# 國小五年級學童分數概念學習表現之研究

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### A research of the Learning Performance on Fractional Concept

Thesis abstract

The purpose of this research is to establish a set of test questions regarding the learning performance on fractional concept. Based on the results of the test, a

structural graph is developed. It is analyzed by the IRS method, in order to study the students’ the learning performance on Fractional Concept.Based on the researcher’s reference and mathematics courses,the Fractional Concept is divided into four sub-concepts:equivalence fraction,fractional comparison,fractional computation,and number division.

The subjects of this study are fifth-grade students from four classes in one of elementary schools in Taichung Country. After taking the test,we use IRS program to analyze the results. We hope to obtain information demonstrated on Fractional Concept. According to the results of the structure graph,this research reached the following conclusion:

（1） Equivalence Fraction:On expansion of fraction,it is easy for many students to

understand. On reduction of fraction,the students of high proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are poor. Those students of low proficiency group judge the fraction by the multiples of numerator or

denominator, and do not notice the difference of unit in the text.

（2） Fractional Comparison:On fractional comparison,the students of high

proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are not.Because the students of low proficiency group judge the fraction by the number comparison,and neglect the number’s meaning in numerator and denominator.

（3） Fractional Computation: Most of the students understand the concept of

fractional addition. But the students of low proficiency group are confused when reduction of fraction is figured in in the text.On the concept of fractional subtraction, the students of high proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are not.

（4） Number Division:It is very hard for students.They are confused about the

concept of part-whole.The students of low proficiency group are not only confused about the concept of part-whole, but also don’t understand the meaning of the text.

Based on the results above, several suggestions are proposed to serve as reference for educators and future studies.

Key phrases: Fractional Concept of Fifth-grade Students

Test Question Relationship Structure Analysis Method Learning Performance

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### 研究背景與動機

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analysis，簡稱 IRS），能從只有一個班級學生數的測驗對象之結果分析，獲得 學生學習概念能力方面所呈現形成性的結構圖，此結構圖可與教師依教材特性所 建構的學習結構圖，或教科書編者所編製的教材地位分析圖做比較，比較結果對 於改善教學方法與指導教材設計，都有莫大的幫助（許天維，1995）。 綜合以上所述，研究者將探討目前國小五年級學童分數概念的學習情形，藉由 編製試題來了解學童分數概念的知識結構，及相關概念的發展順序，希望研究的結 果，能對國小五年級教師從事分數教學及設計分數教材時有所幫助。

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### 分數概念的定義

Markle & Tiemann （1970）認為「概念是一組『事物』，雖然這些事物 本身之間具有一些差異性，然而它們具有某些共同的屬性，而被結合在一起且具 有共同的『名稱』。」而認知心理學派的 MacNamara（1982）將概念定義為：以 標誌指示的，在事物中所察覺的規律，大多數正常的兒童，在大約 30 個月，已 獲得了幾百個概念。另一個認知心理學派的 Pope & Gilbery 認為，從出生開始， 兒童進行建構其個人知識骨架的過程，這過程包含察覺規律性，以符號編譯，操

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（2）應分完而且沒有餘數的等分割概念： 學生甫接觸分數時，大多從分東西的經驗出發，然後以圓餅圖或方型圖介紹 分數，因此學生認為的幾分之幾就是要做「分」的動作，並且分完沒有剩餘。例 如：「一箱飲料有 24 罐， 4 1 箱是 6 罐。」因為 6 罐為 1 份，1 箱剛好可以等分 成 4 份。 （3）具有部分與整體間的關係： 學生要能將分數 b a 視為一個數，且 a 為整體 b 的部份（連續量情境），或 a 為集合 b 的子集（離散量情境）。例如：「一箱飲料有 24 罐， 4 1 箱是 6 罐。」因 為 6 罐為 1 份，1 箱剛好可以等分成 4 份， 4 1 箱是 4 份當中的其中一份。 （4）單位分量（數）的確認： 當兒童操作再細分的部分概念或子分割時，他們了解到此細分的部份是全體 的一部份，同時這一個細分的部份也是一個可以再細分的全體，因為分數從全體 而來，而全體不變。例如：一盒雞蛋有 10 個，學生能夠將 5 1 盒視為 10 個雞蛋的 5 等份中的一份，也就是 2 個雞蛋；同樣地，將 2 個雞蛋視為一份的量，總共有 5 份，就是 10 個。學生在解題時，能將給定的單位量內容視為一個整體，再分 辨所給定的單位（盒）和單位分量（個）之間的關係，然後予以分割，而分割後 的每一部份都是相等的。 除此，分數概念在不同的情境問題中有不同的意義，它具有多重意義的特 性，國內外許多學者對分數的意義有不同的看法，茲將其分述如表 2-1。

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### 學童分數概念的發展

Anderson and Bower（1975）認為概念形成是由彼此隔離的實體要素所組成， 而這些實體要素彼此之間在某些方面是類似的，在某些方面是不同的。概念本 身，其內容是藉由一個被允許有限量轉變的概念核心所支配，概念核心在每一個 概念的基本面向上是一個特殊量的系統。 高斯(1800/1929)認為「數是一個指標，此指標是用來指示，為了獲得一個與 一被界定量相等的量起見，一個已知量(單位量)，或是此單位的一個被等分割部 份，所需被重複累積的次數；這個次數則被用來指示被界定量」（引自甯自強， 民87）。而羅素(1903)則認為：「由數學的觀點來看，數僅不過是相似的類所成 的類。」說明了數「3」是由3個桌子、3個人、3個椅等物件的類的抽象而得的。 甯自強(民82)指出：「數概念可以看成是某量與某一單位量之間的關係。」 同時，他更進一步認為：「整數概念是專指由整數詞所呼出的集聚單位(composite unit)。而所謂的集聚單位是指一個以「一」為元素的群體，或是集聚「一」所成

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（2） 序列性合成運思（sequential uniting operations）與起始數：

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（3） 累進性合成運思（progressive uniting operations）與內嵌數：

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### 童分數概念的迷思

Markle & Tiemann （1970）認為了解某一概念時，人們內在的心理活動包

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（6） 對於圖形說出分數的錯誤類型，以區分整體及細分為最困難，學生會 將分數當作是斜線區域相對於空白區域而非相對於整體（Hart， 1980；APU，1980b；Figures，Filloy ＆ Valdemoros，1987）。 （7） 當在部分－整體模式中斜線區域為不連續時，學生會發生轉換錯誤 （Novillis，1976）。 （8） 指認單位量會有困難，例如：學生無法瞭解在不同的單位量中，較小 分數所佔的量可能比較大分數所佔的量多（Hart，1981；楊壬孝， 1988）。 （9） 學生對單位量的指認有下列錯誤類型：（Figueras et al.，1988； Figueras，1989） 1.忽略給定的單位量。例如：在一堆磚塊中（有 28 塊）將 7 1 的磚塊 著色時，學生會圈出 7 塊磚塊。 2.受分子控制。例如：在 30 顆葡萄中指出其中 5 顆著色的葡萄是全 部的幾分之幾時，學生的答案為「5 份」、「 5 1 」等等。 3.受分母控制。例如：在 8 朵花中圈出 4 3 的花朵時，只考慮問題中的 分母，而圈出 4 朵花。 （10）在處理比較分數的大小及等價分數時，學生經常會受自然數的影響而 產生依據分子或分母的大小來比較，或將分子、分母同加一數來比 較，或分別比較二個分數的分子、分母等策略（呂玉琴，1981；Behr et al .，1985；Hunting，1986）。 （11）學生在「子集合－集合模式」的困難是受制於部分的個數和受制於分 母的個數（Figures，Filloy ＆ Valdemoros，1987）。Clementa 及 Lean （1978）也指出學生認為圖形中畫出二塊斜線即表示 2 1 ，畫出三塊斜 線即表示 3 1 。

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（12）Larson（1987）的研究指出學生在三個模式中的學習，以數線模式的 成就最差（Muanguakose，1975；Willion，1975；Galloway，1975； Novillis，1976）。 （13）對於處理線上的分數須再細分的比較困難（Larson，1980）。 （14）不注意單位的標示（Bright et al .，1988）。 （15）11 歲的兒童對分數是數線上的一個數值的概念很薄弱（Booth， 1987）。 （16）12 到 14 歲的學生沒法確認 4 3 ＝3÷4（Kerslake，1986）。 （17）比值模式的此種概念發展比較慢（Novillis，1976）。 （18）學生認為分數是兩個整數（Booth，1984），例如：未能把分數與除 法關聯在一起，因此在「3÷5＝？」的計算題中，無法寫出 5 3 的答案 來。 （19）11 歲的學生對分數是除法運算結果的概念很弱（Booth，1987）。 （20）沒辦法將具有相同分數概念的應用題與計算題相連結（Hart，1981）。 （21）圖形雖然能幫學生瞭解某方面的分數概念，但也會對別的方面的分數 概念造成困擾（Hart，1981）。 （22）逃避處理分數（Hart，1981）。 （23）學生對分數的意義只有部分－全部這一種意義比較能接受，但無法將 部分－全部的意義遷移到分數是二個相除的結果及子集—集合的意 義上（Kerslak，1987）。 （24）學生雖然能處理簡單的等值分數，但卻無法將圖示的等值分數與計算 法的等值分數相連結（Kerslak，1987）。

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（1） 帶分數方面： 1. 借位的錯誤： (a)向整數借 1 時，卻加 10 到分子。 (b)向整數借 1 時，最後計算時卻忘了減 1。 2. 求公分母的錯誤。 3. 等值分數的錯誤。 4. 加減運算的錯誤： (a)帶分數化成假分數後，分子與分母各自分別運算。 (b)通分後，分子不變並直接處理分子及整數部分的運算。 (c)直接作分子及分母的運算時，若求出的值為 0，則省略 0 值的部分。 (d)計算時，完全用大的減小的分數。 （2） 向整數借位的問題：從整數所借的 1，直接在分子加 10；借位時， 將原整數部分加到分子去。 （3） 分數的加法運算錯誤：分子加分子，分母加分母；求出公分母後放在 分母，而分子為元分子相加；分母相乘，分子相加；分母相乘，分子 相乘。 （4） 分數的檢法運算錯誤：通分後，分子為大數減去小數；分母減分母， 分子減分子而且是大數減小數；求出公分母後放在分母，而分子為原 分子相減。 而國內湯錦雲(2002)「國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究」， 其研究結果整理出國小學童分數運算的錯誤類型，有下列十三種錯誤類型： 1. 將被加數加上加數的分子成為答案的分子。 例如：6＋ 8 9 ＝ 8 9 6⊕ ＝ 8 15 ＝1 8 7 。 2. 運算符號的錯誤。 例如：6＋ 8 9 ＝ 8 48 － 8 9 ＝ 8 39 。

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3. 將被加數分別加上加數的分子、分母成為答案的分子、分母。 例如：6＋ 8 9 ＝ 8 6 9 6 ⊕ ⊕ ＝ 14 15 。 4. 借位的錯誤。 例如：解 2－ 8 3 ＝？時，1＝ 8 8 ，8－3＝5，答： 8 5 。 5.計算錯誤。 例如：3－2 2 1 ＝2 2 2 －2 2 1 ＝2 2 1 。 6. 假分數化成帶分數的錯誤。 例如：2－ 8 3 ＝ 8 16 － 8 3 ＝ 8 13 ＝1 8 3 。 7.減數的整數部份用減法計算，真分數部分用加法計算。 例如：6－ 3 5 ＝6－1 3 2 ＝5 3 2 。 8. 乘數的整數部分用乘法，真分數部分用加法。 例如：解 2×2 3 1 ＝？時，2×2＝4，4＋ 3 1 ＝4 3 1 ，答：4 3 1 。 9.被乘數、乘數都化成假分數後，分子乘分子，分母則不相乘。 例如：2×2 3 1 ＝ 3 6 × 3 7 ＝ 3 42 。 10.只做真分數部分的乘法，整數部分則不相乘。 例如：2×2 3 1 ＝2 3 2 。 11.假分數化成帶分數的錯誤。 例如：2×2 3 1 ＝2× 3 7 ＝ 3 14 ＝4 3 1 。 12.把被除數當成分母，除數當成分子。 例如：13÷3＝ 13 3 。 13.商數與除數倒置。 例如：13÷3＝3 4 1 。

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### 分數概念的教材分析

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N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比 較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 4-n-07：能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換， 並進行同分母分數的比較、加減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 4-n-08：能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換。 5-n-04：能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與 與加減問題。 5-n-05：能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的 問題。 5-n-07：能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 4-n-08：能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分 數與小數的互換。 4-n-10：能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。 5-n-11：能將分數、小數標記在數線上。 第二階段 4-5 年級 N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。 5-n-12：能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）。 第三階段 6-7 年級 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義， 並用來將分數約成最簡分數。 6-n-02：能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解

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