為支持本研究目的之重要概念，以下依據數學計算有關的數學事實自動化提取、多位數計 算和文字題等能力發展之文獻，與其在數學學障學生相關研究結果分述如下。
一、數學事實自動化提取能力之發展
數學事實自動化提取能力是指，學生能自動化地將個位數計算的答案直接從記憶庫中提取 出來，要達到如此流暢的計算能力，不少文獻已指出大致可分為三個發展階段，第一階段稱為 數數階段，或稱為建立數學事實的程序性知識（procedural knowledge）階段；第二階段則是將已 知的數學事實與未知的數學事實建立關係，據以記住未知數學事實的階段；第三階段則是直接 提取數學事實，或是知道數學事實的陳述性知識（declarative knowledge）階段（Ando & Ikeda, 1971; Ashlock, 1971; Bezuk & Cegelka, 1995; Carnine & Stein, 1981; Garnett, 1992; Garnett &
Fleischner, 1983）。Hopkins 與 Lawson（2002）則進一步將數數階段再加以細分成二個階段，兒 童能夠直接提取數學事實之前，他必須先習得數字的概念知識，並建構出越來越精緻而有效率 的數數策略，據此指出數數策略的發展是從「全部數（counting-all）」進展到「數上去（counting-on）」策略，其中「全部數策略」又細分為長數數加總（long-sum）和數數加總（sum-counting）
程序等二個發展階段，這二者均是從 1 開始數，只是前者在「加數」從 1 數一次，「被加數」也 從 1 數一次，最後二個數字合起來從 1 再數一次，而後者是二個數字合起來從 1 開始數直到結 束。至於「數上去策略」也細分為二個發展階段，分別為以第一個數字為基礎數上去（count-from-first）和以大數字為基礎數上去（min-counting）程序，前者是以第一個數字（亦即加數）為基礎 數上去，而後者是以大的數字（可能是加數或被加數）為基礎數上去。此外，Hopkins 與 Lawson 將上述文獻的第二階段和第三階段分別稱為分解與重組（decomposition and regrouping）和數學 事實提取（math facts retrieval）階段（Hopkins & Lawson, 2002），其中分解與重組能力是一種彈 性運用能力的展現，透過已建立的數學事實導出另一個數學事實，如「6+7」先提取已知的「6+6=12」
這個事實，然後這個「部份的合」再加上 1 就導出答案，當孩童的計算能力進展到數學事實提 取階段，表示他們遇到任何的個位數算式（如 3＋5＝、8＋5＝、9－6＝、14－5＝、6×7＝、…）
都可以直接從記憶庫中提取出答案，研究指出學童從數數策略轉換到數學事實提取策略，大致 發生在小學二年級到三年級之間（Ashcraft, Fierman, & Bartolotta, 1984），到了小學四年級，數學 事實直接提取已成為其主要的加法策略（Ashcraft, 1982）。Hopkins 與 Lawson 四個發展階段整理 如表 2，並與之前文獻所指出的三個階段進行對照。
表 2
Hopkins與Lawson的四個發展階段與之前文獻的三個發展階段對照表
之前文獻的三階段論
Hopkins 與 Lawson 的
四階段論 次階段
數數（程序性知識）階段 全部數階段 long-sum sum-counting 數上去階段 count-from-first
min-counting 已知與未知事實建立關係階段 分解與重組階段
數學事實提取（陳述性知識）階段 數學事實提取階段
當計算策略發展到以記憶為基礎時，在解題歷程中，由於運用快速且精熟的自動化數學事 實提取策略而降低工作記憶的負荷，就可以讓出更多的認知資源以解決複雜的問題，如多位數 計算或文字題，甚至理解更抽象的數學概念（Dehaene, 1997; Geary & Widaman, 1992）。而且，
學童如果能運用數學事實的自動化提取能力，快速地完成數學習題，那麼他將有更多的機會也 能更輕鬆地練習其他的題目，而這些經驗會進一步強化其計算的正確性、流暢性和彈性運用能 力（Ivarie, 1986; Skinner, Bamberg, Smith, & Powell, 1993; Skinner, Belfiore, Mace, Williams, & Johns, 1997; Skinner, Pappas, & Davis, 2005）。
二、多位數計算能力之發展
一般學生在多位數計算能力的表現，可以從計算錯誤的訊息中加以探討其計算程序與概念 知識的發展（Resnick, 1984），例如，孩童開始學習多位數減法計算時，會忽略每個位值之被減 數與減數的大小，常犯一律以大的數字減小的數字之錯誤類型（如 624－461＝243），此計算程 序的錯誤可能反映孩童仍缺乏十進位（base 10 system）的數學概念（Fuson & Kwon, 1992）。van Lehn（1982）指出多位數計算除了缺乏數學概念導致穩定而一致的錯誤外（如上述缺乏十進位 概念），也會因為缺乏穩固的計算程序或數學事實提取錯誤而導致偶發性的錯誤，反映出學童從 長期記憶中提取數學事實有困難或錯誤使用數數程序等。其他型態的多位數計算錯誤，包括直 式轉換時的數字空間欄位對位有誤、誤讀或誤寫數字等，此現象可能與視覺-空間（visual-spatial）
或視覺-監控（visual-monitoring）能力不佳有關（Russell & Ginsburg, 1984）。到目前為止，針對 MLD 學生在多位數計算能力的研究仍是相當不足，Russell 與 Ginsburg（1984）利用聽寫多位數 計算題目，並將寫下的題目加以計算的方式進行研究，發現國小四年級的 MLD 學生，相較於同 齡的控制組而言，較無法辨識出他人計算程序的錯誤，包括數字空間欄位對位的錯誤、誤寫數 字等，而且有較高比例的數學事實提取錯誤，據此指出數學事實提取的錯誤和視覺-監控能力不 佳是 MLD 學童進行多位數計算的主要特徵。
Raghubar 等人（2009）則進一步以國小三、四年級的 MLD-only、MLD-RD、RD-only 學生 和正常發展的控制組等為對象，進行多位數加法和減法計算能力的研究，並依據下列的錯誤類 型加以編碼，包括數學事實提取錯誤、計算程序錯誤、視覺-空間錯誤和計算題型轉換錯誤等。
數學事實提取錯誤是指計算時將個位數加法或減法的結果算錯；計算程序錯誤包括借位時忽略 需要在借位的位值減掉 1、一律以大數字減小數字的錯誤、進位時未在下一個位值加 1 等；視覺 -空間錯誤包括誤認或誤寫數字、空間位值欄位對位錯誤或數字在空間上的書寫相當擁擠不整齊 等；計算題型轉換錯誤是指從一個題型（如減法）轉換到另一個題型（如加法）有困難，應該轉 換到加法計算，但仍進行減法計算。研究結果指出 MLD-only 和 MLD-RD 學生，在多位數計算 的錯誤型態上沒有明顯差異，其中數學事實提取錯誤和 MLD 有關，和 RD 無關；RD 學生，不 管是否合併 MLD，則會犯較多的視覺-空間錯誤的類型，此現象和研究的預期不一致（Raghubar, et al., 2009）。
三、數學文字題解題能力的發展
數學文字題的解題能力牽涉到相當複雜的認知能力，根據 Mayer（1985）的觀點，數學文字 題的解題歷程包括四個階段，分別為問題轉譯（ problem translation）、問題整合（problem integration）、解題計畫（solution planning）與解題執行（solution execution）等，而且每個歷程 底下都牽涉到特定的知識和技巧與之對應。問題轉譯是指解題者發現一些關鍵語句並將它們轉 譯成此文字題的內在表徵，此階段牽涉了基本語言和生活經驗的事實知識，透過這些知識在文 字題內選出與解題可能有關的數字，此稱為數字選擇技巧；問題整合是指解題者能以符合邏輯 的方式，整合前一階段所形成的數個內在表徵或基模，此階段涉及了基模知識，透過基模知識 的整合加以判斷算式符號，此稱為決定算式符號的技巧；解題計畫是指解題者能利用策略知識 擬定解題方案，此時需要運用選定數字並做出解題步驟及其順序的技巧；解題執行是指解題者 能運用算則知識，執行每個步驟所列出算式的計算，此稱為完成計算的技巧（Mayer, 1985）。此 外，數學文字題的難度與複雜度會隨著解題步驟、運算符號及無關訊息的增加而提高（Powell, 2011）。
Fuchs 與 Fuchs（2002）將數學文字題利用總字數、總句數、平均每句字數、動詞數、出現 的數字大小及個數、解題需要的步驟量（一步驟到三步驟）以及是否出現不相關數字等向度，
列出三種難度的文字題，分別為算術故事題（arithmetic story problem）、複雜故事題（complex story problem）和真實情境題（real-world problem solving）。算術故事題只需一步驟解題，只出 現 2 個數字，且加法總和或被減數在 9 以下；複雜故事題則需 1-3 步驟解題，出現 2 個數字以 上（但不出現無關數字），數字大小則包括 1 位數和 2 位數；真實情境題則是 2 步驟以上的解 題，出現 3 個數字以上，包括與解題無關的數字，數字為多位數。這三種難度文字題的總字數、
總句數和平均每句字數、出現的動詞數等，彼此之間均有顯著差異。研究者利用這三種難度的 文字題，以國小四年級 MLD-only、MLD-RD 和一般發展的學童為對象進行研究，結果發現 MLD 學生，不管是否合併 RD，在三種難度的文字題，其列式正確性與計算正確性均顯著低於一般學 生的表現，就 MLD 不同亞型的比較而言，在算術故事題方面，MLD-only 和 MLD-RD 學生的列 式正確性和計算正確性的表現無顯著差異，但是在複雜故事題和真實情境題方面，MLD-only 學 生的列式正確性顯著高於 MLD-RD 學生，至於計算正確性方面則無顯著差異。
Kingsdorf 與 Krawec（2014）以 Mayer 的模式為基礎，建立了 4 種文字題解題的錯誤類型分 析，包括數字選擇錯誤（number selection error）、運算符號錯誤（operation error）、缺漏步驟錯 誤（missing step error）和計算結果錯誤（computation error）等，該研究以國中七、八年級的學 習障礙（未進一步細分學習障礙的亞型）和同齡的一般發展學生為對象進行分析，結果顯示學 習障礙學生產生數字選擇錯誤和運算符號錯誤的比例顯著高於一般發展學生，而產生計算結果
錯誤的比例則是邊緣顯著高於一般發展學生（Kingsdorf & Krawec, 2014）。
基於上述計算能力與文字題解題能力發展的文獻，而且研究 MLD 學生的表現時是分開探 討，有些文獻也並未針對 MLD 的亞型進一步討論，因此，研究 MLD 是否合併 RD 之不同亞型 在計算能力的差異時，宜整合個位數、多位數計算能力及其相對應的文字題解題能力之向度，
進行完整的分析，如此才能對 MLD 不同亞型學生之計算能力有全面性的瞭解。本研究擬蒐集個 案在標準化個位數計算、多位數計算及相對應的文字題解題之測驗表現，以及利用答題過程中，
學生計算策略的觀察與訪談及錯誤類型分析等質性資料，據以推論其數學事實提取、多位數計 算和文字題解題能力的發展，經由上述整合量化與質性資料的分析方式，探討他們在經過小學 補救教學後至國中階段，計算能力的表現特徵及彼此之間的差異。據此，本研究針對計算能力 提出整體性的分析架構，包括個位數計算能力（含基本和複雜題型）、多位數計算能力（含基本 和複雜題型）、及其相對應的文字題解題能力，如圖 1 所示，相關細節於研究方法章節詳述。
圖 1 本研究之計算能力分析架構圖