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A Content Analysis of the Angle-related Teaching Materials in the Elementary-School Mathematic Textbooks
Abstract
The main purpose of the study was to compare the contents of teaching materials relating to the angle concept in different versions of elementary-school mathematic textbook. Four versions of elementary-school mathematic textbooks used in 2003 school year, namely, New-Ton, Nan-Yi, Kang-Sham, and Han-Lin, were included in this study. The arrangement of mathematic contents relating to angle concepts, the learning activities, and the pictorial
illustrations of angle concept presented in the textbooks were analyzed.
After analyzing and comparing different versions of the mathematic textbooks, the study had the following findings:
1. The angle-related concepts were arranged by all four versions of textbooks in the order of identifying angles from polygons, using angles to indicate the degree of opening, and then using angles to record the actions of rotation.
2. The order of angle-related concepts, the amount of posted questions, and the examples in comparing angular magnitude were mostly the same in the four textbooks.
3. In using protractors to measure the size of angles, measurement and estimation activities in the four textbooks were quite similar. The arrangement of activities for other concepts, however, did not have such similarity.
4. Most of the posted problems in the four textbooks were quite close to everyday life and diverse, except for the estimation of angle size.
5. In regards to the types of learning activities in the textbooks, manipulation and practice were the most popular activities. The percentages of these two types of activities were
higher than those of observations, reflections, and discussions.
6. In terms of the types of angles presented in the textbooks, most of the angles were less than 180 degrees. For demonstration purpose, the protractor in the textbooks was usually placed horizontally in the illustration.
7. The counter-examples for angle-related concept presented in the four different versions of textbooks were quite rare.
Lastly, according to the findings of this study, suggestions were made to the textbook writers as well as the following researchers for their reference.
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第二章
第二章
第二章
第二章 文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討
本研究主要目的在於比較依據八十九年公佈九年一貫課程暫行綱要（教育部， 2000），不同出版社所編輯的審定本數學領域教科書中關於角概念教材的差異，據以提 出具體建議，提供各版本編輯者編輯教科書、學校選擇教科書及教師教學或未來研究之 參考。本章共分五節，第一節探討角的定義及兒童角概念的發展。第二節探討角概念相 關研究。第三節探討角概念教材的內涵。第四節探討影響概念形成因素。第五節探討教 學活動類型。第一節
第一節
第一節
第一節 角的定義及
角的定義及
角的定義及
角的定義及兒童角概念的發展
兒童角概念的發展
兒童角概念的發展
兒童角概念的發展
教科書的編寫是依照課程綱要，在教材綱要轉換成教科書中的教材編輯過程，需考 慮數學知識的邏輯結構及兒童認知發展的順序。因此本節探討角的意義及兒童角的概念 發展。壹
壹
壹
壹、
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、
、
角的意義
角的意義
角的意義
角的意義
角的意義隨時代演變而有不同的定義，希臘時代認為角可存於立體(solid) 、平面
(plane) 和曲面(curved surfaces) ；到了歐幾里得，角是平面物件的概念才廣泛被接
一、M. Mitchelmore 對角的定義： Mitchelmore(1989) 對角的定義受到國內學者及多家教科書出版社認同，並加以引 用（南一書局，2003；康軒文教事業，2003；劉好，1997a；翰林書局，2003），其定 義如下： （一）一對射線：同端點的兩條射線，從頂點射出的方向差。 （二）夾角區域：具有共同端點的兩條射線所圍出的平面區域。 （三）旋轉量：一射線繞一點旋轉的旋轉量。 二、K. Krainer 的定義 Krainer(1993)注重角的圖形表徵，以無弧線標示、有弧線標示和方向箭頭標示等 三種不同的圖形表徵來區分角，三類不同的角圖形表徵分別為： （一）無弧線標示的角：角的圖形表徵是頂點與兩邊，角度由 0 度至 180 度，如圖 2-1-1（a）所示。 （二）有弧線標示的角：角的區域與張開程度以弧線標示，角度由 0 度至 360 度， 如圖 2-1-1（b）。 （三）有方向的角：角旋轉量以方向箭頭表示，箭頭代表起始邊與終點邊，是有方 向性的，角度可大於 360 度，如圖 2-1-1（c）。 圖 2-1-1 角的標示方式 三、國立編譯館對角的分類 國立編譯館（2001）根據民國 82 年國民小學課程標準所編纂的數學教材中，將角
區分為以下三類： （一）角是一種圖像表徵，從某一方向轉至另一方向，如圖 2-1-2（a） （二）角是自同一端點射出的兩射線間的差量，如圖 2-1-2（b） （三）角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量，如圖 2-1-2（c） 圖 2-1-2 各種角定義之表徵（國立編譯館，2001） 四、國內學者的看法 國內學者朱建正、呂玉英、胡鈺麟（2002）及劉好（1997a），則將小學階段角的教 材區分為「圖形角」、「張開角」、「旋轉角」。其涵義分別如下： （一）圖形角：圖形角指的是隱含在我們日常生活中的物品或幾何圖形中的角，角 的形象並非獨立呈現，大都屬於有限圖形，這類圖形上包含了角頂點的鄰近區 域，具有「平面區域」的概念，是屬於靜態角。 （二）張開角：張開角類似一種兩個邊的物品，其兩邊的一端固定在可轉動的關節 上，兩邊或其中一邊可以旋轉的裝置，例如像摺扇、蚌蛤的開合機制，這類具 有「張開程度」概念的角是屬於動態角。 （三）旋轉角：旋轉是一種動作，動作停止，其現象即消失，旋轉角有起始邊與終 止邊，時間上是有先後順序的。為具體呈現其起始位置和終止位置，通常以直 線或射線，記出其起始、終止的兩邊，若要強調其起始位置及旋轉方向，常以 箭頭指出。若不考慮其旋轉方向，則形象和靜態的圖形角相似，這類的角稱為 旋轉角。
貳
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兒童角的概念發展
兒童角的概念發展
兒童角的概念發展
兒童角的概念發展
兒童對於角概念的認知，有其發展的順序，先是由具體的經驗、察覺，漸進發展至 抽象概念的理解（劉好，1997a）。以下分別從皮亞傑、van Hiele 的研究探討兒童角概 念的發展。 一、 從皮亞傑觀點探討兒童角概念
Piaget, Inhelder, and Szeminska (1960) 以「角的圖形的仿畫」、「鈍角三角
形的仿畫」、「三角形內角的度數和」三種作業研究學童角的概念發展階段。詳細的階 段分布整理如下： （一）階段Ⅰ：（4-5 歲）至階段ⅡA（6 歲）的兒童僅是藉由視覺估測來畫圖形， 無法利用工具測量，沒有知覺角的存在。 （二）階段ⅡB：（6-7 歲）能做長度測量，但無法測量角的開度，以視覺判斷線段 的斜度。 （三）階段ⅢA：（7-9 歲）能量長度並以直尺平移維持線段的斜度，仍無法精確知 覺角。 （四）段ⅢB：（9-9.5 歲）能利用直角當參考角，以線性測量的方式找出斜度與垂 直底邊的高。 （五）階段Ⅳ（大於 9.5 歲）能擺脫圖形本身的干擾，做出補助線或外高，並將角 的概念普遍化。 由上述結果可知，學童隨年齡的增加，大約到十歲以後才漸漸對角的存在及角度概 念能有理解。學童概念發展順序依次是：「無法知覺角的存在」、「以目測方式知覺兩 線之間的傾斜度」、「利用視覺以外的方式來知覺角度」、「正確利用測量工具」。 二、 從 van Hiele 觀點探討兒童角概念 van Hiele 認為幾何的學習包含五個層次的順序發展，從一層次發展到另一層次，
是依賴教育的經驗而非年齡或成熟因素（劉秋木，1996；Hoffer, 1983; van Hiele, 1986）。五個層次分別如下： （一）層次一─視覺的(visual) ：兒童以整體的外形來認識圖形，而非特別指出圖 形的某一部分。 （二）層次二─描述的(descriptive) ：兒童能分析圖形各個組成元素，但尚不能 了解各圖形之間的關係 （三）層次三─理論的(theoretical) ：兒童了解各圖形之間的關係，並利用圖形 的性質來了解各幾何圖形的差異。 （四）層次四─形式邏輯的(formal logic) ：兒童不僅了解各圖形之間的連結關係， 並能證明之。
（五）層次五─邏輯法則本質的(the nature of logical laws) ：兒童擁有正確的
數學架構，並能利用各種方式陳述此數學架構。 van Hiele 認為各層的轉變可用學生思考對象的差異表達出來，在層次一思考的對 象是幾何圖形，所關注的要素是外形輪廓。層次二以圖形的構成要素（點、邊、角）做 分類運作，並發現分類後的性質。層次三這些性質成為學生運作的對象，並產生性質的 邏輯順序。層次四邏輯思考順序變成為學生運作的對象。層次五邏輯思考順序的「演繹 基本假設」成為學生運作對象。同時每個階段各自有各自獨特的語言符號及聯結這些符
號的關係系統（朱建正，1997；Hoffer, 1983; van Hiele, 1986）。
多位學者認為國小學童角的概念約處於第 1-3 層（吳德邦，1998；林軍治，1992； 譚寧君 1993），以下就第 1-3 層兒童角概念的特徵說明如下： （一）層次一：學童只知覺到角的圖形。學童能注意到角，並能選出角的圖形及指 出三角形的三個內角，但是卻不知道角的性質。例如學童能知道直角三角形有 三個角，但是不知道其中有一個角是直角。 （二）層次二：學童能了解角的度量意義。學童能確認角的性質及角之間的大小關
係，且能利用角性質。例如，根據直角的數目將三角形分類。 （三）層次三：學童知道角的性質，並能從事幾何圖形內各角的關係的演譯。了解 三角形不會同時擁有二個鈍角，因為它必須形成封閉曲線；也能透過演譯的方 式了解任何直角三角形中的兩銳角和是 90 度。 在 van Hiele 的思考模式中，還確認了一般化的原則與特性，對教學模式的決定提 供一些導引方向（譚寧君，1993） （一）次序性(Squential) ：每個人幾何概念的發展，是依其所述的層次循序漸進， 在任意特定層次若要成功的發展，必須先擁有前一層次的各項概念與能力，無 法跳級。 （二）發展性(Advancement) ：孩童是經由學習從一個層次進展到另一各層次，非 因其年齡成長而發展。
（三）內因性與外因性(Intrinsic & Extrinsic) ：孩童學習發展在某層次內涵的
各項目標，即為下一層次可能達到的外顯目標的基礎，兩個層次的能力之發展， 有內在與外顯的關聯性。 （四）語言性的(Linguistics) ：每一層次孩童之表徵方式，均有該階段的語言符 號和這些符號的關聯系統，達到這層次的孩童即可理解到各圖形及語言間的關 聯性。 （五）不配合性(Mismatch) ：較高層次的概念之教學設計，實施於僅達較低層次的 孩童，則無法有預期的學習效果。 綜合本節文獻，在角的定義方面，究者認為各種定義之間並不衝突，只是描述的重 點不同。Mitchelmore(1989) 以數學上的定義為重點，Krainer(1993) 及國立編譯館 （2001）注重圖形表徵，國內學者是依照角在生活中的具體物品或動作中的情境做分 類，研究者稱之為生活中的角情境。體驗具體的角情境是讓學生建立角的抽象概念的過
程，圖形表徵是抽象概念的符號，所以各種定義之間並不衝突，而且相輔相成。 因為小學階段的學童尚不容易理解數學上的角概念，因此角概念是透過教材安排讓 學生操作、經驗角情境，進而抽象化形成數學上的角概念。因此本研究的分析類目將和 教材目前的區分一致，包含「圖形角」、「張開角」、「旋轉角」三種角情境，數學上的定 義則採用 Mitchelmore(1989) 對角的定義。其概念有「兩射線間的平面區域」、「兩射線 間的方向差」、「一射線的旋轉量」。角的表徵方式有線段對、線段對繞一端點旋轉、弧 線標示與方向性箭頭，其中蘊含角是靜態或動態的雙重意義。 在角概念的發展方面，Piaget 的理論是偏向屬於年齡取向的階段論，注重發展的過 程，學童隨著「年齡」層次的增加，大約到十歲以後學童才漸漸對角的存在及角度概念 能有所理解。van Hiele 的理論也是偏向階段論，但是從一個層次進展到另一個層次可經 由學習，非因其年齡成長而發展。學童學習圖形與空間概念有層次順序，較高層次的概 念之教學設計，實施於僅達較低層次的孩童，則無法有預期的學習效果。
第二節
第二節
第二節
第二節 角概念相關研究
角概念相關研究
角概念相關研究
角概念相關研究
研究者分析相關文獻後發現有關角概念研究主要分成三類，分別如下。壹
壹
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壹、
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兒童角概念表現的調查研究
兒童角概念表現的調查研究
兒童角概念表現的調查研究
兒童角概念表現的調查研究
國內外有許多學者進行學童角概念表現的調查研究，這一類的研究發現，兒童常見 共同迷思概念，以下依國外、國內的研究分別歸納如下：
一、國外角概念相關研究 （一）對角的概念不清楚：把三角形當成角 Fuys et al.(1988) 指出兒童傾向以三 角形來代替角，可能是兒童較喜歡處理封閉的有限區域的整體而非開放的無限 空間。另外，幾何的語彙能力不足也可能是個因素。某些兒童使用「點」、「頂 點」、「三角形」來表示角，或用「直的」、「直三角形」表示直角。 （二）以外在特徵判斷角的大小：Close(1982)、Clements(1990)、Mitchelmore(1989) 及 Piaget et al.(1960)等人研究發現部分學童用角的邊線長度判斷角的大
小。Assessment of Performance Unit(1982) 認為學童會以圖形所涵蓋的面積作為
比較，用角的兩邊線之間的空間量比較角的大小。Wilson(1990) 與 Krainer(1993) 都認為角的弧線與箭頭標示，有助於學生理解角的旋轉與旋轉 量。Close(1982) 發現這樣的標示，當角度 180 度以下時，兒童會以弧線標示 來判斷角的大小，但當角度超過 180 度愈接近 360 度時，這樣的情形就不再出 現。 （三）受方位影響：Piaget et al. (1960) 認為兒童必須具有角的保留概念，才能 將角度相同但擺置方向不同的角視為相同。Close(1982) 發現兒童測量有一邊 是水平方位的角比較不容易出錯。Noss(1987) 發現不到 50﹪的 10-11 歲兒童 能分辨方位不同的直角。Mitchelmore(1989) 發現約 50-60﹪11 歲的兒童認為 一邊水平和一邊垂直的角才是直角。 （四）量角器操作表現方面：歸納 Close(1982) 及 Rowland（引自黃金泉；2003） 的研究，兒童在操作量角器上常見的問題包括：1.不知道要將量角器的 0 度線 與角的邊線對齊，或認為量角器的 0 度線必須平放。2.不知道要將量角器的中 心點與角的頂點對齊。3.不會讀量角器上沒有標明數字的刻度。4.認為量角器 的 90 度必須是垂直向上的。5.以 90 度線對準被測角的邊以致答不出鈍角角度 或答錯銳角角度。6.學童在面對「鈍角或非水平方位」的角的圖形時，比較容
易發生讀錯量角器上刻度的現象。 二、國內角概念相關研究 在國內有許多學者進行學童角概念的研究，詳細的內容整理如表 2-2-1。並歸納出 重要發現如下： （一）對角的定義不清楚：劉湘川等人（1993）的研究指出約有三分之一的三年級 學童認為角就是三角形。謝貞秀、張英傑（2003）的研究則指出 62.5％的三、 四年級的學童對角的描述有困難。 （二）平角、優角的概念不清楚：張英傑（2003）對四、五、六年級的學童測試的 結果發現，平角的通過率才 40％。賴文正（2005）對五年級的的學童研究顯示 270 度旋轉角與 90 度角差異的認知、畫給定度數的優角、實測優角的角度等項 目的概念或能力表現極需再加強。王慈莉（2005）對三年級的研究顯示角度接 近於平角時，學生在辨識單獨出現的角形是角或非角上會產生較大的困難。 （三）角的大小比較受外在特徵影響：陳錦傳（1995）對四、六年級的學童研究顯 示角的方位與角的弧線標示兩因素的交互作用，會影響學童角的大小比較的表 現；角的邊長長短不同會也影響學童角的大小比較的差異。 （四）受方位影響：黃金泉（民 2003）發現四年級學童具有在角方向改變的保留概 念者約 55％。謝貞秀、張英傑（民 2003）對三、四年級學童的研究指出，直角 兩邊如果不是水平垂直擺放，有 25％認為是鈍角；邊長較短的角辨識通過率也 較低。王慈莉（2005）對三年級的研究顯示約有 24％的學童認為直角要有水平 邊。 （五）量角器操作表現：黃金泉（2003）對四年級學童的研究發現，測量角度有 36 ％習慣以量角器內線來報讀刻度，對角度的刻度意義，仍有釐清的必要。賴文 正（2005）對五年級的學童研究發現 19％將鈍角畫成互補的銳角。
表 2-2-1 國內學者對角概念的相關研究 研究者、年代 研究方法 及研究對象 研究結果 劉湘川等人 （1993） 「我國學童對稱 概念發展研究」 紙筆測驗、晤談 三、四年級學童 各 8 人 1.就多邊形及角的基本概念而言，三年級還有不少學童概念甚為 模糊，尚未達到 van Hiele 第一層次的水準，四年級學童則大 都已通過了 van Hiele 第一層次的水準。 2.三年級中 3 人認為角就是三角形；1 人認為就是頂點。 陳錦傳（1995） 「國小學童角的 大小比較的解題 策略之研究」 紙筆測驗、晤談 四、六年級學童 共 48 人 1.角的邊長長短不同會造成學童角的大小比較的差異。 2.角的方位與角的弧線標示兩因素的交互作用，會影響學童角的 大小比較的表現。 3.學童習慣以直覺判斷方式比較角的大小，而較少以輔助工具或 線性測量的方式來作為比較角的大小的解題方式。 蔡明哲（1998） 「一個國小四年 級學童的角概 念」 個案研究 個案角概念的發展以達到 Piaget 角概念發展理論的階段ⅢB 與 階段Ⅳ，也達到了 Van Hiele 幾何發展模式中的階段 2。 柯慶輝（2000） 「國小三年級學 童具體角情境解 題之研究」 三年級學童 12 人 晤談 1.對於角的認知是「形」先於「定義」 2.已具備藉由教育歷程學習抽象角概念的可行性 3.兒童對角概念的建構，受個體、情境以及社會文化因素的影 響。個體因素如無的概念、知覺的統合、認知基模等；情境因 素如多樣化的角情境、具體物以及具體物的表面特徵等；社會 文化因素如生活經驗、語言能力以及學校的教學方式等。 張英傑（2001） 「兒童幾何形體 概念調查及診斷 教學之研究」 一~六年級共 7906 人 紙筆測驗 1. 平角在四、五、六年級的辨識通過率最高才 40％，有些兒童 認為尖尖的角和直角才是角，平角不是角 2. 邊長較短的角辨識通過率也較低。 謝貞秀、張英傑 （民 2003） 「國小中年級學 童平面幾何圖形 概念之探究」 紙筆測驗、晤談 三、四年及共 266 人 1.角的描述 62.5％的學童有困難 2.有的學童認為尖尖的或直角才是角，邊較短、平角不認為是角 3.直角要有水平垂直的邊 （續下表）
表 2-2-1（續） 研究者、年代 研究方法 及研究對象 研究結果 黃金泉（2003） 「國小四年級學 童角的概念之研 究」 紙筆測驗、晤談 四年級共 253 人 1.使用量角器有 36％看量角器內線來報讀刻度 2.56％使用直觀法則「A 比較多 B 就會比較多」的概念比較大小 3.45.8％的學童對角度的刻度結構，仍有釐清的必要 4.約 2 成學生對構成圖形角的觀念仍不清楚 5.約 45 學童能在一個多邊形內正確指出直角 6.學童在角方向改變的保留概念約 55％，切割後在組合的保留 概念約 47％ 7.約一半的學生會畫出指定度數的角 8.大部分學童具有「找出教室內有角的地方」的辨識能力 賴文正（2005） 「國小五年級學 童角概念表現之 研究」 紙筆測驗五年 級共 458 人、晤 談 36 人 1.學童在「辨認組合圖形直角的個數」、「270 度旋轉角與 90 度角 差異的認知」、「畫給定度數的優角」、「實測優角的角度」、「估 測銳角、鈍角的角度」、「辨認鐘面兩針的夾角與分針旋轉的角 度」、「複製鈍角三角形」等項目的概念或能力表現極需再加 強。 2.國小五年級學童對角概念與角度的迷思，原因大都是對角的定 義不理解、受直觀、視覺的錯覺以及保留概念未成熟、操作量 角器欠熟練，缺少估測角度經驗等因素所形成的。 王慈莉（2005） 「國小三年級學 童角概念之探 究」 紙筆測驗三年 級共 159 人、晤 談 15 人 1.約有 87％的學童能夠辨識單獨出現的角形是角或非角，只有在 角度接近於平角時，學生在辨識上會產生較大的困難。 2.多個邊在同一頂點上的數角問題，約有 54％的學童只能看到個 別的小角，學童無法明白數角時標示的弧線有何意義。 3.約有 24％的學童認為直角要有水平邊，約有 20％的學童認為所 有的角都可稱為直角，也有學童認為直角記號和標示角的弧線 沒有差別。 4.約有 42％的學童在辨識圖形中的角時，不會依據角的定義和條 件來辨別圖形中的角，與單獨出現角形時的判別標準相互矛 盾。 5.國小三年級學童在進行角的大小比較時，即使具有角的保留概 念，還是容易受直覺法則 more A - more B 以及 same A - same B 的影響，尤其以弧線的大小影響最鉅。
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Tirosh
Tirosh 和
Tirosh
Tirosh
和 Stavy
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Stavy
Stavy 直觀法則對角概念之研究
直觀法則對角概念之研究
直觀法則對角概念之研究
直觀法則對角概念之研究
以色列學者 Tirosh 和 Stavy(1996)在數學和科學教育研究方面，觀察到學生在建立
某些概念的過程中，常會受到一些無關因素的影響，雖然這些數學和科學方面的問題內
容領域和推理需求是不相同的，但是他們都有一些共同的外在特徵，於是提出直觀法則
(Intuitive Rules)的理論來解釋學生這些迷失概念或另有概念。角概念對直觀法則有
兩種反應類型：「A 比較多 B 就會比較多(More A-More B) 」，也就是角的邊長越長、
角的弧線越長、角的邊線越粗，就判定角越大（引自 Stavy & Tirosh, 2000）。「A 相
同 B 就會相同(Same A-Same B)」，學童在比較正多邊形內角大小時，容易受到角的邊 長相同，就判定角的大小也相同，而忽略正多邊形的邊數越多，角度就越大的概念 (Tirosh, 1999) 。 直觀法則使我們可以預見學生正確和錯誤的答案。它的預測效果可以用在教學上來 幫助學生克服直覺法則副作用。有兩種教學方法已證明是有效的，卽類比的教學和衝突 的教學。 一、類比教學 首先呈現一個定錨的問題，這個定錨的問題的形式已經除去不相干的表面特徵，通 常用來引出正確的答案。接著呈現搭橋的問題，在搭橋問題中，不相干的特徵會引出直 覺法則。最後將強烈的暗示的直覺法則的標的問題引進。利用搭橋問題與標的問題的一
些相同特性，將直覺法則的影響降至最低。以對頂角相等為例，Tirosh and Stavy(1999)
指出如果兩對頂角的邊等長，學生就會視角為相等；如果有一個夾角的邊較長，學生就
會解釋成邊長較長的角也較大。這樣的解釋符合 More A-More B 的直覺法則。因此對頂
角兩邊等長的例子作為定錨問題，如圖 2-2-1-(1)；混合的表徵當成搭橋問題，如圖
2-2-1-(2)；將混合的表徵呈現在學生面前，並且反時針旋轉 90 度，而得到一個對頂角
a a a b b b (1)定錨的問題 (2)搭橋的問題 (3)標的問題 圖 2-2-1 類比教學以對頂角相等為例 二、衝突教學 在衝突教學中，首先用一個題目引出學生的錯誤答案，接著再呈現一個和學生最初 錯誤的答案互相衝突的情境，藉此讓學生察覺到她們最初的答案是不充分的(Tirosh & Stavy, 1999) 。 國內的研究亦發現學童在進行角的大小比較時，有不少的學童以直覺判斷角的大 小：黃金泉（2003）對四年級學童的研究發現 56％使用直觀法則之「more A - more B 」 的概念比較大小。王慈莉（2005）國小三年級學童在進行角的大小比較時，即使具有角
的保留概念，還是容易受直覺法則「more A - more B」以及「same A - same B」的影響，
尤其以弧線的大小影響最鉅。賴文正（2005）對五年級的的學童研究發現，有 42％的學
童認為角邊長越長，角就越大，33％認為標示角的弧線越長，角就越大；43％受「same
A - same B」的影響。
參
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Mitchelmore & White
等人
等人對角概念抽象教學模式的研究
等人
等人
對角概念抽象教學模式的研究
對角概念抽象教學模式的研究
對角概念抽象教學模式的研究
Mitchelmore & White 等人根據數學概念形成的的原則，以日常生活中蘊含角形的具
體物或路徑為操作材料，透過引導發現其相似性，進而抽象形成角概念。進行一系列的
研究，並嘗試建立角概念教學模式，詳細內容如下：
Mitchelmore (1997) 的研究中採取六種角脈絡（傾斜、角落、交叉、彎曲物、旋轉、
一配對中的非正式知識。以四個歷程進行晤談：(1)不同具體角情境的情境知識；(2)分 類角情境成為角脈絡；(3)創造抽象角模型以表徵角脈絡；(4)認知不同脈絡間的相似性。 其中傾斜和角落這一組配對，4 名兒童都認知相似性；交叉和彎曲物則有 2 名兒童都認 知相似性；而旋轉和彎曲路徑沒有兒童認知相似性。分析這些角情境結構特徵，可知傾 斜和角落均呈現一頂點延伸出兩條直線；交叉和彎曲物均具體呈現角的兩條線，卻未明 確的顯露出頂點；而旋轉和彎曲路徑沒有明顯的相似性，兒童必須自己建構出角的兩條 線（引自柯慶輝，2000）。
Mitchelmore & White (1998) 提出兒童角概念發展架構，將兒童角概念的發展分成三
個階段：階段一為情境的角概念，兒童能夠從環境中去經驗，組織成具體的角情境；階
段二為脈絡的角概念，兒童能認知不同具體情境的角的相似性；階段三為抽象的角概
念，兒童能夠了解脈絡中幾何構造的相似性（引自柯慶輝，2000）
Mitchelmore & White(2003) 再以三、四年級學童共 200 位學生分配在 25 個班級上
課，運用三個步驟的活動來發展學童抽象角度概念有很好的效果。活動如下： 一、熟悉認知(Familiarity) 學生需要先熟悉許多不同的角度狀況，學生以探討許多不同角度狀況的方式學習不 同的角度部份。課程中包含觀察操作生活中具體的角情境，指出邊及頂點。例如：三角 板、剪刀、門、斜坡、時鐘、人體關節等 二、相似度(Similarity) 學生需要了解這些不同角度狀況中的相似度，課程中包含直接配對角度（實物直接 疊合）、不直接配對角度（以中間媒介物指出二者相同大小）和其他讓學生注意角度相 似度的方式（學生指出角度狀況中的兩條線和頂點）。 三、具體化(Reification) 學生需要將已經認識的角度狀況轉換成抽象角度，許多活動或課程教導學生將狀況 中的角度具體化成為抽象角度（學生畫出與角度大小相似的圖畫、解釋直角、鈍角和銳
角的定義、學生以自己的方式解釋角度的概念）
柯慶輝（2000）參考 Mitchelmore & White(1998) 的研究架構，採取臨床晤談法，
以 6 個真實情境為題材，探究 12 名被隨機分派為三組的國小三年級學童的角概念，發 現三年級學童其角概念的形成，可藉由不同角脈絡具體物的觀察與操作，知覺其中角的 相似性，再藉由角情境的擴展，分類其角經驗，而後經由抽象角模擬活動與造角形活動， 從具體物中抽象出角形。 綜合角概念的相關研究，國內外的研究都發現，不論國內、國外學童的角概念存在 許多共同的迷失概念，包括對角的定義不清楚、以無關的屬性來比較角的大小、以直觀 法則來比較角的大小、量角器的使用情形不佳等。兒童的迷思概念可能來自其先備知識 原有的錯誤概念的干擾，也有可能來自學校學習中對新概念的一知半解。教材是學校學 習過程中的重要參考，教材如果設計不當（如敘述或表徵欠佳、活動取材情境不恰當 等），可能造成學生的迷失概念。例如：學童會以直覺或外在的特徵來判斷角的大小， 教材舉例時這些外在特徵上的變異性，可能造成學生的角概念不完整或有迷失。另外， 角的定義、角的刻度結構概念的活動形式、角表徵圖中的開口方向等，都可能影響學生 角概念的建構。前述這些內容在教材上的安排不但關係著學生的學習內容，也影響學生 角概念的發展，需要加以正視。
Mitchelmore & White 的教學模式，是依概念形成的理論所設計，讓學童操作觀察
不同的角情境例子，引導學童察覺隱含在情境中的角，再比較不同角情境中角的大小來
穩固角概念，最後才畫出角形。目前國內的編寫方式是依角情境先分類，先進行圖形角，
操作後透過描繪複製形成角形，再依序安排張開角及旋轉角概念。角的大小比較也是依
序進行。Mitchelmore & White 的研究，和目前現行教科書的編排順序有較大的不同，可
第三節
第三節
第三節
第三節 角概念教材的內涵
角概念教材的內涵
角概念教材的內涵
角概念教材的內涵
本節探討九年一貫課程暫行綱要與 82 年版課程標準中角概念教材的內涵及授課年 級分布的差異、角概念教材的內涵等。壹
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九年一貫課程暫行綱要與
九年一貫課程暫行綱要與 82
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82 年課程標準在角概念教材綱要的比較
年課程標準在角概念教材綱要的比較
年課程標準在角概念教材綱要的比較
年課程標準在角概念教材綱要的比較
Goolad(1979)將課程分成以下五個層級（王文科，1995）：1.理想課程(ideological
curriculum )；2.正式課程(formal curriculum)；3.知覺課程(perceived curriculum)；
4.運作課程(operational curriculum)；5.經驗課程(experiential curriculum )。課
程標準或課程綱要的定位應該是理想課程，教科書的定位應該是正式課程。課程綱要的 內涵及規範會左右教科書的編輯方向與內容，教科書則是課程綱要的具體化。九年一貫 課程暫行綱要和 82 年課程標準同屬於一綱多本的課程，分析 82 年課程標準角概念教材 內涵，有助於定位九年一貫課程暫行綱要中角概念教材相關能力指標所應包含的學習內 涵。 一、九年一貫課程暫行綱要與 82 年課程標準角概念教材綱要比較 有關九年一貫課程暫行綱要（教育部，2000）與 82 年課程標準（教育部，1993） 中角教材綱要的比較如表 2-3-1。由表 2-3-1 發現九年一貫課程暫行綱要與 82 年版課程 標準的差別如下： （一）教材內涵分配的劃分不同：九年一貫依階段劃分，角的課程分佈在第一、第 二階段，82 年課程標準分佈在三、四年級。但是實際上各版本的做法，將九年 一貫階段一的角概念教材全安排在三年級，階段二的角概念教材可安排在四或 五年級，與 82 年課程標準差別不大。
（二）主題綱要歸屬領域不同： 1.九年一貫課程暫行綱要將「張開角」、「旋轉角」置於「圖形與空間」領域， 較重視這二種角的幾何概念。82 年課程標準將「張開角」、「旋轉角」置於 「量與實測」領域，並配合角的大小比較進行，兩種概念合併在一項教材綱 要中。 2.82 年版的「使用量角器量角度及畫角」的綱要置於「圖形與空間」領域中， 而九年一貫課程暫行綱要對應的能力指標則置於「量與實測」領域中。 （三）角的大小比較劃分不同：82 年版綱要中有關張開角的直接、間接比較分佈在 三年級，旋轉角的直接、間接比較則分佈在四年級；九年一貫課程暫行綱要則 把角的直接比較置於第一階段的能力指標、角的間接比較則置於第二階段的能 力指標，而不區分角的種類。 （四）82 年版對「畫角」教材明列於課程標準中，而九年一貫課程暫行綱要沒有特 別列在能力指標中。
表 2-3-1 九年一貫課程暫行綱要與 82 年課程標準角概念教材綱要比較 九年一貫課程暫行綱要 82 年版角的教材綱要 階段一 S-1-5 能察覺生活情境或形體中的角 三年級 ˙透過製作的活動，了解三角形四邊形的構成 要素。 ˙角的初步概念 圖 形 與 空 間 階段二 S-2-6 能了解張開程度、旋轉程度和角的關係。 四年級 ˙使用量角器量角度及畫角 階段一 N-1-9 能透過感官活動感覺一個量，並對兩個 同類的量做直接比較，進而對一個量做複 製活動 N-1-10 能使用生活中常用的測量工具（刻度尺 的方式，及不涉及其結構），以一階普遍單 位描述一個量 三年級 ˙角度的認識 ˙角的張開程度的直接比較 ˙使用以度為單位刻度的工具。 ˙角的張開程度的間接比較 量 與 實 測 階段二 N-2-9 能在保留概念形成後，進行兩個同類量 的間接比較（利用完整複製）及個別單位 的比較（利用等量合成複製）。 N-2-10 能認識各種量的普遍單位，應用在生活 中的實測和估測活動，並培養出量感。 N-2-11 能理解生活中，各種量的測量工具上刻 度間的結構，進而對同單位表達的量做形 式計算。 四年級 ˙角的旋轉程度的直接比較。 ˙角的旋轉程度的間接比較。 ˙認識度的意義 ˙以度為單位，進行實測及估測活動。 資料來源：研究者自行整理 二、九年一貫課程暫行綱要與 82 年課程標準量與實測的比較 九年一貫課程暫行綱要中提到兒童對量（除了時間）概念的認知發展形成都要經歷 五個階段才算完整（教育部，2000）。82 年課程標準中「量與實測」教材的理念架構， 在註 200 中將教材的發展順序細分成五個階段。詳細的對照見表 2-3-2。從「量與實測」 的發展階段對照表，我們發現有一致的發展階段；對「直接比較」、「間接比較」、「個 別單位比較」、「普遍單位比較」的前置、銜接及後續發展都有豐富的歷程。都強調保 留概念是間接比較的先決條件（鍾靜，2001）。
表 2-3-2 九年一貫課程暫行綱要與 82 年版「量與實測」的發展階段對照表 基本想法（九年一貫） 架構理念（82 年版，註 200） 1.初步概念： 透過感官感覺一個量；能對兩同類量做直接比較； 能以整體、合成複製的方式複製一個量，利用刻度 尺描述一個量。 1. 某量的初步概念： 1-1 某量的認識 1-2 某量的直接比較 1-3 使用以某量的為刻度單位的工具 2.間接比較： 對無法直接比較的兩個同類量，透過複製一個媒介 量，利用此媒介量與另一量進行直接比較，並把比 較結果推論成原兩量的結果（含量的保留概念、量 的相等、大小的遞移律）。 2. 某量的間接比較 2-1 某量的間接比較 3.個別單位： 從等量的合成、複製的結果來描述一個量，並進行 比較。能利用普遍單位之描述，對同類的量進行 加、減、乘、除運作。認識各量的基本普遍單位 2-2 某量的個別單位比較與實測 3. 某量的普遍單位比較 3-1 認識某量普遍單位的意義 3-2 以某量普遍單位為單位，進行實測及估測的活 動 4.單位化聚 4.某量的測量單位制度概念 5.公式化概念 5.某量的測量公式概念 資料來源：鍾靜（2001，p.7）
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角概念教材的發展
角概念教材的發展
角概念教材的發展
角概念教材的發展
一、形的角概念教材發展 九年一貫課程暫行綱要（教育部，2000）認為圖形與空間的學習，應從學生生活經 驗中熟悉的形體入手，透過察覺、辨識、操作、實驗，發現形體的組成要素及其與行體 之間的關係。在角概念教材的部分，將形的角概念分配在兩條能力指標，分布在兩個階 段。兒童角概念的認知，有其發展的順序性，先由具體的經驗、察覺，漸進發展至抽象 概念的理解（劉好，1997a）。因此，目前國內角概念教材的編排，依照圖形角、張開角、 旋轉角的順序，分別都安排具體的經驗、察覺，漸進發展至抽象概念的理解的活動。 二、量的角概念教材發展 劉秋木（1996）提到測量概念的發展順序，研究者將適用於角度測量概念的部分摘 要如下： （一）直觀比較：直觀比較是以知覺判斷決定兩個角度的大小。
（二）直接比較：直接比較是將兩物體疊合以比較其角度。 （三）間接比較：間接比較以大於或等於兩物體之第三物為媒介以比較兩物體的 量。兒童做間接比較時，應該已有保留概念和量的遞移性概念。 1.保留概念：兒童對物體之保留性的理解稱為保留概念，也就是兒童能理解一 個物體的量，不會因為改變形狀、遷移位置或分割而改變。 2.遞移性概念：兒童用媒介比較兩物體時，能將三種東西依大小排成順序。 （四）個別單位比較：選擇一個比兩物體小的媒介物作為單位以比較兩物體的量。 在這個活動中兒童應該形成單位概念，在間接比較階段只是質的比較，現在則 是數量比較。 （五）量的加法性：外延量據有此性質，在計算兩物量的時候，可運用加法原則。 （六）公用單位比較：使用社會公認的單位比較兩個物體的量。兒童以會使用自訂 的單位測量物體之後，可以設計一些活動讓兒童發現，自訂的單位容易發生爭 執，而想要制定大家公認的單位。 劉好（1997a）指出當兒童能察覺角的大小是指兩個邊張開程度的不同之後，才能 做兩個不同的角量之比較，開度相差較大的角，兒童可以由視覺判定其大小，開度相差 不大的角、角的邊長短不一致或角的開口方向不同，較難由視覺正確分辨的情況，可以 經引導後，利用疊合方式加以判別。當兒童具有角的開度保留概念及遷移概念時，對於 無法進行直接疊合判斷大小的角，便能利用間接比較方式加以處理。兒童能以單位度量 角度之前，必須先具備角的合成概念：兩個角可以使其一邊相疊合成另一個角。理解此 概念之後，進而可領會數個相等的角可以依此法合併，形成一個開度相當於一個角的數 倍大的角，因而理解 5 個 1 度的角可以合併成 5 度角，10 個 1 度的角可以合併成 10 度 角，進而明白量角器上刻度的意義。
朱建正、呂玉英、胡鈺麟（2002）則認為
角的 大小比較是角的度量基礎，其測量的運作方式即為圖形角的疊合，報讀的方式和以公分 尺報讀長度類似。綜合本節文獻，九年一貫課程暫行綱要與 82 年課程標準是最近已實際進行角概念 課程的兩個官方課程綱要，綜合二者後，本研究主要依據九年一貫課程暫行綱要與角概 念相關的能力指標，再參考 82 年課程標準將角概念教材內容區分為： 一、圖形與空間（S 部分的角），其後稱為形的角：內涵包括圖形角、張開角、旋轉角 等角概念。 二、量與實測（N 部分的角），其後稱為量的角：內涵包括角的大小比較（直接比較、 間接比較、單位比較、普遍單位比較）、角的工具測量（角度報讀、刻度結構、合 成分解、形式計算、畫角、估測）。 量的角概念發展有其順序，角的大小比較順序依序如下：直觀比較、直接比較、間 接比較、單位比較、標準單位比較。工具測量的順序依序如下：角度報讀、合成分解、 刻度結構。形式計算的順序在合成分解之後，畫角及估測兩種概念則排在測量工具引入 之後。
第四節
第四節
第四節
第四節 概念形成相關因素探究
概念形成相關因素探究
概念形成相關因素探究
概念形成相關因素探究
一個概念是一個象徵的建構（symbolic construction），它用來代表外界事物或事件 的共同性，概念之所以形成，是由於我們能夠對外界的事物進行歸類（categorization） （鄭昭明，1997）。藉由概念的形成，我們將訊息按概念分類處理，不須每一事物給一 個名稱，可節省許多字彙及記憶上的負擔，因此可據以進行推理、決策或問題解決等思 考活動，故概念的形成是思考的基礎（鄭麗玉，1993）。劉秋木（1996）認為數學知識 是抽象概念所形成的結構，兒童如何形成概念是數學學習的重要問題，能將同性質之事 物歸納成一類而以符號或名稱代表之，就成為概念。所以概念是學習者在建構知識、學 習技能的重要基礎所在，概念對學童的學習成效具有相當程度的影響，概念的正確與 否、形成多寡，都會影響學習的成效。概念是包括主要屬性或特徵的同類事物之總稱（鄭
麗玉，1993），例如，椅子有許多種類與造型，但是它們有共同的特徵，有一個朝上的 平面，可以讓人坐著休息，這就是「椅子」的概念。同理「角」也有許多不同的大小角 度、不同開口方向、不同長短的邊、不同粗細的邊的角，但是它們有共同的特徵，有兩 個邊相交於一個頂點，這就是「角」的概念。綜合學者們對概念形成的相關看法，有下 列幾個因素會影響角的概念形成，教材編寫時也應該將這些因素納入考量。
壹
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正
正反
正
正
反
反例的呈現
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例的呈現
例的呈現
例的呈現
Skemp(1987) 提到超過個人已有的概念階層的高階概念不能用直接定義來溝通，只 能蒐集有關的例子供其經驗，再靠個人抽象以形成概念。而教科書上的每一個概念在教 學之初，對學童而言都是超過個人已有的概念階層的高階概念。概念的形成與分類是分 不開的，分類是形成概念的基本操作（劉秋木，1996）。既然要能分類就必須先有很多 的例子才能進行。 朱敬先（1990）、邵瑞珍、皮連生（1989）等人提到教學時最好同時呈現若干正例， 並在無關的屬性上做變化，避免學生將無關屬性當作界定之屬性，造成類化不足而排除 類別中真實隸屬事例，使概念受侷限。Dienes 和 Golding（1971）所提出的「知覺變異 性原則」也強調數學概念是由許多具體經驗加以抽象而來，學習者應在不同材料上運作。 朱敬先（1990）、邵瑞珍、皮連生（1989）等人主張剛開始教學時，例子宜採原型 或範例，幫助學生歸納出共同點，建立類別，然後增加難度。運用正例與反例，概念的 正例傳遞了最有利於概括的資訊，反例則傳遞了最有利於辨別的資訊。Skemp(1987) 提 到在概念學習的初期階段，最好用低干擾例子，盡量將所要的概念具體化，呈現的例子 不要同時含有太多其他的概念，使學生分心反而不能注意到概念的主要屬性。但稍後概 念建構得較堅固時，可以用高干擾的較難例子，使學生脫離對老師的依賴，獨立抽象出 所學的概念性質。典型範例太多或太類似，則此概念範例表徵的記憶會保留太久而造成 概念核心的僵化，阻礙概念的可塑性，妨礙概念的學習。例如，只呈現開口朝右的角，
容易讓學生誤認為開口方向是角的共同點，因而造成學生迷思概念。因此教師應多給予 學生典型與非典型的問題，以建立可塑性較高的核心概念，幫助學生建立正確之角概念。 綜合而言，學童是透過不同例子的分類，分析出共同屬性來形成概念。例子的類型 要在無關的屬性上做變化，例如不同的大小角度、不同開口方向、不同長短的邊、不同 粗細的邊，避免學生將無關屬性當作界定之屬性。同時也要適當提出反例以協助學生區 辨概念。再者例子的呈現也須由簡單而複雜，循序安排。
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命名
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Skemp(1987) 認為在人類的社會裡，語言和概念形成的關聯密不可分，將事物命名 有助於我們分類，接觸各種不同實際經驗而屢屢聽到同一名稱使我們較易於在心中把這 些經驗合併歸類，也增進我們抽象出其中相似共通之內在性質的機會。劉秋木（1996） 則認為數學概念的教學最好以分析屬性、分類、命名的程序來進行。命名的這個階段由 老師指出概念學習的名稱，說明概念和有關的特定情境（徐綺穗，1995）。Skemp、劉 秋木和徐綺穗一致的認為命名是概念形成中不可或缺的步驟。
參
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參、
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練習
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練習
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練習可以配合各種靜態活動（例如寫作、紙筆測驗）及動態活動（例如辯論、角色 扮演）來了解學生使用概念的情形，並針對學生的表現予以立即的回饋。以創造思考的 方式，引導學生以概念為中心，做概念橫向結構和縱向結構的分析。使學生對概念有更 深入的了解（徐綺穗，1995）。某一項概念教學後，適當的安排類似例題練習有助於教 師得知學生的學習狀況，也有助於學生來來回回的修正自己的概念。
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定義
定義
定義
定義
Skemp(1987)認為定義的用途在於確定範圍及使我們能回溯發展的步驟。徐綺穗 （1995）主張讓學生以口頭表達或書面方式說明概念的定義與屬性特徵，老師予以回饋 及補充說明，讓學生對概念的意義有完整而具體的認識。徐綺穗和 Skemp 都認為定義是 概念發展末端的產物。 綜合本節文獻，概念形成須經過分析屬性、分類、命名、定義等步驟。新的概念形 成初期教師或教材應該提供例子，讓學生分類歸納出共同性。例子的呈現考慮學生的先 備知識由簡單而複雜，也要有足夠變異性，避免學生將無關屬性當作界定之屬性，並配 合反例以協助學生區辨概念。練習活動有助於教師得知學生的學習狀況，也有助於學生 來來回回的修正自己的概念。本研究以此概念形成為架構，分析比較各版本角概念教材 的編排情形，及分析角概念教材中所舉例子的變異情形。
第五節
第五節
第五節
第五節 教學活動
教學活動
教學活動
教學活動類型之
類型之
類型之
類型之探究
探究
探究
探究
本節探討文獻中關於數學教學活動的建議。研究者綜合九年一貫課程暫行綱要、82 年版課程標準及學者對數學教學或幾何教學，活動的建議，歸納出幾種引導學童學習的 活動類型，分述如下。
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觀察
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觀察
觀察
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、操作活動
操作活動
操作活動
操作活動
九年一貫課程暫行綱要（教育部，2000）在關於圖形與空間主題的基本想法中指出，
圖形與空間的學習應從學生生活經驗中所熟悉的形體入手，透過觀察、辨識、操作、實 驗，發現形體的組成要素及其與形體之間的關係，進而能確立空間的基本概念，掌握空 間的基本性質。各階段的新概念學習，必須由學生感覺具體的經驗和情境著手。九年一 貫暫行綱要指出：階段一的學童的思考型態乃是視覺的；階段二的學童的思考型態是察 覺樣式，不管階段一或階段二的學習方式都是具體操作。另外，各階段的新概念學習， 必須由學生感覺具體的經驗和情境著手。 82 年版課程標準教學實施要點（教育部，1993）提到，教材應安排適當的活動，讓 兒童獲得足夠的具體經驗，進而抽象到形式化的數學結果。數學的教學應提供兒童觀 察、操作、思考、討論的機會並由此進一步歸納、驗證數學知識。數學教學應以兒童的 直觀經驗為素材，經逐步數學化的過程，來促進兒童建構有關的數學知識，所以歸納幾 何性質或製作幾何模型之前，應先對幾何形體有觀察、討論的活動。另外 82 年版課程 標準也相當注重經驗。感官經驗包括視覺觀察、動手操作。 國小兒童在幾何圖形與空間概念的認知，大都在視覺辨識與結構分析時期，由透過 視覺觀察具體物、堆疊、製作、描繪，逐漸發展到能分析圖形組成要素、性質與關係（劉 好，1997b）。教學時，經常提出開放性問題，促使兒童進入觀察、操作、描繪、探索、 思考和討論等學習活動中。 van Hiele(1986) 認為幾何脈絡無法藉由解釋的方式來告知，他必須讓兒童親自經
驗；van Hiele 的教學第二階段，引導學習方向(guided orientation） ，指的也是教師宜有
計畫的依序引導探索、操作（例如：排列、組合、積木、摺紙等活動），使其了解幾何
的概念。
上述文獻說明了在概念形成過程中，視覺觀察和動手操作等感官經驗，扮演了重要
