第四章 數值測試
4.2 設計例題
本研究以隨機方式產生例題，並使其盡可能符合實際情形，所需的資料有：產生 可涵蓋區域範圍的計劃情境、計劃的成本及益本比設定、計劃間之相關性判定，以及 產生新計劃的成本及利益設定。
1. 產生可涵蓋區域範圍之計劃情境
本研究須先定義區域範圍，而後才可決定計劃涵蓋之區域。
假設有一均質平面(Homogeneous surface)，在此平面中劃分若干均等之正方形區 域，每個正方形之中心點為行政中心，正方形之邊長設為 10，意義上為行政區域之邊 界。每個區域之土地資源相同，且人口分布均勻，相應之收入分布、貨物需求及消費 方式均一致。區域中之人口亦以區域中心為主要的通勤旅次起訖點。
各類運輸計劃之執行或建設中心以均勻亂數落於該空間中，計劃之影響涵蓋範圍 則以圓形表示，涵蓋範圍大小則以圓形之半徑決定，其中半徑亦為均勻亂數。
若一個運輸計劃之涵蓋半徑愈大，或涵蓋範圍包含人口密度較大之區域中心，則
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
2000 3000 4000 5000 6000
預算值 Gap
域之中心地與一個運輸計劃之圓心距離為 d，若 d 介於計劃範圍的特定程度，則將有 不同的涵蓋情形，本研究將所提出之情形列舉如下：
(1) d 0.5r，則 aij = 1 (2) 0.5r < d r，則 aij = 3/4 (3) r < d 1.5r，則 aij = 2/4 (4) 1.5r < d 2r，則 aij = 1/4
(5) 2r < d，則 aij = 0 以下為簡單範例說明：
rg
d
0 30
30
★ Region
center
Project center
▲
g
(a) Coverage level
1 2 3
4 5 6
7 8 9
圖 16 本研究假設之區域空間及計畫涵蓋情形
如圖 16 所示，假設有一均質平面為 x, y 軸範圍介於[0, 30]的空間，並於該空間劃 分為 9 個均等區域。計劃 g 之圓心(m, n)為介於[0, 30]的均勻亂數所決定，其半徑 rg為 [3, 10]的均勻亂數所決定，避免半徑過大或過小導致涵蓋範圍過於極端。圖中之計劃 g 即涵蓋了第 1、第 2、第 4 及第 5 地區，但由於該計劃之圓心與地區 1、2、4、5 之距 離皆小於 0.5rg，故 a11、a21、a41及 a51皆小於 1。本研究產生計劃之原則為至少可使所 有計劃涵蓋所有地區，以避免限制式(15)無法滿足，導致無可行解的情形發生。另外，
若將 x, y 軸範圍擴大為[0, 50]，則區域數則增加為 25 個，以此類推。本研究即以此方 法擴大區域數量。
2. 計劃之成本及益本比設定
本研究設計例題之計劃成本以半徑決定，為 10×r2，因此若計劃之半徑愈大，則其 執行或建設的成本愈高。計劃之利益則以成本乘上益本比而得，益本比則參考近年國 內公共建設之資料，做一合理假設，為介於[1.0, 1.3]之均勻亂數。
3. 計劃間之相關性評估
計劃間之相關性方面，過去文獻皆是由專家學者進行相關性及互補性評估，但目 前之評估過程尚無針對此問題進行分析，因此為了降低評估的複雜性，本研究以計劃 涵蓋區域是否相鄰或重疊來兩兩成對評估計劃間之相關性。例如，若有二獨立計劃 g、
h，其兩圓心之歐幾里得距離(Euclidean distance) f(g, h) 小於或等於兩計劃之半徑和 rg+rh，
f(g, h) rg+rh
則可知兩計劃為相鄰或重疊，即為互補類計劃，合併執行具有綜效，並設立一個 新的計劃 e 代表之。新計劃的區域涵蓋範圍則取兩者之聯集。
0 30
30
g h
▲
▲
rg
rh
(b) Project interdependency
圖 17 相關性之評估
關於替代類計劃的判定，若 e 為 g、h 所組成的新計劃，則 e 與 g、h 相互為替代 類計劃，限制式表示如下。
實務上，若經專家評估具有替代性的計劃，亦可設立限制式，皆不違反式(17)的 R2009a，GLPKMEX 工具箱。測試結果以各規模之平均值呈現，如表 7。
表 7 例題測試結果
Solution Quality Bound Quality Mean Std. Mean Std.
Solution Quality 為演算法平均上限值(Upper Bound, UB)與最佳解之差距。
Bound Quality 為演算法平均下限值(Lower Bound, LB)與最佳解之差距。