嗎?每一條的長度都會一樣嗎?
T：小倫的觀念很正確哦，半徑是圓心到圓周上的一段距離，這段距離正好是直 徑的一半，可以有很多條，圓上的半徑長度都會一樣。
T：學生白板上畫出扇形的組成要件如圖 4-1。
圖 4-1 扇形的組成要件
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圖 4-2 平面圖形計算 (二)基本公式應用的教學省思
這是第一次在數學領域上使用電子白板進行教學，我發覺學生對電子白板的 接受度呈現兩極化，有人覺得很有趣(電子白板像超大的智慧型手機或平板電腦，
可以在課程中把圖形拉來拉去)，也有人覺得很麻煩(字寫的醜醜的，油標都對不 準，要點好幾次)。當然，我可以理解個案們的想法，因為我自己在電子白板的 操作上也是下了一番功夫呢!但是整體而言，個案們對補救教學的課程似乎沒有 在本活動中，因為急著想讓個案將課程內容全部學懂，因此忽略了下課時間，
致使在第二節課後半段時，學生有些微不耐煩的情況發生，將此列為下次上課時 需改進的地方。在上課前課程所需的內容製作檔案，縮短了平時做教具的時間，
而利用電子白板的互動性與隨時拍照、擷取畫面的功能幫學生記錄自己的作答過 程，可達到溫故知新的功效。其中最能引起個案興趣的是教學活動中的「綜合活 動」所呈現的小遊戲，遊戲的聲光效果和隨機選取發表的旋轉板是個案們最喜歡 的。
(三)扇形與圓形面積測量的實施歷程
個案們從三年級下學期開始，即陸續接觸到平面圖形的介紹與面積公式應用 等，因此對於三角形、平行四邊形、長方形、正方形與梯形的公式有些許概念，
但並不純熟，而圓形的周長與面積計算是在個案們六年級的課程內容，經研究者 在課堂上的觀察顯示，個案們在公式上保有短暫記憶，需研究者提醒後才能想起 該公式，因此，本次的補救教學課程將以公式應用為主，在題目計算中提供個案 相關的公式，讓個案們將公式套用於題目中。前測題目中的第 9 題主要是要先圓 周長推論直徑後，再求出圓面積；在前測時，研究者發現三名個案在作答時錯誤
但並不純熟，而圓形的周長與面積計算是在個案們六年級的課程內容，經研究者 在課堂上的觀察顯示，個案們在公式上保有短暫記憶，需研究者提醒後才能想起 該公式，因此，本次的補救教學課程將以公式應用為主，在題目計算中提供個案 相關的公式，讓個案們將公式套用於題目中。前測題目中的第 9 題主要是要先圓 周長推論直徑後，再求出圓面積；在前測時，研究者發現三名個案在作答時錯誤