國小五年級學童分數概念學習表現之研究

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臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

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在 職 進 修

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在 職 進 修 教 學

教 學

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教 學 碩 士 班 碩 士 論 文

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碩 士 班 碩 士 論 文

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指 導 教 授 : 許 天 維 博 士

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

研 究 生 : 蕭 亞 婷 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

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國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

國小五年級學童分數概念學習表現之研究

本研究之主要目的在於編製一套五年級分數概念試題,並藉由試題關聯結構 分析法(IRS)對施測結果加以進行分析形成結構圖,以探究五年級學童在分數 概念的學習表現。研究者參考國內外文獻及國小數學課程將分數概念細分為四個 子概念:等值分數、分數大小比較、分數運算、整數除以整數。 本研究以台中縣某國小四個班級的五年級學童為研究對象,施測後,採用試 題關聯結構理論之 IRS 電腦程式進行筆測資料的分析,期能從中獲得學童在分數 概念的試題關聯結構圖所呈現的訊息。根據結構圖所呈現的結果,本研究獲得以 下結論: (1) 等值分數:對大多數學童而言,擴分概念是容易理解的。在約分概念上, 高分組學童相當清楚,低分組學童只依靠分子或分母的倍數去判斷,也沒 注意題目單位的不同,因此表現較差。 (2) 分數大小比較:高分組學童的分數比較大小概念相當清楚,低分組學童則 容易受數字大小作判斷,而忽視數字在分子和分母所存在的意義。 (3) 分數運算:大多數學童容易理解分數加法概念,但若題目牽涉到約分概 念,低分組學童是有迷思的。在分數減法概念,高分組學童概念相當清楚, 低分組則有迷思。 (4) 整數除以整數:此概念對學童而言,是非常困難的,在部分/全體概念有 所迷思,低分組學童不但在部分/全體概念有所迷思,也不了解題意。 綜合以上結果,並根據此結果提出建議,以作為教學者及未來研究之參考。 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞 關鍵詞::::五年級分數概念五年級分數概念五年級分數概念 五年級分數概念 試題關聯結構分析法 試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法 試題關聯結構分析法 學習表現學習表現學習表現 學習表現

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A research of the Learning Performance on Fractional Concept

of Fifth-grade Students

Thesis abstract

The purpose of this research is to establish a set of test questions regarding the learning performance on fractional concept. Based on the results of the test, a

structural graph is developed. It is analyzed by the IRS method, in order to study the students’ the learning performance on Fractional Concept.Based on the researcher’s reference and mathematics courses,the Fractional Concept is divided into four sub-concepts:equivalence fraction,fractional comparison,fractional computation,and number division.

The subjects of this study are fifth-grade students from four classes in one of elementary schools in Taichung Country. After taking the test,we use IRS program to analyze the results. We hope to obtain information demonstrated on Fractional Concept. According to the results of the structure graph,this research reached the following conclusion:

(1) Equivalence Fraction:On expansion of fraction,it is easy for many students to

understand. On reduction of fraction,the students of high proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are poor. Those students of low proficiency group judge the fraction by the multiples of numerator or

denominator, and do not notice the difference of unit in the text.

(2) Fractional Comparison:On fractional comparison,the students of high

proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are not.Because the students of low proficiency group judge the fraction by the number comparison,and neglect the number’s meaning in numerator and denominator.

(3) Fractional Computation: Most of the students understand the concept of

fractional addition. But the students of low proficiency group are confused when reduction of fraction is figured in in the text.On the concept of fractional subtraction, the students of high proficiency group are clear,but the students of low proficiency group are not.

(4) Number Division:It is very hard for students.They are confused about the

concept of part-whole.The students of low proficiency group are not only confused about the concept of part-whole, but also don’t understand the meaning of the text.

Based on the results above, several suggestions are proposed to serve as reference for educators and future studies.

Key phrases: Fractional Concept of Fifth-grade Students

Test Question Relationship Structure Analysis Method Learning Performance

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第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論...1

第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...3 第三節 名詞釋義...3 第四節 研究範圍與限制...5

第二章

第二章

第二章

第二章

文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討...7

第一節 分數概念的定義與形成...7 第二節 兒童分數概念的發展...13 第三節 兒童分數概念的迷思...20 第四節 分數概念的教材分析...27 第五節 試題關聯分析法...32

第三章

第三章

第三章

第三章

研究設計與實施

研究設計與實施

研究設計與實施

研究設計與實施...39

第一節 研究架構...39 第二節 研究對象...40 第三節 研究設計與工具...40 第四節 實施步驟...48 第五節 資料統計與分析...50

第四章

第四章

第四章

第四章

研究結果與分析

研究結果與分析

研究結果與分析

研究結果與分析...51

第一節 試題性質分析...51 第二節 試題關聯順序性係數之分析...54 第三節 分數概念試題關聯結構圖之分析與討論...58

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第五章

第五章

第五章

第五章

結論與建議

結論與建議

結論與建議

結論與建議...93

第一節 結論...93 第二節 建議...95

參考文獻

參考文獻

參考文獻

參考文獻...97

一、中文部分...97 二、英文部分...99

附錄

附錄

附錄

附錄...101

附錄一 ...101 附錄二 ...109 附錄三 ...113

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表 2-1 分數概念之相關文獻一覽表...10 表 2-2 九年一貫課程國小階段「分數」相關之分年細目表...28 表 2-3 九年一貫數學課程二至六年級「分數」教學活動地位………...30 表 2-4 A、B 組學生得分情形表...33 表 2-5 A、B 學生得分情形簡表...33 表 2-6 A、B 組學生試題得分排序表...34 表 2-7 A、B 組學生試題得分、人數排序表...35 表 2-8 試題 i、j 答對與答錯人數統計表………...37 表 3-1 分數概念命題之雙向細目表...43 表 3-2 依據知識向度之分數概念命題之雙向細目表………...44 表 4-1 測驗之 Cronbach’s α 信度分析...51 表 4-2 正式施測試題難易度及鑑別度...53 表 4-3 試題關聯順序性係數一覽表...55 表 4-4 順序性係數之 0-1 矩陣表...57 表 4-5 分數概念試題關聯結構圖橫斷層面分析...58 表 4-6 等值分數之概念分析...61 表 4-7 分數大小比較之概念分析...65 表 4-8 分數運算之概念分析...68 表 4-9 整數除以整數之概念分析...73 表 4-10 等值分數和分數大小比較之概念分析...78 表 4-11 等值分數和分數運算之概念分析...80 表 4-12 等值分數和整數除以整數之概念分析...83 表 4-13 分數大小比較和分數運算之概念分析...85 表 4-14 分數大小比較和整數除以整數之概念分析...87 表 4-15 分數運算和整數除以整數之概念分析...89

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圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖...36 圖 3-1 研究架構圖...39 圖 3-2 分數教材架構圖...41 圖 3-3 分數概念內容架構圖...42 圖 3-4 研究流程圖...49 圖 4-1 分數概念試題關聯結構圖...60 圖 4-2 等值分數子概念之試題關聯結構圖...62 圖 4-3 分數大小比較概念之試題關聯結構圖...66 圖 4-4 分數運算概念之試題關聯結構圖...69 圖 4-5 整數除以整數之試題關聯結構圖...74 圖 4-6 等值分數和分數大小比較之試題關聯結構圖...79 圖 4-7 等值分數和分數運算之試題關聯結構圖...82 圖 4-8 等值分數和整數除以整數之試題關聯結構圖...84 圖 4-9 分數大小比較和分數運算之試題關聯結構圖...86 圖 4-10 分數大小比較和整數除以整數之試題關聯結構圖...88 圖 4-11 分數運算和整數除以整數之試題關聯結構圖...91 圖 4-12 五年級學童分數概念知識結構圖...92

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第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

教學與評量在教育的實施過程中一直是相輔相成的,而九年一貫課程的理 念,以生活化為教學中心,配合學童的身心發展歷程,尊重個性發展,以培養學 生帶著走的能力。那麽該如何有效評量出學生的能力以瞭解學童的知識結構,且 如何在課程的實施後,能不斷的改進及修正,都是當今重要的課題。因此,本研 究將針對五年級學童分數概念,參考文獻及教材來編製試題,並以試題關聯結構 分析法來分析施測結果,以期瞭解學童的知識結構,進而日後作為教學之參考。 本章共分四節:第一節、研究背景與動機;第二節、研究目的;第三節、名 詞釋義;第四節、研究範圍與限制。

第一節

第一節

第一節

第一節 研究背景與動機

研究背景與動機

研究背景與動機

研究背景與動機

自九十學年度起實施的九年一貫課程數學學習領域總目標強調能力的開 拓,期望提供 80%以上的學生,對課程綱要內每個階段的學習內容,都具有學 習能力,而課程總綱也以培養學生具備帶著走的基本能力,拋掉背不動的書包與 學習繁雜的知識教材為努力之宗旨(教育部,2003)。 而在九年一貫課程綱要中,數學學習領域課程目標之第一點就是期望學生掌 握數、量、形的概念關係(教育部,2003),可見數、量、形三者可說是學習數 學的主軸,其中數更是用來表徵量與形不可欠缺的元素,因此在國小數學課程 中,數概念是一主要的學習重點。數概念中主要以整數為基礎,但是當整數無法 詮釋所面臨的數學情境時,尤其是在無法以整數描述一物件時,則必須引進一不 同於整數的數概念-「分數」(李端明,1997)。 世界最早的分數,見於阿默斯紙草卷,上面記載了四千年以前分數的記法和 運算法,當時埃及人已經掌握了單位分數—分子為 1 的分數的一般記法。在拉丁 文裡,分數一詞來源於 frangere,是打破、斷裂的意思,因此分數也曾經被人 叫做「破碎數」(黃靜慧,2007)。

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在各個民族最古老的文獻裡,都能找到有關分數的記載,那麽人是如何學習 分數的呢?學者甯自強(1993)依據學童在不同階段的運思方是所呈現的數概念 與分割活動基準,利用分數詞作為區分,而將學童的分數概念分為五個層次,依 序為:分數概念的前身、起使單位分數、加法性分數、巢狀分數、有理數數概念。 然而,依現有研究顯示:分數是學生學習數學的一個很大的障礙。例如學生 解題時,經常逃避使用分數(呂玉琴,民 80b)。國外學者 Behr, Harel, Post& Lesh (1992)曾說:「學習分數為兒童數學發展上的嚴重障礙。」國立師院附小一名高 年級老師也曾表示,高年級學生開始接觸「分數」,分母通分、擴分、等值分數等 概念,多數學生常搞不清。可見國內外教育人員都有「分數在國小數學中,是複雜 又重要的概念」,國小學童分數學習有困難,會阻礙學生在未來的數學發展。 既然如此,教師的教學和學生的學習便是重要關鍵了。教師在教學前,了解 學生的起點能力,到底會了什麼,或尚未學到什麼,學生的數概念是如何發展的; 而學生學習了多少,其內在的概念不易顯現,必須經由數學教育專家、有經驗的 教師,透過精心設計的活動,讓它呈現,最常用且最方便的方法就是測驗。 有了測驗尚不足,還需要藉由適當的資料分析工具來闡釋學童的答題反應所 呈現之訊息。近年來國內現代測驗理論日漸興盛,而且資料分析亦趨於多元化走 向,其中日本學者竹谷誠的「試題關聯結構分析理論」(Item relational structure

analysis,簡稱 IRS),能從只有一個班級學生數的測驗對象之結果分析,獲得 學生學習概念能力方面所呈現形成性的結構圖,此結構圖可與教師依教材特性所 建構的學習結構圖,或教科書編者所編製的教材地位分析圖做比較,比較結果對 於改善教學方法與指導教材設計,都有莫大的幫助(許天維,1995)。 綜合以上所述,研究者將探討目前國小五年級學童分數概念的學習情形,藉由 編製試題來了解學童分數概念的知識結構,及相關概念的發展順序,希望研究的結 果,能對國小五年級教師從事分數教學及設計分數教材時有所幫助。

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第二節

第二節

第二節

第二節 研究目的

研究目的

研究目的

研究目的與待答問題

與待答問題

與待答問題

與待答問題

根據上述的研究背景與動機,本研究根據文獻及教材來編製試題,並以試題 關聯結構分析法來分析施測結果,以期瞭解學童的知識結構,本研究將探討內容 如下: 一、就受測學童的答題情形進行分析,以進一步瞭解受測學童的學習情形。 二、應用試題關聯結構分析法,來瞭解國小五年級學童的分數概念結構,及相關 概念的發展順序。 根據上面的研究目的,主要探討下列相關之問題: 一、編製一份具信度、效度,並且能檢視國小五年級分數概念的優良試題。 二、就受試學童的答題情形進行分析,來了解他們的學習情形。 三、應用試題關聯結構分析法,來了解國小五年級學童的分數概念結構,及相關 概念的發展順序。

第三節

第三節

第三節

第三節 名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

名詞釋義

為了能更清楚了解本研究的用語,茲將本研究中的重要名詞定義如下: 一、五年級學童 本研究之「五年級學童」是指九十八學年度之台中縣某城鄉交界的五年級 學童,並且接受九年一貫數學課程,而其使用的數學教科書版本為部編版。 二、分數概念 在 E.J.Borowski 及 J.M.Borwein (1999,p.286)所合著的數學辭典中把 分數解釋為:1. 兩個整數之比,或任何可表示成比 m/ n 的數,這裡 m 不是 n 的倍數,n 不是零或 1。2.任何一個量或表示式(分子,numerator)與另一個非 零的量或表示式(分母,denominator)之比。

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而在牛頓數學辭典(1997)的定義,分數(fraction)表示一數除以另外一 數的商,表為 b a (或 a/b),被除數 a 是分子(numerator)且除數 b 是分母 (denominator)。 國小分數教材包含分數的種類、等分、分數單位量、等量、等值、數線等, 而高年級的分數教材還包括分數四則運算、約分、擴分、比和比值等。在這麼多 的分數教材中,由於分數四則運算比較偏重於計算,所以我們不將它列入分數概 念中。 而依照九十二年版部編本數學教學指引第九冊的定義,分數概念起源於 “分”,是用來解決不滿一個單位量的量,其數值的問題,透過將原單位加等分 割,得到的單位分量的重複,因而得到與被測量量的指標。例如:以一公尺為原 單位量,將其等分割為四份,產生以 4 1 公尺為單位分量,重複單位分量三次,得 到 4 3 公尺與被測量量等價(教育部,1993)。 在本研究中的分數概念,指的是國小五年級學童在九十八學年度第一學期所 學的分數為主,包括:擴分和等值分數、約分和等值分數、通分和分數的大小比 較、異分母分數的加法、異分母分數的減法、解題、整數除以整數。 三、學習表現 本研究中之學習表現,意義為研究者使用依九年一貫正式綱要所編製的五年 級學童分數概念測驗,就五年級學童在該份測驗上的紙筆紀錄作分析,所得的關 於五年級學童的數學概念、解題思考、迷思概念等。 四、試題關聯結構分析 試題關聯結構分析係指由日本學者竹谷誠所提出,以測驗試題的結果,依照 不同概念所擬出的試題,統計學童各試題的答對率,答對率高為下位概念,答對 率低為上位概念,並且依照題目彼此間反應所得的順序性關係,製成具有指向性 的圖形結構來分析試題的特性,此種方法稱為試題關聯結構分析法。

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第四節

第四節

第四節

第四節 研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

研究範圍與限制

本研究以國民小學五年級學童為研究對象,藉由試題關聯結構分析法 (IRS),探究學童分數概念的知識結構。茲將研究範圍與限制之說明就研究內 容、研究對象及方法,分述如下: 一、就研究內容而言 本研究之數學課程教材分析,僅以受試樣本學生所參考使用的部編版為主, 至於不同版本未列入本研究之範圍。 二、就研究對象及方法而言 本研究旨在透過試題關聯結構法(IRS)之分析,探究受測學童在分數概念 的知識結構,且本研究受限於研究時間、人力與經費等客觀因素,係以台中縣某 國民小學五年級四個班級的學生為研究對象,樣本維持原來班級建制進行研究; 亦即,本研究方法只能視為一種「驗證測試」,推論的結果只能運用於相同的情 境,不能過度解釋(over generalized),產生於其他不同的情境,驗證的價值 性受分析對象材料真實性的限制;本研究所得的結果也無法推論到全國五年級學 童,僅能提供研究者或教室進行分數教學與設計課程時的參考。

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第二章

第二章

第二章

第二章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

本研究欲編製一份「五年級兒童分數概念試題」,藉以分析五年級學童的分 數概念發展結構,那麽該如何編製試題及分析概念,是本研究的重點,經過文獻 探討知道兒童的數概念及運思方式對其分數概念發展有所影響。因此本章依序探 討分數概念的定義與形成、兒童分數概念的發展、兒童分數概念的迷思、分數概 念的教材分析、試題關聯結構分析理論。

第一節

第一節

第一節

第一節 分數概念的定義

分數概念的定義

分數概念的定義

分數概念的定義

維基百科將概念定義是人類對一個複雜的過程和事物的理解,它是抽象 的、普遍的想法、觀念,或充當指明實體、事件或關係的範疇。概念範圍是指所 有包括在這個概念中的事物,比如「白」的概念範圍是所有白色的事物;範圍相 同的概念被稱為是相當的,在邏輯研究中,尤其是數學邏輯中,相當的概念往往 被看作是相同的。

Markle & Tiemann (1970)認為「概念是一組『事物』,雖然這些事物 本身之間具有一些差異性,然而它們具有某些共同的屬性,而被結合在一起且具 有共同的『名稱』。」而認知心理學派的 MacNamara(1982)將概念定義為:以 標誌指示的,在事物中所察覺的規律,大多數正常的兒童,在大約 30 個月,已 獲得了幾百個概念。另一個認知心理學派的 Pope & Gilbery 認為,從出生開始, 兒童進行建構其個人知識骨架的過程,這過程包含察覺規律性,以符號編譯,操

縱各種符號以傳遞命題或觀念,很小的兒童能操縱高度變化的語彙。(引自劉德

明,1992)因此概念具有統合、聯繫各種不同經驗與分類不同經驗的威力,因而

適當的概念或理論使得我們能解釋、預測及控制許多相關的事情。(楊瑞智,

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分數一詞來自拉丁文的"fangere",意思是分開,用來描述一個被分開的全體 之各個部份(羅鴻翔,1980)。在世部貞市郎所著的代數學辭典中,定義分數是 可表示成兩整數之商的數中,不是整數的那些數(1992,P.1)。而在 John Daintith 及 R.D.Nelson 所合著的牛頓數學辭典中把分數定義為一數除以另一數的商,表 為 a∕b,被除數 a 是分子且除數 b 是分母(余文卿、謝光輝譯,1997,p.144)。 另外在 E.J.Borowski 及 J.M.Borwein 合著的數學辭典中把分數解釋為:1.兩個整 數之比,或任何可表示成比值 m∕n 的數,這裡的 m 不是 n 的倍數,n 不是零或 一。2.任何一個量或表示式(分子)與另一個非零的量或表示式(分母)之比。 又在幼獅數學大辭典(1983)中,說明分數是表示 1 之若干等分的名詞。此 名詞係屬術語,而兼指僅有一分之一種,凡等分之ㄧ即稱為分數單位。例如: 4 3 、 9 8 、 b a 、0.05 等等,均為分數;在 4 3 這個例子當中,其中含有所分 1 之等分為 3, 每份等於 4 1 ,而分數單位為 4 1 ;在 b a 這個例子中,所分之等份各等於 b 1 ,而所取 者有 a 個;在 0.05 這個例子中,分數單位為 100 1 ,即 0.01。 國立編譯館(1998)對分數概念的定義為:分數是用來解決不滿一個單位量 的量的數值問題,透過將原單位量予以等分割,得到單位分量的重複,因而得到 與被測量量等價的量,以分割的份數和重複單位分量的次數並置,作為被測量量 的指標。 張熙明(2004)歸納甯自強、Piaget 等人的觀點,認為兒童的分數概念應該 包含以下四個要素: (1)對單位量的認知: 學生在解題時,能將給定的單位量內容視為一個整體,再分辨所給定的單位 和單位分量之間的關係,然後予以分割。例如:「一盒雞蛋有 10 個,其中的一 個是幾盒?」學生能夠回答十分之一盒,並且區辨「盒」和「個」之間的關係。

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(2)應分完而且沒有餘數的等分割概念: 學生甫接觸分數時,大多從分東西的經驗出發,然後以圓餅圖或方型圖介紹 分數,因此學生認為的幾分之幾就是要做「分」的動作,並且分完沒有剩餘。例 如:「一箱飲料有 24 罐, 4 1 箱是 6 罐。」因為 6 罐為 1 份,1 箱剛好可以等分 成 4 份。 (3)具有部分與整體間的關係: 學生要能將分數 b a 視為一個數,且 a 為整體 b 的部份(連續量情境),或 a 為集合 b 的子集(離散量情境)。例如:「一箱飲料有 24 罐, 4 1 箱是 6 罐。」因 為 6 罐為 1 份,1 箱剛好可以等分成 4 份, 4 1 箱是 4 份當中的其中一份。 (4)單位分量(數)的確認: 當兒童操作再細分的部分概念或子分割時,他們了解到此細分的部份是全體 的一部份,同時這一個細分的部份也是一個可以再細分的全體,因為分數從全體 而來,而全體不變。例如:一盒雞蛋有 10 個,學生能夠將 5 1 盒視為 10 個雞蛋的 5 等份中的一份,也就是 2 個雞蛋;同樣地,將 2 個雞蛋視為一份的量,總共有 5 份,就是 10 個。學生在解題時,能將給定的單位量內容視為一個整體,再分 辨所給定的單位(盒)和單位分量(個)之間的關係,然後予以分割,而分割後 的每一部份都是相等的。 除此,分數概念在不同的情境問題中有不同的意義,它具有多重意義的特 性,國內外許多學者對分數的意義有不同的看法,茲將其分述如表 2-1。

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表 2-1 分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 Behr 等人 1.部分-全體比較 2.小數 3.比值 4.商 5.運算 6.測量 1983 Dickson 等人 1.部分全體 2.子集與集合間的比較 3.數線上的一點 4.除法運算的結果 5.兩組集合或兩個量的大小比較結果 1984 Booth, L. R. 1.一個整體等分後的幾部分 2.把一個集合等分後的幾組 3.數線上的數值 4.兩數相除的結果 1987 Ohlsson 將分數分為四種建構及十一種含意: 1.商的函數:包括等分除、包含除、縮小、引出 2.有理數:包含分數與測量 3.二元向量:包含比、內涵量、比例、平均 4.合成函數 1988

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表 2-1 分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 林碧珍 1.視為某區域的一部份 2.數線上的一數值 3.看成小數 4.看成商 5.集合的一部份 6.用來比較 7.單位分數相加 8.看成比值 9.當成運算 10.當作度量 1987 楊壬孝 1.一個整體的相等部份 2.依各集合等分組後的幾組 3.數線上的某一數值 4.兩數相除的結果 1989 楊瑞智 1.部分/全部 2.子集合/集合 3.乘法運算元 4.等值分數 5.整數除法的結果 6.分數是一個數,或數線上的一點。 7.平均 8.當量 9.比例尺中的比、比例尺、比值,比較量/基準量。 10.機率 2000

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表 2-1 分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 教育部 82 年版 數學課程標準 1.表示操作:在具體物上進行「分的活動」,重視操 作模型與分數符號之連結。 2.部分/全部:包括連續量與離散量之情境。 3.數線上的數值:可視為線段長或數線上的一點。 4.整數相除的結果。 5.比或比值。 6.表示量的大小。 1993 教育部 92 年 九年一貫 數學課程綱要 1.平分的意涵:學生在低年級認識人我分際之後, 會發展出公平感,因此從平分入手學習分數。 2.測量的意涵:長度測量是低年級就發展的數學課 題,以個別單位度量長度,為了解決剩下部分的 「餘數」時,就能同時發展小數與分數兩種課題。 3.比例的意涵:比的原理,是一種微妙的平分方式, 透過比的方式,仍然可以協助學生解題。最後再 透過比值的引入,一貫地解決比例的問題。 4.部分/全體的意涵:部分/全體的概念較為抽象, 必須透過單位的強調來解決其真分數、假分數和 代分數三者之間的認知衝突。 5.除的意涵:小學的有理數教學,必須釐清、練習 並連結上述有理數的四種意涵,最後歸結成日後 數學學習中。 2003 資料來源:改自王秀琲(2003)。實作評量在國小數學科之應用實作評量在國小數學科之應用實作評量在國小數學科之應用實作評量在國小數學科之應用———以五年級學童—以五年級學童以五年級學童 以五年級學童 分數為例 分數為例 分數為例 分數為例。台中師範學院教育測驗統計研究所碩士論文(未出版)。頁 21。

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第二節

第二節

第二節

第二節 學童分數概念的發展

學童分數概念的發展

學童分數概念的發展

學童分數概念的發展

羅馬不是一天形成的,學童分數概念的形成也不是一蹴可成,而是先擁有數 概念,再透過分割行為了解部份與整體的關係,進一步認識到分數,然後隨著分 數概念的增加而提升層次,進行運算。 一、學童數概念的形成 Skemp(1971)認為:「概念是過去經驗共通不變性的智慧性表現。概念的 形成過程,一般稱為抽象化。很多數學概念首先來自我們實際經驗所抽象化形成 的初級概念,再根據這些初級概念繼續抽象形成次級概念,往往還需要再幾次的 抽象才形成。這些一再抽象化形成的數學概念具有高度的濃縮性,也因為這些特 性使得數學學習更加困難。」抽象化是使得我們能夠了解周圍環境之間的各種相 似性與共通性的一種心智活動過程。抽象(abstract)是泛指抽象化的結果,為 一種延續性的心智變化,使我們從已分類舊經驗的相似性與共通性來認知新經驗 (Skemp,1971)。

Anderson and Bower(1975)認為概念形成是由彼此隔離的實體要素所組成, 而這些實體要素彼此之間在某些方面是類似的,在某些方面是不同的。概念本 身,其內容是藉由一個被允許有限量轉變的概念核心所支配,概念核心在每一個 概念的基本面向上是一個特殊量的系統。 高斯(1800/1929)認為「數是一個指標,此指標是用來指示,為了獲得一個與 一被界定量相等的量起見,一個已知量(單位量),或是此單位的一個被等分割部 份,所需被重複累積的次數;這個次數則被用來指示被界定量」(引自甯自強, 民87)。而羅素(1903)則認為:「由數學的觀點來看,數僅不過是相似的類所成 的類。」說明了數「3」是由3個桌子、3個人、3個椅等物件的類的抽象而得的。 甯自強(民82)指出:「數概念可以看成是某量與某一單位量之間的關係。」 同時,他更進一步認為:「整數概念是專指由整數詞所呼出的集聚單位(composite unit)。而所謂的集聚單位是指一個以「一」為元素的群體,或是集聚「一」所成

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的單元,一集聚單位的數值所指示的是一集聚單位與單位量「一」間的關係;此 關係則是透過數數活動來達成的。」 兒童對數概念的運思,不同年齡的兒童會有不同的運思方式,所產生的數概 念類型也會不同,當兒童能成熟的運用某一運思方式時,才能表示其擁有此階段 的數概念。而國內學者甯自強(1992,1994)將兒童的運思方式與其對應的數概 念說明如下: (1) 數的前置概念: 在數的前置概念類型中,數概念的意義為標準數詞序列上的一個「位置」, 或是「特定的空間圖形」,並不具備約定成俗的數概念性質。例如:給兒童 5 個花片,問他花片有多少時,兒童只能指出第五個花片(位置數)而不知整體「五 個」才是 5;又如:給兒童一個骰子,要他找出代表 5 的那一面,兒童僅能依據 經驗來對特定的空間圖形作一區分而尋出答案。 此階段兒童以「位置」或「圖形」來認識「數」。換言之,此時的 5 並未未 具有基數的概念,即此階段的兒童尚未具有數保留概念(Piaget,1965),故稱 為「數的前置概念」。數數是兒童在此階段的解題活動,尚無法解決數的合成、 分解、比較等問題。

(2) 序列性合成運思(sequential uniting operations)與起始數:

所謂合成運思是指兒童將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思(甯自 強,1992)。例如:兒童能指出整體 5 個花片是 5,此 5 是由 5 個 1 所組成,這 就是兒童將構成事物的元素合成為一事物。依發展的先後,合成運思又可分為序 列性合成運思與累進性合成運思。合成運思被兒童運用於量的情境中以建構數的 概念,將抽象的計數動作(counting acts)合成為一集聚單位。 序列性合成運思是指,兒童能依數詞所指示的量依序全盤表現以進行量的合 成或分解,並將結果重新合成予以數值化,所以將此種性質的數稱為「起始數」。 起始數概念的意義為兒童在數詞序列中,一段由 1 開始的有限數列,一一對應的 一個以「一」為元素的群體,或是集聚「一」所成的單位,而且此集聚單位的數

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值是有限數列的最後一項(甯自強,1994)。此運思將數個「1」合而為一,形 成一個集聚單位(例如:10 或 16)。 序列性合成運思階段的兒童對數概念的掌握,必須透過標準數詞序列,將一 的物件對應一個數詞的方式而得。換言之,兒童必須透過使用單位「一」,將物 件累算後才能確定數的大小。此時兒童在聯絡兩數時,至多只是將兩數加以並置 (juxtaposed),也就是將兩數看成是獨立無關的。

(3) 累進性合成運思(progressive uniting operations)與內嵌數:

所謂累進性合成運思,是指兒童能將構成事物的元素合成一集聚單位,並以 此集聚單位為起點,進一步累加另一物件以形成另一新的集聚單位。例如以 16 為起點,繼續合成 3 個「1」,而形成 19。 累進性合成運思的兒童能以一個數為起點開始往上數,但是當兒童往上數 時,舊的集聚單位是內嵌於(embedded)新的集聚單位之中。然而,累進性合 成運思中,蘊含的內嵌關係只是隱約的「部分-全體關係」,因此此階段的數一 再複製尚未穩固,兒童一再複製數時,會產生單位之間混淆的現象。此時兒童所 建構的兩數間之關係,是集合間的包含關係。 (4) 部分-全體運思(part-whole operations)與合成巢狀數: 所謂部分-全體運思,是累進性合成運思和的重組。以累進性合成運思所製 成的集聚單位為基礎,將內嵌於集聚單位中的部分複製(copy)後予以脫嵌,再 行置回原集聚單位中,並同時保持原有的全體不變。由部份—全體運思所孤立出 的部分不會影響原來的全體,而由累進性合成運思所建構出的部分,一經孤立則 使原有的全體不復存在(甯自強,1992)。 此運思掌握「1」單位與以「1」為單位量所合成的集聚單位(例如:10 或 100)間的部分-全體關係,明顯地區分兩者的意義,故而在混合使用兩種以上 的被計數單位時,不混淆其計數的意義,可以將數個集聚單位和數個「1」單位 合而為一,形成新的集聚單位,例如,能區辨 3 個「十」與 3 個「一」這兩個 3 具有不同的意義,而將 33 視為 3 個「十」與 3 個「一」的合成結果,發展由多

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單位的觀點,來解讀數字(詞)的意義。 部分-全體運思階段的兒童具有合成巢狀數概念。合成巢狀數概念指示的集 聚單位,可以由 1 與其他高階單位聯合而成,合成時重複的高階單位與 1 不會產 生混淆(甯自強,1994)。 雖然此階段兒童對於單位之間不會產生混淆的現象 但是此時所建立的,「部 分—全體關係」只是單方向的。例如:108 塊積木分成三份的問題,兒童則是先 行估計每一份的數量,再重複製作三份求其和,若總數與 108 不符,則調整估計 量重新求解,直至重複製作的合成與 108 相同為止。 (5) 測量運思(measurement operations)與測量單位數: 測量運思是二個部分-全體運思的遞迴運用,在重複的運用部分-全體運思 以重組同基數的次階集聚單位後,把內嵌於最高階集聚單位中的次階集聚單位都 當成部分,加以複製後予以脫嵌外提,再行置回原處,並且同時保留原有的最高 階集聚單位與「一」的部分-全體關係(甯自強,1992)。 此運思以掌握「1」與集聚單位(例如 10 或 100)間的部分-全體關係為基 礎,進而能掌握集聚單位(例如:「十」)與以此集聚單位為單位量所合成的另 一個新集聚單位(例如:10 個「十」,也就是「百」)間的部分-全體關係, 故而是同時掌握兩個層級的部分-全體關係,換言之,在運思上,可以把任何整 數(例如 10 或 16)當作單位量,而此整數成為測量單位。 此階段兒童的部分-全體關係是雙向且可逆的,兒童可以同時思考單位量之 間的轉換。換言之,一單位可同時為另一單位的高階單位,且同時為另一單位的 低階單位。此階段兒童具有測量單位數概念,測量單位數是指兒童具有保留概念 的合成巢狀數(甯自強,1994)。 (6) 比例運思(proportion operations): 比例運思掌握兩個集聚單位間的關係,形成一新的單位來描述此關係,亦即 掌握比值或有理數的概念,以關係為運思的對象,蘊含著對共變性質的掌握,被 此關係聯絡的兩個集聚單位,如果產生等比例的變化,並不會改變此關係。

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二、學童分數概念的發展 Piaget(1960)認為,兒童要理解分數的意義,必須具有 1.能將整體分割; 2.能決定部份量;3.分割量必須窮盡;4.能決定分割數和全體的關係;5.所有的 被分割量皆相等;6.知道部份是來自全體;7.知道部份總和會等於全體,而且全 體不是變的。而他使用連續量的具體物研究 4 至 7 歲兒童對面積的分割行為,以 探討兒童如何建構部分與整體的關係,來形成分數的概念。其研究發現,兒童的 分數概念發展為: (1) 四歲到四歲半的兒童:對一物分為兩半非常困難,在分割之前沒有 預想的計畫或基模(scheme),關於不同形狀之分割,長方形比較 容易,圓形次之,正方形較難。這個階段的最大特徵,是缺乏部分 和全體之間的任何關係,兒童比較不會注意到他所接觸的部分是某 個比較大的全體之中所含的元素。 (2) 四歲到六歲的兒童:對於規則的、小範圍東西有分為兩半的能力, 但如果整體的大小增大了,其分一半的能力更要延緩。將物體分成 相等的三部分的能力尚未發現,在分割圖形中利用長方形的餅比較 容易解決。 (3) 六歲到七歲的兒童:能成功的實施三等分的分法,而不必用試誤的 方法,但其對操作的瞭解,還是處於具體的操作層次,在這個階段 的兒童具有整體性的保留概念,因此兒童能了解到將各個分割塊數 結合所得到的總量與整個餅是一樣的。 (4) 十歲左右的兒童能實施六等分的分法,首先用三分法分一個餅,然 後再將所分得的三塊餅每塊再用二分法分一次。 Ning(1992)根據兒童在不同階段的運思方式所呈現的數概念與分割活動為 基準,利用分數詞做為區分而將兒童的分數概念分為: (1)分數概念的前身: 此階段的兒童具有分割經驗,但分割活動未能將子分割單位數值化,因此並

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未具有分數概念。而且在這個階段,兒童分數詞的意義為「並置類型」,例如: 4 1 ,此時的意義為 1 和 4,或是 4 和 1,若拿 8 個積木給兒童,要求他取出其中 的 4 1 時,則答案不是 1 個積木,就是 4 個積木。 在分數概念的前身時,兒童只是靠直覺作判斷,將一物撕裂使成為一個撕得 的部分和一撕剩下的部分,撕得的部分與撕餘的部分不一定相等,也不一定窮 盡。且只有部分而缺乏部分與全體的概念。例如:兒童知道 3 1 是三份中的一份, 但是如果將這一份再放回去,問兒童全部是多少時,兒童會回答四份。 (2)起始單位分數: 當兒童能夠引入累進性合成運思於分數的情境時,他們則如同在整數情境中 聯絡兩個整數一般,將由子分割單位所構成的分子部分內嵌於由子分割單位所構 成的分母部分,此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」。例如: 4 1 是指由 1 所指涉的集聚單位,而此集聚單位內嵌於由 4 所指涉的集聚單位之中,即 4 1 是指 「4 中間的 1」。但「內嵌並置類型」的並置關係,並非明顯的部分—全體關係, 而是隱約的部分—全體關係,這種部分—全體關係可稱之為部分在全體之中。 以「內嵌並置類型」為分數詞意義的兒童無法進行單位分數的累積活動,例 如:計算 4 1 + 4 1 時,由於當 1 被複製時,分割數也同被複製,因此會以來 8 2 回答。 因為對兒童而言,分子僅是內嵌於分母的一部分,尚無法脫嵌而出,成為可以獨 立於分母之外單獨被累積運作的單位,此時的 4 1 尚非可以被使用的分數單位,因 此稱為起始單位分數。 (3)加法性分數: 當兒童將部分全體運思引入子分割活動中,造成子分割活動的質變。這時子 分割活動的結果不但是可以被集聚的計數單位,同時也是用子分割單位集聚而成 的集聚單位中的獨立部分單位;自此開始子分割單位已成為所謂的單位分數單

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位,故此時的分數詞意義稱為加法性分數。例如:兩個 4 1 可以構成 4 2 ,而非 8 2 。 此階段兒童雖然能同時使用部分全體運思及子分割單位的轉換活動於分數 情境中,但仍無法聯絡兩個以上的子分割活動。例如:要求兒童從 8 個積木中, 取出其中的 4 3 ,兒童回答 6 個,並不表示「4 份中之 3 份」,而是「每 4 個中之 3 個」。而 8 個積木的 4 3 和 8 個積木的 8 6 是相同的,但 4 3 和 8 6 是不同的。 (4)巢狀分數: 當兒童進入測量運思的階段時,他們能察覺等值分數的情形,知道兩個等值 分數同為一分量的測量值,分數單位就會由加法性分數質變成巢狀分數(甯自 強,1993)。例如:兒童已察覺到 8 個積木的 4 3 和 8 個積木的 8 6 是相同的,同時 也認為 4 3 和 8 6 是同一分量的測量值。 在此階段,兒童具有雙向的部分全體運思與子分割單位化概念,因此兒童可 以利用單位分數的再次分割,察覺等值分數的情形,例如:知道 3 1 可以分割成 6 2 , 所以 3 1 = 6 2 。但是,因為缺乏彈性思考的緣故,對於非以再次等分單位分數而產 生的等值分數,則無法判定,尚未能真正具備等值的分數概念,例如知道 2 1 = 6 3 , 2 1 = 8 4 ,但無法擴展到 6 3 和 8 4 是等值分數的概念。 (5)有理數概念: 有理數是兩個部分全體的重組,能同時思考兩個分數,有等比例運思的共變 概念,因此稱為有理數概念,兒童不僅具有部分全體的雙向運思,更能以分數做 為測量的單位,例如:比較 6 3 和 8 4 ,兒童知道二者均是 24 12 ,所以 6 3 = 8 4 (兩個 巢狀分數比較)。在此階段中,兒童具有彈性思考的能力,能將不同分母的分數 經由等分割活動加以比較,具有等值分數的概念。

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第三節

第三節

第三節

第三節 學

學童分數概念的迷思

童分數概念的迷思

童分數概念的迷思

童分數概念的迷思

Markle & Tiemann (1970)認為了解某一概念時,人們內在的心理活動包

含兩件事情:一為類化新的例子,另一為區別反例;因而概念學習的結果產生了 下列三種錯誤類型:類化不足、過度類化、迷思概念(引自楊瑞智,1990)。 依皮亞傑的觀念,迷思概念是建構,而且它們建造的過程是平衡化過程,像 所有解釋性知識一樣,迷思概念的建構以某種知識「缺陷」的認知開始,依照已 知的和面臨的經驗的範圍和順序(包括教師所設計出的)而定,建構持續建立潛在 地填補缺口的幾個可能性,從它們中做選擇,並時常被隨後修正。所得的知識即 為迷思概念(劉德明,1992)。 國內外有關分數概念的研究報告相當多,將分數概念學習較困難、容易犯錯 的情形及各種錯誤類型綜合整理如下(引自楊壬孝,民 78): (1) 12 到 15 歲的兒童有不熟悉等價分數的困擾(Hart,1981)。 (2) 一般學童對形狀不同的圖形較難決定是否等分(Bruni & Silverman,1977)。 (3) 大部分學生能由分割中找出分數,但瞭解細分必須等分的人不到 50% (Jecks,1981)。3 歲 10 個月到 4 歲 10 個月的兒童僅有少數能了解 一半的意義,且大部分兒童知道一半就是要分成兩塊,但沒有等分的 概念(Hunting & Sharply,1988)。在處理「部份∕全部」的分數 問題時不瞭解各部份均需等分(Bergeron et al,1987)。 (4) 學生處理分數畫出斜線連續量的模式比斜線區域說出分數困難,尤其 是圖形的分割數比分母小的問題最為困難(Hart,1980)。 (5) 圖形超過 1 單位去辨認分數有困難(Kerslake,1986;Manguapoe, 1975)。

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(6) 對於圖形說出分數的錯誤類型,以區分整體及細分為最困難,學生會 將分數當作是斜線區域相對於空白區域而非相對於整體(Hart, 1980;APU,1980b;Figures,Filloy & Valdemoros,1987)。 (7) 當在部分-整體模式中斜線區域為不連續時,學生會發生轉換錯誤 (Novillis,1976)。 (8) 指認單位量會有困難,例如:學生無法瞭解在不同的單位量中,較小 分數所佔的量可能比較大分數所佔的量多(Hart,1981;楊壬孝, 1988)。 (9) 學生對單位量的指認有下列錯誤類型:(Figueras et al.,1988; Figueras,1989) 1.忽略給定的單位量。例如:在一堆磚塊中(有 28 塊)將 7 1 的磚塊 著色時,學生會圈出 7 塊磚塊。 2.受分子控制。例如:在 30 顆葡萄中指出其中 5 顆著色的葡萄是全 部的幾分之幾時,學生的答案為「5 份」、「 5 1 」等等。 3.受分母控制。例如:在 8 朵花中圈出 4 3 的花朵時,只考慮問題中的 分母,而圈出 4 朵花。 (10)在處理比較分數的大小及等價分數時,學生經常會受自然數的影響而 產生依據分子或分母的大小來比較,或將分子、分母同加一數來比 較,或分別比較二個分數的分子、分母等策略(呂玉琴,1981;Behr et al .,1985;Hunting,1986)。 (11)學生在「子集合-集合模式」的困難是受制於部分的個數和受制於分 母的個數(Figures,Filloy & Valdemoros,1987)。Clementa 及 Lean (1978)也指出學生認為圖形中畫出二塊斜線即表示 2 1 ,畫出三塊斜 線即表示 3 1 。

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(12)Larson(1987)的研究指出學生在三個模式中的學習,以數線模式的 成就最差(Muanguakose,1975;Willion,1975;Galloway,1975; Novillis,1976)。 (13)對於處理線上的分數須再細分的比較困難(Larson,1980)。 (14)不注意單位的標示(Bright et al .,1988)。 (15)11 歲的兒童對分數是數線上的一個數值的概念很薄弱(Booth, 1987)。 (16)12 到 14 歲的學生沒法確認 4 3 =3÷4(Kerslake,1986)。 (17)比值模式的此種概念發展比較慢(Novillis,1976)。 (18)學生認為分數是兩個整數(Booth,1984),例如:未能把分數與除 法關聯在一起,因此在「3÷5=?」的計算題中,無法寫出 5 3 的答案 來。 (19)11 歲的學生對分數是除法運算結果的概念很弱(Booth,1987)。 (20)沒辦法將具有相同分數概念的應用題與計算題相連結(Hart,1981)。 (21)圖形雖然能幫學生瞭解某方面的分數概念,但也會對別的方面的分數 概念造成困擾(Hart,1981)。 (22)逃避處理分數(Hart,1981)。 (23)學生對分數的意義只有部分-全部這一種意義比較能接受,但無法將 部分-全部的意義遷移到分數是二個相除的結果及子集—集合的意 義上(Kerslak,1987)。 (24)學生雖然能處理簡單的等值分數,但卻無法將圖示的等值分數與計算 法的等值分數相連結(Kerslak,1987)。

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張熙明(2004)對於兒童分數錯誤概念相關文獻之分析,認為學童經常發生 的分數錯誤概念可分為以下幾類: (1) 單位量問題 1. 忽略給定的單位量,不確定單位量為何:此種常見的迷思概念的成因乃是由 於學生並未真正了解分數的意義(洪素敏、楊德清,2002;楊壬孝,1988; 楊德清、洪素敏,2003b; Kouba et al., 1997),所以犯此類錯誤的兒童無法指 認問題中的單位量。例如:有些學童在處理連續量「部分/全體」情境的問 題時,會把部分當成分子,而以整體扣掉部分為分母的情形發生。 2. 受分子的控制,解題時只考慮到分子的因素:犯此類錯誤的兒童在處理分數 問題時,只考慮到問題中的分子。例如:「一堆花片有 24 個, 6 1 堆是幾個?」 學生會只拿其中的一個,如果題目改成 6 6 堆時,學生會拿 6 個,雖然花片還 有剩下,但他們也沒有警覺到奇怪(洪素敏、楊德清,2002)。 3. 受分母的控制,解題過程只考慮到問題中分母的因素:犯此類錯誤的兒童在 處理分數問題時,只考慮到問題中的分母,與上述受分子影響解題的情形類 似(洪素敏、楊德清,2002;Mack,1993)。 (2) 缺乏等分觀念 學生一開始接觸分數課程時,大多從分東西的經驗出發,然後以圓餅圖或方 形圖介紹分數,因此許多學生會以字面上的意義來了解分數,認為幾分之幾就是 要做「分」的動作,但卻忽略了分數是要對整體進行等分割的活動(林福來、黃 敏晃、呂玉琴,1996)。 張熙明(2004)在以往對五年級的教學經驗中發現,有學生在進行圓形等分 割的活動時,並未注意到每一塊的分割是否相等,可見即使是五年級的學童仍然 會忽略了—分數是要對整體進行等分割的活動這個重要因素。 (3) 受到整數基模的影響,視分數 b a 為兩個獨立個體

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一些研究(Behr et al., 1984; Hunting, 1986; Behr, Lesh, Post &Silver, 1983; Mack, 1990)指出,兒童在處理分數問題時會將 b a 視為是由兩個不相關的整數所 組成,而未將分數視為一個數,並將之應用至分數的解題上。因此當兩個分數比 較大小的解題時,便有以下的情況發生: 1. 以分母大小來比較:當比較分數大小時,忽略分子的存在,以分母的大小來 決定分數的大小,並未考慮分子與分母的相互關係。 2. 以分子的大小比較:當比較分數大小時,忽略分母的存在,以分子的大小來 決定分數的大小。雖然此原則在分母相同之分數的情形下可適用,但是在分 母不同或是等值分數的情形下,依此法則比較分數的大小,就會有錯誤的結 果產生。 3. 以錯誤的方式考慮分子與分母:兒童以錯誤的方式考慮分子與分母或是以整 數的想法來類推,去直接比較數字的大小,忽略了分數是要同時考慮分子和 分母之間的關係,或使用了不正確的概念去考慮兩者之間的關係。例如:有 些學童處理等值分數時,將 8 3 的分子和分母同時加 4,所以誤認為 8 3 = 12 7 ; 或者在處理分數的加法時,將分子分母同加一起,像是 4 3 + 4 4 = 8 7 ,「因為 3 +4=7,4+4=8」(Behr et al.,1984)。除此之外,兒童也經常分別比較兩個分 數的分子與分母,例如: 5 3 < 10 6 ,「因為 3<6,而且 5<10」(Behr et al.,1984; Hunting, 1986)。 在分數運算方面,國外學者 Lankford(1972)、Edward(1983)、Tatsuoka(1984) 與 Painter(1989)依據學生分數四則運算錯誤類型的研究,因為五年級學生僅學習 分數的加減法,因此將學生在分數加減法的運算錯誤類型敘述如下(引自湯錦 雲,2002):

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(1) 帶分數方面: 1. 借位的錯誤: (a)向整數借 1 時,卻加 10 到分子。 (b)向整數借 1 時,最後計算時卻忘了減 1。 2. 求公分母的錯誤。 3. 等值分數的錯誤。 4. 加減運算的錯誤: (a)帶分數化成假分數後,分子與分母各自分別運算。 (b)通分後,分子不變並直接處理分子及整數部分的運算。 (c)直接作分子及分母的運算時,若求出的值為 0,則省略 0 值的部分。 (d)計算時,完全用大的減小的分數。 (2) 向整數借位的問題:從整數所借的 1,直接在分子加 10;借位時, 將原整數部分加到分子去。 (3) 分數的加法運算錯誤:分子加分子,分母加分母;求出公分母後放在 分母,而分子為元分子相加;分母相乘,分子相加;分母相乘,分子 相乘。 (4) 分數的檢法運算錯誤:通分後,分子為大數減去小數;分母減分母, 分子減分子而且是大數減小數;求出公分母後放在分母,而分子為原 分子相減。 而國內湯錦雲(2002)「國小五年級學童分數概念與運算錯誤類型之研究」, 其研究結果整理出國小學童分數運算的錯誤類型,有下列十三種錯誤類型: 1. 將被加數加上加數的分子成為答案的分子。 例如:6+ 8 9 = 8 9 6⊕ = 8 15 =1 8 7 。 2. 運算符號的錯誤。 例如:6+ 8 9 = 8 48 - 8 9 = 8 39 。

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3. 將被加數分別加上加數的分子、分母成為答案的分子、分母。 例如:6+ 8 9 = 8 6 9 6 ⊕ ⊕ = 14 15 。 4. 借位的錯誤。 例如:解 2- 8 3 =?時,1= 8 8 ,8-3=5,答: 8 5 。 5.計算錯誤。 例如:3-2 2 1 =2 2 2 -2 2 1 =2 2 1 。 6. 假分數化成帶分數的錯誤。 例如:2- 8 3 = 8 16 - 8 3 = 8 13 =1 8 3 。 7.減數的整數部份用減法計算,真分數部分用加法計算。 例如:6- 3 5 =6-1 3 2 =5 3 2 。 8. 乘數的整數部分用乘法,真分數部分用加法。 例如:解 2×2 3 1 =?時,2×2=4,4+ 3 1 =4 3 1 ,答:4 3 1 。 9.被乘數、乘數都化成假分數後,分子乘分子,分母則不相乘。 例如:2×2 3 1 = 3 6 × 3 7 = 3 42 。 10.只做真分數部分的乘法,整數部分則不相乘。 例如:2×2 3 1 =2 3 2 。 11.假分數化成帶分數的錯誤。 例如:2×2 3 1 =2× 3 7 = 3 14 =4 3 1 。 12.把被除數當成分母,除數當成分子。 例如:13÷3= 13 3 。 13.商數與除數倒置。 例如:13÷3=3 4 1 。

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第四節

第四節

第四節

第四節 分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

分數概念的教材分析

本研究的研究對象為九十八學年度之五年級學生,其所接受之國小數學教材 為:一至四年級皆配合九年一貫課程實施而使用九年一貫課程教科書。因此,本 節除了針對研究對象的分數學習教材作分析之外,也將九年一貫課程中,有關分 數概念的相關教材地位及發展脈絡作一比較,幫助研究者對於分數教材有更清楚 的掌握。 九年一貫課程強調以學習者為主體,以知識的完整面為教育的主軸,以終身 學習為教育的目標。在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中,數學知識及 數學能力,已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知, 國民教育數學課程的目標,須能反映下列理念(教育部,2000): (1)數學能力是國民素質的一個重要指標。 (2)培養學生正向的數學態度,了解數學是推進人類文明的要素。 (3)數學教學(含教材、課本及教學法)應配合學童不同階段的需求,協 助學童智能的發展。 (4)數學作為基礎科學的工具性特質。 基於以上的基本理念,九年一貫數學領域的課程綱要由下列四個原則界定: (1)參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。 (2)採用國際間數學課程必備的核心教材。 (3)考慮數學作為科學工具性的特質。 (4)現有學生能夠有效學習數學的一般能力。 具體而言,九年一貫數學學習領域的教學總體目標為: (1)培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 (2)學習應用問題的解題方法。 (3)奠定下一階段的數學基礎。 (4)培養欣賞數學的態度及能力。

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其中,國民小學階段的目標為: (1)在第一階段(一至三年級)能掌握數、量、形的概念。 (2)在第二階段(四至五年級)能熟練非負整數的四則與混合計算,培養 流暢的數字感。 (3)在小學畢業前,能熟練小數與分數的四則計算,並利用常用數量關係, 解決日常生活的問題。能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面 積與體積公式。能報讀簡單統計圖形,並理解其概念。 由教育部頒布之九年一貫數學領域課程綱要的內容安排來看,我們可以得知 數學領域課程有關「數」概念的學習順序,是先以「整數」學習為基礎,接著再 引入「分數」、「小數」、「概數」的相關學習。至於「計算」部分的學習則是 先進行「合成與分解(加減)」活動再進入「乘除」活動;特別強調必須事先理 解加減乘除的基本事實,然後再進行直式算則的學習。 分數的數概念學習其順序為「單位分數」、「真分數」、「假分數」及「帶 分數」,九年一貫課程國小階段「分數」相關分年細目如表 2-2: 表2-2 九年一貫課程國小階段「分數」相關之分年細目表 第一階段 1-3 年級 N-1-09 能在具體情境中,初步認識分數,並解決同分母分數 的比較與加減問題。 2-n-10:能在平分的情境中,認識分母在 12 以內的單位分數,並比較不同 單位分數的大小。 3-n-09:能在具體情境中,初步認識分數,並解決同分母分數的比較與加 減問題。 第二階段 4-5 年級 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-06:能在平分情境中,理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-10:能用直式處理整數除以整數,商為三位小數的計算。 5-n-06:能在測量情境中,理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-11:能將分數、小數標記在數線上。

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N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數,作同分母分數的比 較、加減與整數倍計算,並解決生活中的問題。 4-n-07:能認識真分數、假分數與帶分數,熟練假分數與帶分數的互換, 並進行同分母分數的比較、加減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 4-n-08:能理解等值分數,進行簡單異分母分數的比較,並用來做簡單分 數與小數的互換。 5-n-04:能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-09 能理解通分的意義,並用來解決異分母分數的比較與 與加減問題。 5-n-05:能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法,並解決生活中的 問題。 5-n-07:能理解分數乘法的意義及計算方法,並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換,並標記在數線上。 4-n-08:能理解等值分數,進行簡單異分母分數的比較,並用來做簡單分 數與小數的互換。 4-n-10:能用直式處理整數除以整數,商為三位小數的計算。 5-n-11:能將分數、小數標記在數線上。 第二階段 4-5 年級 N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。 5-n-12:能認識比率及其應用(含「百分率」、「折」)。 第三階段 6-7 年級 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義, 並用來將分數約成最簡分數。 6-n-02:能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,理解

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最大公因數、最小公倍數的計算方式,並能將分數約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法,並解決生活中 的問題。 6-n-03:能理解除數為分數的意義及計算方法,並解決生活中的問題。 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義,並解決生 活中的問題。 6-n-07:能認識比和比值,並解決生活中的問題。 第三階段 6-7 年級 N-3-11 能熟練正負數的混合四則運算。 6-n-05:能做分數的兩步驟四則運算。 資料來源:教育部(2003b)。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。 二、

學童的分數教材分析

九年一貫數學課程教科書「分數」教學活動,在這裡以部編版為例,針對九 年一貫課程數學領域部編版教科書、教師手冊(翰林書局,2009)中,五年級學 童所學習的分數課程做歸納整理。茲將九年一貫數學課程二至六年級「分數」教 學活動地位整理為表 2-3: 表 2-3 九年一貫數學課程二至六年級「分數」教學活動地位 冊別(年級) 分 數 概 念 第五冊第十一單元 (三上) 1. 分子異於 1,總量不超過 1 個的分數 2. 建立分數(≤1)的數詞序列 3. 同分母分數的比較 第六冊第三單元 (三下) 1. 由單位分數的個數認識分數 2. 同分母加法(和在 2 以內) 3. 同分母減法(被減數小於 2)

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冊別(年級) 分 數 概 念 第七冊第七單元 (四上) 1. 認識帶分數、真分數、假分數 2. 帶分數和假分數的互換 3. 同分母分數的比較、加減 4. 非帶分數的整數倍 第八冊第六單元 (四下) 1. 等值分數(分母 12 以內) 2. 異分母分數的比較(分母 10 以內,一個能整除另一 個) 3. 用平分理解整數相除的意義 4. 整數乘以分數,轉為先除再乘的問題 5. 整數除以分數(單位分數),轉為乘法問題 第九冊第四單元 (五上) 1. 擴、約分找等值分數 2. 通分作異分母分數的比較與加減 3. 從(分裝)測量理解整數相除的意義 第十冊第三單元 (五下) 1. 乘數為分數的計算 2. 除數為整數的計算 第十一冊第三單元 (六上) 1. 理解除數為分數的意義與計算 2. 認識倒數 第十一冊第四單元 (六上) 1. 認識比、比值與正比 2. 相等的比,將所有分數的比劃成最簡單整數比 由上可知,五年級學童所應學習的分數概念有:等值分數、異分母分數的比 較與運算、整數相除的意義、分數乘以分數、分數除以整數,而本研究的研究對 象為 98 學年度上學期的五年級學童,因此本研究的五年級學童分數概念測驗的 內容為等值分數、異分母分數的比較與運算、整數相除的意義。

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第一節

第一節

第一節

第一節 試題關聯

試題關聯

試題關聯

試題關聯結構分析法

結構分析法

結構分析法

結構分析法

一、試題關連結構分析法的由來與功能 教師實施教學活動後,學生的概念能力在結構上的變化,在教學上是非常重 要的訊息,但長久以來缺乏完善的考驗方法。在 1973 年,美國學者 P.W. Airasian & W.M. Bart 首先提出次序理論(ordering theory);1980 年,日本學者竹谷誠 教授提出以測驗試題的結果,按題目彼此間反應所得的順序關係,製成具有指向 性的圖形結構,來分析試題的特性,這種方法稱為「試題關聯結構分析法」(Item relational structure analysis),簡稱 IRS 分析法(引自許天維,1995)。

而經過研究的結果,試題關聯結構分析法具有下列五種功能: 1. 教學設計之運用:教師進行單元教學活動前,將課程內容之先備概念作 知識結構分析,再依結構所對應的知識概念出題,並加以施測,所得的 結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,可以考驗學生先前經驗概念 不足之處,從而想像出未來指導時的困難所在,以作為進行設計教學歷 程的參考。 2. 形成性評量之運用:經過單元教學活動後,欲知班級學生的學習結果, 可以利用知識結構分析出題,編製形成性評量,再加以施測,所得的結 果以「試題關聯結構分析法」進行分析,就可以知道兒童學習後的知識 結構,以便對兒童不清楚之處,進行補救教學加強之。 3. 認知學習構造之分析:形成性評量的反應結果,亦可利用佐藤 S-P 表獲 得注意係數,從而偵測出異質性的兒童,此類兒童所畫出結構圖與班上 的結構圖可以互為比較,即可知道此類兒童異質的原因,從而加強輔導 教學。 4. 概念形成過程之考驗:對縱貫研究而言,兒童概念的形成過程有層次之 分,例如山田完對教師進行評定兒童設有四層次,即操作經驗層次、知 覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次,如果以此四層次來評定各

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年級班上學生的形成過程,並建立各年級的結構圖,即可知學生的概念 形成過程的發展。對橫斷研究而言,亦可知班上學生的概念形成過程的 分布。 5. 課程教材構造之解析:由母群體隨機抽出樣本進行考驗,透過「試題關 聯結構分析法」進行構圖,可得兒童的學習構造,對教科書編者而言, 是貴重的資料,對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質,也有很大 的作用。 二、試題關連結構分析法的理論 以下對試題關連結構分析理論上直觀的意義略做說明。假設有 A、B 兩組學 生各有 10 位,均參加試題共為六題的同一種測驗,若假設答對者得一分,答錯 者得零分,其得分情形如表 2-4 所示(許天維,1995): 表 2-4 A、B 組學生得分情形表 A 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 B 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 1 0 0 0 學生 3 0 0 1 0 0 0 學生 4 0 1 1 0 0 0 學生 4 0 0 0 0 0 0 學生 5 0 1 1 0 1 1 學生 5 0 1 1 1 1 1 學生 6 0 0 1 0 1 1 學生 6 0 1 1 0 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 7 0 1 1 1 1 1 學生 8 0 0 0 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 由表可知兩組測驗後,各組各試題之答對者人數均相同,為方便起見,可以 改成表 2-5:

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表 2-5 A、B 學生得分情形簡表 A 組 試 題 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 其次,依照每位學生試題所得的總分高低,由上而下排序可得表 2-6: 表 2-6 A、B 組學生試題得分排序表 A 組 試 題 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 1 8 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 接著,以學生在各試題答對人數的多寡順序,由左而右排列,可得表 2-7(佐 藤隆博,1982): 高分 低分 高分 低分

數據

表 2-1  分數概念之相關文獻一覽表  文 獻 來 源  分  數  概  念  時 間  Behr 等人  1.部分-全體比較        2.小數                  3.比值                   4.商  5.運算  6.測量  1983  Dickson 等人  1.部分全體              2.子集與集合間的比較    3.數線上的一點       4.除法運算的結果  5.兩組集合或兩個量的大小比較結果  1984  Booth, L

表 2-1

分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 Behr 等人 1.部分-全體比較 2.小數 3.比值 4.商 5.運算 6.測量 1983 Dickson 等人 1.部分全體 2.子集與集合間的比較 3.數線上的一點 4.除法運算的結果 5.兩組集合或兩個量的大小比較結果 1984 Booth, L p.17
表 2-1  分數概念之相關文獻一覽表  文 獻 來 源  分  數  概  念  時 間  林碧珍  1.視為某區域的一部份    2.數線上的一數值        3.看成小數              4.看成商                5.集合的一部份          6.用來比較  7.單位分數相加  8.看成比值  9.當成運算  10.當作度量  1987  楊壬孝  1.一個整體的相等部份  2.依各集合等分組後的幾組  3.數線上的某一數值  4.兩數相除的結果  1989  楊瑞

表 2-1

分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 林碧珍 1.視為某區域的一部份 2.數線上的一數值 3.看成小數 4.看成商 5.集合的一部份 6.用來比較 7.單位分數相加 8.看成比值 9.當成運算 10.當作度量 1987 楊壬孝 1.一個整體的相等部份 2.依各集合等分組後的幾組 3.數線上的某一數值 4.兩數相除的結果 1989 楊瑞 p.18
表 2-1  分數概念之相關文獻一覽表  文 獻 來 源  分  數  概  念  時 間  教育部  82 年版  數學課程標準  1.表示操作:在具體物上進行「分的活動」 ,重視操   作模型與分數符號之連結。 2.部分/全部:包括連續量與離散量之情境。 3.數線上的數值:可視為線段長或數線上的一點。 4.整數相除的結果。  5.比或比值。  6.表示量的大小。  1993  教育部  92 年  九年一貫  數學課程綱要  1.平分的意涵:學生在低年級認識人我分際之後,    會發展出公平感,因此從平

表 2-1

分數概念之相關文獻一覽表 文 獻 來 源 分 數 概 念 時 間 教育部 82 年版 數學課程標準 1.表示操作:在具體物上進行「分的活動」 ,重視操 作模型與分數符號之連結。 2.部分/全部:包括連續量與離散量之情境。 3.數線上的數值:可視為線段長或數線上的一點。 4.整數相除的結果。 5.比或比值。 6.表示量的大小。 1993 教育部 92 年 九年一貫 數學課程綱要 1.平分的意涵:學生在低年級認識人我分際之後, 會發展出公平感,因此從平 p.19
表 2-5    A、B 學生得分情形簡表  A 組  試            題  B 組  試            題  1  2  3  4  5  6  1  2  3  4  5  6  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  3  0  1  1  0  0  0  3  0  0  1  0  0  0  4  0  1  1  0  0  0  4  0  0

表 2-5

A、B 學生得分情形簡表 A 組 試 題 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 4 0 0 p.41
表 2-7    A、B 組學生試題得分、人數排序表  A 組  試            題  B 組  試            題  3  5  6  2  4  1  3  5  6  2  4  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1  1  5  1  1  1  1  0  0  5  1  1  1  1  1  0  7  1  1  1  0  1  0  7

表 2-7

A、B 組學生試題得分、人數排序表 A 組 試 題 B 組 試 題 3 5 6 2 4 1 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 0 1 0 7 p.42
圖 3-2    分數教材架構圖 分數概念的初步認識 分數的讀法轉換成記法 同分母分數的比較  假分數及帶分數的認識與互換 分母為 20 以內的真分數 同分母分數的比較 同分母分數的加減 整數相除的結果 非帶分數的整數倍 整數乘以分數 分數成以分數 分數的除法問題 等值分數 擴分、約分 異分母分數的比較 異分母分數的加減 分數的數線  認識比與比值 正比 最簡單整數比

圖 3-2

分數教材架構圖 分數概念的初步認識 分數的讀法轉換成記法 同分母分數的比較 假分數及帶分數的認識與互換 分母為 20 以內的真分數 同分母分數的比較 同分母分數的加減 整數相除的結果 非帶分數的整數倍 整數乘以分數 分數成以分數 分數的除法問題 等值分數 擴分、約分 異分母分數的比較 異分母分數的加減 分數的數線 認識比與比值 正比 最簡單整數比 p.48
圖 3-3  分數概念內容架構圖 等值分數   擴分(題 1、2、4)  約分(題 6、7、8) 分數大小比較  通分概念(題 9)   分母與分割數之倍數關係(題 3、10) 分子與分母之因數關係(題 5、11)  同分子之大小比較(題 12) 分數運算  分數的合成(題 13、14、15、16)  分數的分解(題 17、18、19、20) 整數除以整數  部分全部的並置(題 21、23、25)  等分概念(題 22、24、26)  比例(題 27)

圖 3-3

分數概念內容架構圖 等值分數 擴分(題 1、2、4) 約分(題 6、7、8) 分數大小比較 通分概念(題 9) 分母與分割數之倍數關係(題 3、10) 分子與分母之因數關係(題 5、11) 同分子之大小比較(題 12) 分數運算 分數的合成(題 13、14、15、16) 分數的分解(題 17、18、19、20) 整數除以整數 部分全部的並置(題 21、23、25) 等分概念(題 22、24、26) 比例(題 27) p.49
表 3-2    依據知識向度之分數概念命題之雙向細目表  認知歷程向度  知識向度  教材內容  記 憶  了 解  應 用  分 析  評 鑑  創 造  A.事實知識  約分與等值分數  6  B.概念知識  通分  9  擴分與等值分數  1  2  4  約分與等值分數  7  8  分數大小比較  12  3  10  11  分數的加法  13 14  15  16  分數的減法  17 18  19  20  用平分理解整數相除的意義  22  27  整數除以整數(部份全部的並 置)  2

表 3-2

依據知識向度之分數概念命題之雙向細目表 認知歷程向度 知識向度 教材內容 記 憶 了 解 應 用 分 析 評 鑑 創 造 A.事實知識 約分與等值分數 6 B.概念知識 通分 9 擴分與等值分數 1 2 4 約分與等值分數 7 8 分數大小比較 12 3 10 11 分數的加法 13 14 15 16 分數的減法 17 18 19 20 用平分理解整數相除的意義 22 27 整數除以整數(部份全部的並 置) 2 p.51
表 4-2  正式施測試題難易度及鑑別度  N= 108,  i= 27,  N PH =29,  N PL =29  題 號  整體答對 百分比 P  高分組答對 百分比P H 低分組答對 百分比PL 難易度指數 P=(PH+PL )/2  鑑別度指數 D=PH-PL 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  .82 .85 .83 .79 .57 .

表 4-2

正式施測試題難易度及鑑別度 N= 108, i= 27, N PH =29, N PL =29 題 號 整體答對 百分比 P 高分組答對 百分比P H 低分組答對 百分比PL 難易度指數 P=(PH+PL )/2 鑑別度指數 D=PH-PL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 .82 .85 .83 .79 .57 . p.60
表 4-4    順序性係數之 0-1 矩陣表  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  1  -  0  1  0  1  0  1  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  1  0  1  0  1  1  0  0  0  2  0  -  0  0  1  0  0  1  0  1  0  0  1  0  0

表 4-4

順序性係數之 0-1 矩陣表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 - 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 - 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 p.64

參考文獻