試題性質分析 試題性質分析 試題性質分析 試題性質分析

整體之 Cronbach’s α係數為.934，表示測驗有相當之信度，其信度分析情形如 表 4-1 所示。再從信度分析情形（如表 4-1）看來，測驗整體 Cronbach’s α係數

二、效度分析

本研究於編製試題時，其測驗乃依據分數概念相關文獻及國小現行分數教材 所歸納出之子概念，施測對象為國小五年級的學童，故以內容效度及專家效度的 方式來進行分析。

本研究以編製五年級分數概念命題之雙向細目表（如表 3-1），作為考驗內 容效度之依據。

至於專家效度方面，在測驗專家部分，與教育大學二位數學教育教授進行 討論與修正；此外，在學科專家部分，則在本測驗編製之初先請八位擔任國小五、

六年級已長達六年以上之資深的級任老師先校閱，修改試題中不適合國小學童的 詞句（審查表格請參閱附錄三），以作為專家效度之依據。

三、難易度分析

在難易度方面，本研究採內部一致性（internal consistency）的方式，先將 受試者之總分依高低排序，由最高分數向下取約全體受試人數的 27%做為高分 組，再從最低分數向上取約全體受試人數的 27%做為低分組，再分別求出高分組 及低分組在每個試題的答對率，最後將高分組之答對率 P^H和低分組之答對率 P^L， 求其平均值即可得該試題之難易度指數（item difficulty index）。其分析結果如表 4-2 所示。

四、鑑別度分析

在鑑別度方面，則以高分組之答對率P_H減低分組之答對率P_L，得該試 題之鑑別指數 d（item discrimination index）。另外，試題鑑別度的分析，亦可用 每個試題得分反應與測驗總分的關聯性來表示（簡茂發，1987）。若該試題得分 與受試者的總分的相關程度越高，顯示該試題鑑別度就越高。經 SPSS/PC 套裝 軟體進行分析，其分析結果如表 4-2 所示。

表 4-2 正式施測試題難易度及鑑別度

第二節 第二節 第二節

第二節 試題關聯順序性係數之分析 試題關聯順序性係數之分析 試題關聯順序性係數之分析 試題關聯順序性係數之分析

試題關聯結構分析是先計算出兩試題之間的順序性係數，也就是由受試者答 題反應的原始資料，可以計算出兩測驗題目之間的順序性係數，然後利用此順序 性係數以做為試題高低概念層次之基礎，建立試題關聯結構圖。

假設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分別表示如下的意義：

Ａ：試題 i 與試題 j 均答對的人數 Ｂ：試題 i 答對而試題 j 答錯的人數 Ｃ：試題 i 答錯而試題 j 答對的人數 Ｄ：試題 i 與試題 j 均答錯的人數

又設Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，按照下表的試題關聯順序性係數公式，即可求得 i 題到 j 題的 r^*值。

r^*_ij＝1－

) )(

(C D A C CN

+ +

其中，試題 i 與試題 j 之間的關係如下表所示：

試 題 ｊ

對(1) 錯(0) 合計

對(1) Ａ Ｂ Ａ＋Ｂ

錯(0) Ｃ Ｄ Ｃ＋Ｄ

試

題 ｉ

合計 Ａ＋Ｃ Ｂ＋Ｄ Ｎ

測資料中受試者 受試者答題反應的原始資料，利用 IRSP 求出試題與試題之間的試題關聯順序性係數 r^*_ij值， 其 如表 4-4。 ：

下表是 的題 到 題 的順序性係數 表

表 4-3 試題關聯順序性係數一覽表

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 - 0.15 0.60 0.37 0.52 0.20 0.90 0.71 0.46 0.32 0.49 0.35 0.81 0.50 0.35 0.32 0.05 0.71 0.68 0.30 0.77 0.41 0.50 0.77 0.47 0.49 0.33 2 0.18 - 0.33 0.29 0.57 0.25 0.23 0.52 0.30 0.67 0.43 0.27 0.58 0.28 0.19 0.62 0.41 0.46 0.76 0.33 0.48 0.33 0.44 0.34 0.55 0.43 0.10 3 0.60 0.28 - 0.79 0.71 0.47 0.90 0.71 0.53 0.52 0.49 0.35 0.72 0.57 0.64 0.55 0.37 0.71 0.68 0.30 0.54 0.56 0.75 0.88 0.20 0.62 0.73 4 0.27 0.18 0.58 - 0.27 0.54 0.44 0.39 0.47 0.20 0.21 0.21 0.39 0.38 0.38 0.38 0.34 0.40 0.26 0.30 0.46 0.48 0.51 0.54 0.17 0.50 0.37 5 0.14 0.13 0.19 0.20 - 0.11 0.46 0.55 0.27 0.21 0.18 0.29 0.30 0.27 0.18 0.20 0.22 0.44 0.34 0.30 0.41 0.19 0.41 0.40 0.27 0.35 0.32 6 0.20 0.22 0.47 0.37 0.42 - 0.61 0.43 0.30 0.23 0.35 0.35 0.63 0.36 0.49 0.32 0.37 0.62 0.58 0.50 0.19 0.48 0.38 0.41 0.47 0.23 0.33 7 0.23 0.05 0.23 0.19 0.44 0.16 - 0.51 0.28 0.22 0.20 0.20 0.35 0.26 0.20 0.18 0.20 0.42 0.40 0.23 0.47 0.12 0.28 0.41 0.29 0.36 0.37 8 0.09 0.06 0.09 0.08 0.26 0.06 0.25 - 0.13 0.13 0.11 0.13 0.26 0.10 0.11 0.35 0.02 0.22 0.20 0.18 0.21 0.07 0.32 0.39 0.27 0.03 0.31 9 0.23 0.13 0.27 0.26 0.49 0.15 0.54 0.50 - 0.27 0.24 0.24 0.35 0.50 0.20 0.28 0.08 0.50 0.57 0.42 0.46 0.36 0.35 0.59 0.30 0.33 0.46 10 0.09 0.16 0.14 0.17 0.21 0.06 0.23 0.27 0.15 - 0.12 0.15 0.23 0.11 0.10 0.20 0.14 0.22 0.47 0.22 0.37 0.19 0.27 0.26 0.37 0.20 0.27 11 0.33 0.25 0.33 0.19 0.44 0.23 0.50 0.59 0.33 0.30 - 0.43 0.46 0.49 0.43 0.27 0.32 0.59 0.39 0.35 0.42 0.41 0.19 0.49 0.42 0.17 0.33 12 0.23 0.16 0.23 0.19 0.72 0.23 0.50 0.69 0.33 0.37 0.43 - 0.53 0.38 0.38 0.35 0.24 0.52 0.55 0.42 0.17 0.25 0.28 0.49 0.33 0.27 0.33 13 0.24 0.15 0.21 0.10 0.33 0.18 0.40 0.59 0.20 0.25 0.20 0.23 - 0.24 0.17 0.44 0.35 0.49 0.57 0.31 0.33 0.15 0.34 0.57 0.46 0.22 0.24 14 0.35 0.17 0.40 0.37 0.71 0.25 0.71 0.57 0.71 0.27 0.51 0.40 0.58 - 0.46 0.49 0.37 0.71 0.68 0.33 0.65 0.61 0.34 0.56 0.50 0.33 0.50 15 0.23 0.11 0.42 0.34 0.44 0.33 0.50 0.59 0.27 0.23 0.43 0.38 0.39 0.43 - 0.35 0.47 0.52 0.39 0.28 0.25 0.41 0.28 0.32 0.23 0.17 0.71 16 0.06 0.10 0.11 0.10 0.15 0.06 0.13 0.53 0.11 0.15 0.08 0.10 0.29 0.14 0.10 - 0.21 0.19 0.31 0.25 0.21 0.13 0.26 0.35 0.35 0.16 0.30 17 0.01 0.08 0.08 0.10 0.18 0.08 0.17 0.04 0.03 0.11 0.11 0.08 0.27 0.12 0.16 0.24 - 0.36 0.15 0.19 0.31 0.11 0.07 0.13 0.15 -0.04 0.25 18 0.20 0.11 0.20 0.15 0.46 0.17 0.45 0.49 0.28 0.23 0.25 0.22 0.48 0.29 0.22 0.28 0.45 - 0.41 0.32 0.40 0.26 0.15 0.25 0.15 0.13 0.25 19 0.15 0.15 0.15 0.08 0.28 0.13 0.34 0.35 0.26 0.39 0.13 0.18 0.44 0.22 0.13 0.36 0.15 0.33 - 0.37 0.43 0.09 0.43 0.34 0.39 0.28 0.25 20 0.08 0.07 0.08 0.10 0.27 0.13 0.23 0.36 0.21 0.20 0.13 0.16 0.26 0.12 0.11 0.32 0.21 0.29 0.41 - 0.39 0.11 0.30 0.30 0.45 0.09 0.25 21 0.14 0.08 0.10 0.12 0.29 0.04 0.34 0.31 0.17 0.25 0.12 0.05 0.22 0.17 0.07 0.20 0.26 0.26 0.36 0.29 - 0.14 0.40 0.36 0.23 0.22 0.14 22 0.24 0.17 0.33 0.39 0.42 0.29 0.28 0.33 0.43 0.42 0.37 0.23 0.31 0.52 0.37 0.40 0.30 0.56 0.23 0.27 0.46 - 0.17 0.53 0.20 0.15 0.20 23 0.08 0.06 0.12 0.11 0.25 0.06 0.17 0.40 0.11 0.16 0.05 0.07 0.18 0.08 0.07 0.22 0.05 0.09 0.31 0.19 0.34 0.04 - 0.40 0.16 0.27 0.16 24 0.14 0.05 0.16 0.13 0.27 0.07 0.29 0.55 0.21 0.18 0.13 0.13 0.35 0.14 0.09 0.32 0.10 0.16 0.27 0.21 0.34 0.16 0.45 - 0.33 0.19 0.16 25 0.07 0.07 0.03 0.03 0.14 0.07 0.16 0.31 0.09 0.20 0.09 0.07 0.22 0.10 0.05 0.26 0.10 0.08 0.25 0.26 0.18 0.05 0.14 0.26 - 0.13 0.31 26 0.08 0.06 0.10 0.10 0.20 0.04 0.22 0.03 0.10 0.12 0.04 0.06 0.12 0.07 0.04 0.13 -0.03 0.07 0.19 0.06 0.18 0.04 0.26 0.17 0.13 - 0.10 27 0.05 0.01 0.11 0.07 0.17 0.05 0.19 0.35 0.13 0.14 0.07 0.07 0.12 0.10 0.15 0.22 0.16 0.13 0.16 0.14 0.11 0.05 0.14 0.13 0.31 0.09 -

再 者 ， 設 Ｈ_p 表 示 為 J. Loevinger 所 提 出 的 所 有 試 題 之 等 質 性 係 數

（Homogeneity index），也就是試題關聯順序性係數 r^*ij，設順序性係數的閥值為 µ^*，則依照竹谷 誠的研究，全部試題間順序指向的繁雜程度是以Ｈ_p值為尺度，

而且當全部試題間均具全順序指向構造，即上下位關聯弱推移性時，表示Ｈp接 近 2µ^*；當全部試題間均呈現彼此獨立而無任何順序指向時，表示Ｈ_p＜2µ^*－1；

當全部試題間有半數具順序指向現象時，表示Ｈp接近 µ^*。因此當選擇順序性係 數閥值為 µ^*＝0.5 時，則可整理出：（引自許天維，民 84）

(1)若全部試題間無順序指向，即全部試題間呈現彼此獨立，則表示Ｈp接近

0。

(2)若全部試題間有半數具順序指向，則表示Ｈp接近 µ^*＝0.5。

(3)若全部試題間均具順序指向，則表示Ｈ_p接近 1。

另一方面，因全部試題間具順序指向的個數佔總試題間兩兩成對的個數比值 是閥值 µ^*的線函數，所以本研究為使試題間具有順序指向個數不過半，以免造 成順序指向過於煩雜，而先選擇最常用的順序性係數閥值以進行分析，亦即將其 閥值設為 µ^*＝0.5（若是順序指向過少，可以將閥值減小；若是順序指向過多，

可以將閥值增加；一般所取閥值是介於 0.4 與 0.6 之間。當 r^*_ij≧µ^*＝0.5 時，就 會有第 i 試題到第 j 試題的順序存在，在此情況下，以 1 來表示此種順序的指向 存在；反之，則以 0 來表示無第 i 試題到第 j 試題的順序性指向存在。於是在此 方式的處理原則下，把前頁表 4-5 順序性係數一覽表中之大於 0.5 的係數轉換為 1，而小於 0.5 的係數轉換為 0，因此可轉換表 4-5 的順序性係數表成為簡便的 0-1 表（0-1 矩陣表），非常有助於畫出指向結構圖，其結果呈現如表 4-5 所示：

表 4-4 順序性係數之 0-1 矩陣表

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 - 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 - 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 - 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 4 0 0 1 - 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 5 0 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 1 1 - 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 - 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 14 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 - 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 15 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 - 0 1 0 0 0 23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 0 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -

第三節 第三節 第三節

第三節 分數概念試題關聯結構圖之分析與討論 分數概念試題關聯結構圖之分析與討論 分數概念試題關聯結構圖之分析與討論 分數概念試題關聯結構圖之分析與討論

本研究主要目的，是想要了解受測學童目前的分數概念學習情形，因而利用 知識結構分析來形成試題，以誘發學童外顯其為人所難知的學習結構。為了進一 步呈現試題關聯結構圖所顯示的訊息，除了針對學童在分數概念的關聯結構做探 討之外，更進一步分析各子概念的關聯結構。

一、整體試題關聯結構圖 （一）以橫斷層面來看

根據答對率的高低約可分成三個類別（高、中、低），如表 4-5 所示：

表 4-5 分數概念試題關聯結構圖橫斷層面分析

答對率 試 題 內 容 題 號

擴分 1，2，4

約分 6

高 0.70~0.79

分數的大小比較 3，11

約分 7，8

分數的大小比較 5，9，10，12 分數的加法 13，14，15，16 分數的減法 17，18，20 中

0.50~0.69

整數除以整數 21，22，23，24

分數的減法 19

低

0.40~0.49 整數除以整數 25，26，27

由表 4-5 可看出，高答對率（0.70~0.79）的試題有六題，中答對率（0.50~0.69）

的試題有十七題，低答對率（0.40~0.49）的試題有四題。

試題內容在「擴分」方面有三題，而三題皆落在高答對率上，可知受測學童 較能掌握分數的擴分概念。

試題內容在「約分」方面有三題，第 6 題在高答對率上，其餘兩題都在中答 對率，顯示約分對受測學童而言，是屬於難易適中的分數概念，並沒有特別偏難。

試題內容在「分數的大小比較」方面有六題，除了第 3 題和第 11 題在高答 對率上，其餘四題都在中答對率，顯示分數的大小比較對受測學童而言，是屬於 難易適中的分數概念，並沒有特別偏難。

試題內容在「分數的加法」方面有四題，而四題皆落在中答對率上，顯示分 數的加法對受測學童而言，是屬於難易適中的分數教材內容，並沒有特別偏難或 偏易。

試題內容在「分數的減法」方面有四題，除了第 19 題在低答對率上，其餘 三題都在中答對率，顯示分數的減法對受測學童而言，是屬於稍難的分數教材內 容。

試題內容在「整數除以整數」方面有七題，其中第 21、22、23、24 題在中 答對率上，其餘三題皆落在低答對率上，顯示整數除以整數對受測學童而言，是 屬於較難的分數教材內容。

整體而言，此份試題答對率介於 0.40~0.79 之間，受測學童最能掌握擴分概 念，顯示五年級的學童已經進入測量運思的階段，他們能察覺等值分數的情形，

知道兩個等值分數同為一分量的測量值，分數單位就會由加法性分數質變成巢狀 分數（甯自強，1993）。

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

（二）就縱貫層面來看

本測驗共 27 題，以閾值 0.5 為標準，所形成的群體受試者之試題關聯結構 圖經簡化後如圖 4-1 所示：

圖 4-1 分數概念試題關聯結構圖

由圖 4-1 可知，整個試題關聯結構圖是由試題 1、試題 2、試題 4、試題 6、

試題 11、試題 12 等基本題型形成最下位概念。其中試題 1、2、4 都是屬於擴分，

可知擴分此分數概念對學童而言是比較容易的。

○

⁴

○

³

○

²⁷

○

²⁶

○

²⁵

○

²⁴

○

²³

○

²²

○

¹²

○

²⁰

○

¹⁹

○

¹⁸

○

¹⁶

○

¹⁷

○

¹⁵

○

¹⁴

○

¹³

○

²¹

○

¹¹

○

¹⁰

○

⁹

○

⁷

○

⁸

○

⁵

○

²

○

⁶

○

¹

至於最上位概念分別是試題 8、試題 10、試題 19、試題 20、試題 21、試題 23、試題 25、試題 26、試題 27，其中試題 21、23、25、26、27 都是屬於整數 除以整數，可見整數除以整數對學童而言是比較困難的概念，此與 Booth（1987）

研究發現的結果相同，他認為 11 歲的學生對於「分數是除法運算結果」的概念 很弱。

另外，試題 3 和試題 4、試題 9 和試題 14 形成等價關係，而試題 17 形成獨 立點。

以下就個別子概念試題關聯結構圖分析說明，並統一取閾值為 0.5。

二、個別子概念試題關聯結構圖 （一）等值分數：

此概念包含試題 1、試題 2、試題 4、試題 6、試題 7、試題 8，共六題，試 題之概念分析及結構圖如表 4-6 及圖 4-2 所示：

表 4-6 等值分數之概念分析

題 號 認 知 範 圍 1 ○¹ 擴分 ○² 非單位分數

○³ 離散量

2 ○¹ 擴分 ○² 非單位分數

○³ 連續量

4 ○¹ 擴分 ○² 單位分數

6 ○¹ 約分 ○² 分母與分割數具有倍數關係

○³ 連續量

7 ○¹ 約分 ○² 分母與分割數不具有倍數關係 8 ○¹ 約分 ○² 分母與分割數具有倍數關係

○³ 單位分數 ○⁴ 離散量

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

圖 4-2 等值分數子概念之試題關聯結構圖

1. 由結構圖 4-2 得知，試題 1、試題 2、試題 4、試題 6 為下位概念，最後都指 向最上位的概念試題 8。

2. 由試題內容及答對率來看，試題 1、試題 2、試題 4 為「擴分」概念，三題的 答對率都很高，介於 0.70~0.79 之間，顯示不管是單位分數（試題 4）或在連 續量情境的非單位分數（試題 2）、在離散量情境的非單位分數（試題 1），對 大多數受測學童而言，此概念是容易理解的。

○

⁸

○

⁷

○

⁶

○

¹

○

⁴

○

²

3. 觀察結構圖可發現，試題 7 的概念是由試題 1、4、6 而形成，可見學童在「分

（試題 8）

（ ）一盒金莎巧克力有 16 個，萍萍送給小花 12 個，小花得到幾個 4

1盒巧

克力？

○^１12 個 4

1盒巧克力 ○^２3 個 4

1盒巧克力

○^３ 16 12個

4

1盒巧克力 ○^４ 4 3個

4

1盒巧克力。

受測學童作答情形如下：

選項 ○^１ ○^２＊ ○^３ ○^４

全體百分比 20% 50% 23% 7%

高分組百分比 3% 87% 3% 7%

低分組百分比 50% 13% 30% 7%

＊是正確答案 該試題正確答案為○^２，高分組的答對率很高，顯示高分組學童對於約分的概 念相當清楚。低分組的答對率不到兩成，顯示低分組學童對於約分的概念相當薄 弱。有 57%的學童選擇答案○^２，經個別訪談得知，學生認為小花得到 12 個巧克 力，卻忽略了最後題目的單位是「盒」，可見學生缺乏部分/全體的分數概念。而 選擇答案○^３和答案○^４的學童，並沒有發現試題內容是「幾個

4

1盒巧克力」，可知

學生缺乏單位分數的分數概念。

（二）分數大小比較：

此概念包含試題 3、試題 5、試題 9、試題 10、試題 11、試題 12，共六題，

試題之概念分析及結構圖如表 4-7 及圖 4-3 所示：

表 4-7 分數大小比較之概念分析

表 4-7 分數大小比較之概念分析

在文檔中 國小五年級學童分數概念學習表現之研究 (頁 58-100)