第三章 實證估計模型
3.3 診斷性檢定
3.3.1 參數固定檢定(Parameter Constancy test)
如同一般的線性模型，STR 模型也需要再做預測或探討問題之前做過診斷性的檢 定。若估計的參數不固定可能代表模型有錯估 (misspecification) 或者參數會隨時間改 變的問題，參數固定檢定 (parameter constancy test, PC test) 的目的在於檢驗非線性模型 估計的參數值是否存在時間趨勢項的函數，檢定參數是否有隨時間變化的平滑或結構轉 變。倘若不拒絕參數固定的虛無假設，則稱參數具有固定性。故需要使用參數固定檢定 以確定沒有統計推論及預測上的問題。進行參數固定檢定可將 (3.1) 改寫成:
( ) ( ) ( , , )
t t t t
y
=φ t
′z
+θ t
′z G γ c s
+u ( )
t φHφ( , , *)
φ φ tφ
′ = +
φ λ γ c ( )t
θH
θ( , , *)θ θt θ
′ = +θ λ γ c
其中
t 為時間趨勢項， *
*t
=t T
/ ，Hφ與 Hθ 即為以時間趨勢項做為轉換變數的轉換 函數，上述即為 TV-STR 模型，並且 TV-STR 模型只有當γφ> 0, 0
γθ>
才能被定義(Lundbergh Teräsvirta, and van Dijk, 2003)。因此，參數固定檢定的虛無假設即為
φ θ
0
γ
=
γ=
。然而因為 TV-STR 模型只有在γφ> 0, 0
γθ>
才能被定義，所以檢定時可在φ θ
0
γ
=
γ=
做泰勒展開，若 logistic 函數中階次選擇最高階K=3，展開式參數重新組合如下：
* ( ) ( ) * ( ) * 2 ( ) * 3 *
0 2 1 3 1
( , , ) 1/ 2 (h h h / 2){ ( ) ( ) ( ) } ( , , )h h
T γ c t
= +γ δ
ψ +δ
ψt
+δ
ψt
+δ
ψt
+R γ c t
其中，ψ φ θ
= ,
，R 為泰勒展開的剩餘項次。若以在虛無假設
1γ
h = 下做泰勒展開可得0 一條輔助迴歸式：3 3
' ' * ' *
0 3
1 1
{ ( ) }j { ( ) } ( , , )j
t t j t j t t t
j j
y β β t β
+t G γ c s u
= =
=
z
+∑ z
+∑ z
+則虛無假設即為H0:
β
'j =β
'j+3 = ，0 j= 1, 2,3
。可使用 Wald 聯合檢定，結果若拒絕虛無 假設則表示估計模型的參數不固定，而為時間趨勢項的函數，即可能存在著結構性轉變 的問題。3.3.2 無剩餘非線性檢定(no-remaining non-linearity test)
在估計STAR 模型後還需要再確定是否仍有其他非線性存在。估計後的殘差若仍有 其餘的非線性時，代表原先模型可能有misspecification 的問題，則將會導致原先模型估 計的結果不具有效性。存在剩餘的非線性模型如下:
1 1 1 2 2 2
' ' G( , , ) ' ( , , )
t t t t
y
=φ x
t+θ x
tγ c z
+ψ x
tI γ c z
+μ
其中G( , , )
γ
1c z
1 1t 為原本模型的轉換函數，I
( , ,γ
2c z
2 2t)為原本估計模型的另一個轉換函 數，也就是存在其他非線性。( , ,γ
2c z
2 2t) 分別表示其他轉換函數中的調整參數、門檻值 以及轉換變數，μt~
iid N(0,
σ 。簡單起見假設2) I
(0, ,c z
2 2t) 0= ，無剩餘非線性的虛無 假設即為γ
2 = 。如同線性檢定，在0γ
2 = 處做三階泰勒展開可以得到無剩餘非線性檢0 定的輔助迴歸式幫助檢定，輔助迴歸式如下:' 3 ' *
0 1 1 1 2
1
' G( , , ) { ( ) }
jt t t j t t t
j
y
β θ γ
c zβ
z u=
=
x+
xt+ ∑ x% +
其 中 ， ut*
= + x
ut ψ' tR3( , ,
γ2 c z2 2t)
，R
3( , ,γ
2c z
2 2t) 為 泰 勒 展 開 多 項 式 近 似 的 殘 餘 項 (remaining term)。此外，輔助迴歸中的轉換變數z 可選擇原先的解釋變數
2tz ，或者是
1t 解釋變數中的落後期，及時間趨勢項，目的在於盡可能排除先前進行非線性估計時，所 隱含對應參數及轉換變數為零的解釋變數作為第二次轉換變數。無剩餘非線性檢定 (NRN test) 可使用 Wald-test 做聯合檢定，虛無假設為H :0 β1=
β2=
β3= 0
，若檢定結 果拒絕虛無假設，表示在原先的實證模型中還有剩餘非線性存在。3.3.3 殘差序列相關檢定(residual serial correlation test) Ljung -Box Q 檢定
如同Breusch–Godfrey檢定，Q檢定是另一個時間序列實證研究上常用來檢定殘差是 否仍存在自我相關的檢定，Q統計有兩種版本，Box-Pierce Q統計量以及適用於小樣本 的修正版本Ljung–Box Q統計量 (Kmenta 1986)，其虛無假設為
H :
0 ρu,1= L =
ρu p,= 0
， 對立假設為H :
1 ρu i,≠ 0
, i 至少為1, , p K
其中之一。殘差的第i 階自我相關係數,
( , )
u i Corr u ut t i
ρ
=
− 表示如下:2
, T 1ˆ ˆ, T1ˆ
u i t i
u u
t t i tu
tρ
=∑
= + −∑
=再 將 第 i 階 自 我 相 關 係 數 代 入 適 用 於 小 樣 本 的Ljung–Box Q 檢 定 統 計 量
2 1
( ) ( 2) ( ) / ( )
p
i
Q p T T ρ i T i
=
= +
∑
− ，此統計量屬於自由度為p的卡方分配。若檢定結果不 拒絕虛無假設，則表示殘差從落後1期到落後p期皆無自我相關。3.3.4 ARCH-LM 檢定
若估計迴歸式的殘差存在異質條件變異，則估計出來的係數會不具有效性，故在實 證研究中即便是使用能夠估計殘差異質變異的GARCH 等模型，檢定模型是否仍有異質 變異是模型診斷的重要步驟。假設模型的殘差εt
=
vtσt2，v
t ~ (0,1)N
，若模型有 ARCH 效果時，變異數方程式可表示成， 2 0 2q
t i t i
i
σ
=
α+ ∑α ε− 。因此變異數是否有異質變異的 虛無假設就可寫成:
0
:
1 2 q0
H α
=
α= L =
α=
計算 ARCH-LM 檢定統計量可將估計模型後所得的殘差平方對截距項以及q個落 後項做輔助迴歸，再將樣本總數乘以輔助迴歸的判定係數
R 即為 ARCH-LM 的檢定統
2 計量，TR ，且此統計量服從自由度為
2 q的卡方分配，TR
2 ~χ
2( )q
。檢定統計量若超過 臨界值，則表示拒絕虛無假設，即模型配適後的殘差仍存在異質變異。3.3.5 波動不對稱性檢定
符號偏誤檢定、負程度偏誤檢定及正程度偏誤檢定
Engle and Ng (1993) 認為由於波動的不對稱性可能會使得 Q 檢定統計量無法有效 鑑定模型的適切性，因此對於波動性是否具有槓桿效果Engle and Ng (1993) 提出符號 偏誤檢定 (Sign Bias Test, SBT)、負程度偏誤檢定 (Negative Size Bias Test, NSBT)與正程 度偏誤檢定 (Positive Size Bias Test, PSBT) 與聯合檢定。符號偏誤檢定主要在檢定正向 和負向的報酬衝擊是否能預測波動，負程度偏誤檢定與正程度偏誤檢定則分別是為了檢 定不同程度的負向與正向報酬衝擊對於波動是否有不同的影響，聯合檢定則是為了檢定 波動是否能由這三者同時說明。在虛無假設底下檢定方法即分別估計以下的迴歸式:
2 *
0 t 1 0t t
v
= +a b S
−− +β
′z
+e
2 *
1 t 1 t 1 0t t
v
= +a b S
−−ε
− +β
′z
+e
2 *
2 t 1 t 1 0t t
v
= +a b S
+−ε
− +β
′z
+e
2 *
0 t 1 1 t 1 t 1 2 t 1 t 1 0t t
v
= +a b S
−− +b S
−−ε
− +b S
+−ε
− +β
′z
+e
其中
v 為標準化後殘差的平方，
2v
=ε
t /h
t，β
′ 為原本估計的變異數方程式，z
*0tS
t−−1與1