第二節
第二節 第二節 角概念相關研究 角概念相關研究 角概念相關研究 角概念相關研究
研究者分析相關文獻後發現有關角概念研究主要分成三類，分別如下。
壹 壹壹
壹、、、 、 兒童角概念表現的調查研究兒童角概念表現的調查研究 兒童角概念表現的調查研究兒童角概念表現的調查研究
國內外有許多學者進行學童角概念表現的調查研究，這一類的研究發現，兒童常見 共同迷思概念，以下依國外、國內的研究分別歸納如下：
一、國外角概念相關研究
（一）對角的概念不清楚：把三角形當成角 Fuys et al.(1988) 指出兒童傾向以三 角形來代替角，可能是兒童較喜歡處理封閉的有限區域的整體而非開放的無限 空間。另外，幾何的語彙能力不足也可能是個因素。某些兒童使用「點」、「頂 點」、「三角形」來表示角，或用「直的」、「直三角形」表示直角。
（二）以外在特徵判斷角的大小：Close(1982)、Clements(1990)、Mitchelmore(1989) 及 Piaget et al.(1960)等人研究發現部分學童用角的邊線長度判斷角的大 小。Assessment of Performance Unit(1982) 認為學童會以圖形所涵蓋的面積作為 比較，用角的兩邊線之間的空間量比較角的大小。Wilson(1990) 與
Krainer(1993) 都認為角的弧線與箭頭標示，有助於學生理解角的旋轉與旋轉 量。Close(1982) 發現這樣的標示，當角度 180 度以下時，兒童會以弧線標示 來判斷角的大小，但當角度超過 180 度愈接近 360 度時，這樣的情形就不再出 現。
（三）受方位影響：Piaget et al. (1960) 認為兒童必須具有角的保留概念，才能 將角度相同但擺置方向不同的角視為相同。Close(1982) 發現兒童測量有一邊 是水平方位的角比較不容易出錯。Noss(1987) 發現不到 50﹪的 10-11 歲兒童 能分辨方位不同的直角。Mitchelmore(1989) 發現約 50-60﹪11 歲的兒童認為 一邊水平和一邊垂直的角才是直角。
（四）量角器操作表現方面：歸納 Close(1982) 及 Rowland（引自黃金泉；2003）
的研究，兒童在操作量角器上常見的問題包括：1.不知道要將量角器的 0 度線 與角的邊線對齊，或認為量角器的 0 度線必須平放。2.不知道要將量角器的中 心點與角的頂點對齊。3.不會讀量角器上沒有標明數字的刻度。4.認為量角器 的 90 度必須是垂直向上的。5.以 90 度線對準被測角的邊以致答不出鈍角角度 或答錯銳角角度。6.學童在面對「鈍角或非水平方位」的角的圖形時，比較容
易發生讀錯量角器上刻度的現象。
二、國內角概念相關研究
在國內有許多學者進行學童角概念的研究，詳細的內容整理如表 2-2-1。並歸納出 重要發現如下：
（一）對角的定義不清楚：劉湘川等人（1993）的研究指出約有三分之一的三年級 學童認為角就是三角形。謝貞秀、張英傑（2003）的研究則指出 62.5％的三、
四年級的學童對角的描述有困難。
（二）平角、優角的概念不清楚：張英傑（2003）對四、五、六年級的學童測試的 結果發現，平角的通過率才 40％。賴文正（2005）對五年級的的學童研究顯示 270 度旋轉角與 90 度角差異的認知、畫給定度數的優角、實測優角的角度等項 目的概念或能力表現極需再加強。王慈莉（2005）對三年級的研究顯示角度接 近於平角時，學生在辨識單獨出現的角形是角或非角上會產生較大的困難。
（三）角的大小比較受外在特徵影響：陳錦傳（1995）對四、六年級的學童研究顯 示角的方位與角的弧線標示兩因素的交互作用，會影響學童角的大小比較的表 現；角的邊長長短不同會也影響學童角的大小比較的差異。
（四）受方位影響：黃金泉（民 2003）發現四年級學童具有在角方向改變的保留概 念者約 55％。謝貞秀、張英傑（民 2003）對三、四年級學童的研究指出，直角 兩邊如果不是水平垂直擺放，有 25％認為是鈍角；邊長較短的角辨識通過率也 較低。王慈莉（2005）對三年級的研究顯示約有 24％的學童認為直角要有水平 邊。
（五）量角器操作表現：黃金泉（2003）對四年級學童的研究發現，測量角度有 36
％習慣以量角器內線來報讀刻度，對角度的刻度意義，仍有釐清的必要。賴文 正（2005）對五年級的學童研究發現 19％將鈍角畫成互補的銳角。
表 2-2-1 國內學者對角概念的相關研究
表 2-2-1（續）
貳貳貳
貳、、、 、 Tirosh Tirosh 和Tirosh Tirosh 和和和 Stavy Stavy Stavy Stavy 直觀法則對角概念之研究直觀法則對角概念之研究直觀法則對角概念之研究 直觀法則對角概念之研究
以色列學者 Tirosh 和 Stavy(1996)在數學和科學教育研究方面，觀察到學生在建立 某些概念的過程中，常會受到一些無關因素的影響，雖然這些數學和科學方面的問題內 容領域和推理需求是不相同的，但是他們都有一些共同的外在特徵，於是提出直觀法則 (Intuitive Rules)的理論來解釋學生這些迷失概念或另有概念。角概念對直觀法則有 兩種反應類型：「A 比較多 B 就會比較多(More A-More B) 」，也就是角的邊長越長、
角的弧線越長、角的邊線越粗，就判定角越大（引自 Stavy & Tirosh, 2000）。「A 相 同 B 就會相同(Same A-Same B)」，學童在比較正多邊形內角大小時，容易受到角的邊 長相同，就判定角的大小也相同，而忽略正多邊形的邊數越多，角度就越大的概念 (Tirosh, 1999) 。
直觀法則使我們可以預見學生正確和錯誤的答案。它的預測效果可以用在教學上來 幫助學生克服直覺法則副作用。有兩種教學方法已證明是有效的，卽類比的教學和衝突 的教學。
一、類比教學
首先呈現一個定錨的問題，這個定錨的問題的形式已經除去不相干的表面特徵，通 常用來引出正確的答案。接著呈現搭橋的問題，在搭橋問題中，不相干的特徵會引出直 覺法則。最後將強烈的暗示的直覺法則的標的問題引進。利用搭橋問題與標的問題的一 些相同特性，將直覺法則的影響降至最低。以對頂角相等為例，Tirosh and Stavy(1999) 指出如果兩對頂角的邊等長，學生就會視角為相等；如果有一個夾角的邊較長，學生就 會解釋成邊長較長的角也較大。這樣的解釋符合 More A-More B 的直覺法則。因此對頂 角兩邊等長的例子作為定錨問題，如圖 2-2-1-(1)；混合的表徵當成搭橋問題，如圖 2-2-1-(2)；將混合的表徵呈現在學生面前，並且反時針旋轉 90 度，而得到一個對頂角 不相等的表徵，卽標的問題，如圖 2-2-1-(3)。
a a a b b b
(1)定錨的問題 (2)搭橋的問題 (3)標的問題 圖 2-2-1 類比教學以對頂角相等為例
二、衝突教學
在衝突教學中，首先用一個題目引出學生的錯誤答案，接著再呈現一個和學生最初 錯誤的答案互相衝突的情境，藉此讓學生察覺到她們最初的答案是不充分的(Tirosh &
Stavy, 1999) 。
國內的研究亦發現學童在進行角的大小比較時，有不少的學童以直覺判斷角的大 小：黃金泉（2003）對四年級學童的研究發現 56％使用直觀法則之「more A - more B 」 的概念比較大小。王慈莉（2005）國小三年級學童在進行角的大小比較時，即使具有角 的保留概念，還是容易受直覺法則「more A - more B」以及「same A - same B」的影響，
尤其以弧線的大小影響最鉅。賴文正（2005）對五年級的的學童研究發現，有 42％的學 童認為角邊長越長，角就越大，33％認為標示角的弧線越長，角就越大；43％受「same A - same B」的影響。
參參參
參、、、 、 Mitchelmore & White等人等人對角概念抽象教學模式的研究等人等人對角概念抽象教學模式的研究對角概念抽象教學模式的研究 對角概念抽象教學模式的研究
Mitchelmore & White 等人根據數學概念形成的的原則，以日常生活中蘊含角形的具 體物或路徑為操作材料，透過引導發現其相似性，進而抽象形成角概念。進行一系列的 研究，並嘗試建立角概念教學模式，詳細內容如下：
Mitchelmore (1997) 的研究中採取六種角脈絡（傾斜、角落、交叉、彎曲物、旋轉、
彎曲路徑）交叉配對，在每一配對中晤談 4 名小學二年級學生，以探究兒童所認知的每
一配對中的非正式知識。以四個歷程進行晤談：(1)不同具體角情境的情境知識；(2)分 類角情境成為角脈絡；(3)創造抽象角模型以表徵角脈絡；(4)認知不同脈絡間的相似性。
其中傾斜和角落這一組配對，4 名兒童都認知相似性；交叉和彎曲物則有 2 名兒童都認 知相似性；而旋轉和彎曲路徑沒有兒童認知相似性。分析這些角情境結構特徵，可知傾 斜和角落均呈現一頂點延伸出兩條直線；交叉和彎曲物均具體呈現角的兩條線，卻未明 確的顯露出頂點；而旋轉和彎曲路徑沒有明顯的相似性，兒童必須自己建構出角的兩條 線（引自柯慶輝，2000）。
Mitchelmore & White (1998) 提出兒童角概念發展架構，將兒童角概念的發展分成三 個階段：階段一為情境的角概念，兒童能夠從環境中去經驗，組織成具體的角情境；階 段二為脈絡的角概念，兒童能認知不同具體情境的角的相似性；階段三為抽象的角概 念，兒童能夠了解脈絡中幾何構造的相似性（引自柯慶輝，2000）
Mitchelmore & White(2003) 再以三、四年級學童共 200 位學生分配在 25 個班級上 課，運用三個步驟的活動來發展學童抽象角度概念有很好的效果。活動如下：
一、熟悉認知(Familiarity)
學生需要先熟悉許多不同的角度狀況，學生以探討許多不同角度狀況的方式學習不 同的角度部份。課程中包含觀察操作生活中具體的角情境，指出邊及頂點。例如：三角 板、剪刀、門、斜坡、時鐘、人體關節等
二、相似度(Similarity)
學生需要了解這些不同角度狀況中的相似度，課程中包含直接配對角度（實物直接
疊合）、不直接配對角度（以中間媒介物指出二者相同大小）和其他讓學生注意角度相
似度的方式（學生指出角度狀況中的兩條線和頂點）。
三、具體化(Reification)
學生需要將已經認識的角度狀況轉換成抽象角度，許多活動或課程教導學生將狀況 中的角度具體化成為抽象角度（學生畫出與角度大小相似的圖畫、解釋直角、鈍角和銳
角的定義、學生以自己的方式解釋角度的概念）
角的定義、學生以自己的方式解釋角度的概念）