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並且假設m個類別放款的誤差各自為常態分配:
εit ∼ i.i.d. N (0, ωii) i = 1, 2, . . . , m. (39) 最後假設違約機率模型的誤差項 ηt 和總體因子模型各期的誤差項 εt−j 之間彼此獨立: Cov(ηt, εt−j) = 0 i = 0, 1, 2, . . . (40) 式(40)代表違約機率模型的隨機衝擊和總體因子模型的隨機衝擊無關,違約機率模型的 隨機衝擊, 完全來自於非系統性風險。 式(38)和式(40)的假設目的, 在於認定不同類別 放款的違約相關性, 是完全受到總體因子的影響, 彼此之間, 並不直接互相影響。
3.3 違約迴歸模型的分配
給定式(37)的常態分配假設,我們可以計算式(35)的條件期望值及條件變異數共變異數 矩陣:
¯
xt≡ E(xt|xt−1, xt−2, . . .) = Et−1(xt) =
J2
X
j=1
Ajxt−j+ A◦x◦, (41)
Σ ≡ Vart−1(xt) = Var(ηt), (42) 因此, 我們可以得到總體因子的條件常態分配:
xt|xt−1, xt−2, . . . ∼ i.i.d. N(k)( ¯xt, Σ), (43) 由式(41)及式(42)的結果,在給定式(36)的常態分配假設下,可以計算出式(34)的條件 期望值及條件變異數矩陣:
µt≡ E(qt|xt−1, xt−2, . . .) = Et−1(qt) = B ¯xt+
J1
X
j=1
Bjxt−j + B◦x◦, (44)
V ≡ Vart−1(qt) = BΣB′ + Ω, (45) 所以可以得到組合違約率的條件分配, 我們假設:
qt|xt−1, xt−2, . . . ∼ i.i.d. N(m)(µt, V ). (46) 3.4 給定部份因子的違約迴歸模型及其分配
為了進行壓力測試, 必須建立新的模型, 本文稱這個模型為給定部份因子的違約迴歸模 型。 也就是事先給定一部份總體因子的數值, 然後透過條件常態分配的假設, 求得未給
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qt 的條件變異數共變異數矩陣為:
V∗ ≡ Vart−1(qt|x2t) = B(1)Σ∗11B(1)′ + Ω, (55) 所以 qt 的條件分配為:
qt|x2t, xt−1, xt−2, . . . ∼ i.i.d. N(m)(µ∗t, V∗). (56) 3.5 損失分配的模擬
建立好違約迴歸模型, 估計出 B 、 Bj 、 B◦ 、 Ω 、 Aj 、 A◦ 及 Σ 並且對Ω 及 Σ 進 行Cholesky 分解並且得到 Cx 及Cq 之後, 便可以進行模擬的步驟:
第一步: 透過標準化常態分配, 抽取 k 個標準化常態變數wi(s), 形成 w(s) 向量。
第二步: 模擬未來一期的總體因子變量 x(s)T+1 =
J2
X
j=0
AjxT−j+ A◦x◦+ Cxw(s). (57)
第三步: 透過標準化常態分配, 抽取m個標準化常態變數vi(s), 形成 v(s) 向量。
第四步: 使用模擬的 x(s)T+1 及 v(s) 模擬未來一期的 q(s)T+1
qT(s)+1 = Bx(s)T+1+
J1
X
j=0
BjxT−j+ B◦x◦+ Cqv(s). (58)
第五步: 重覆第一步到第四步, 利用模擬的x(s)T+1、x(s)T+2、x(s)T+3及x(s)T+4, 模擬未來四期的 qT(s)+1、 q(s)T+2、 qT(s)+3、qT(s)+4 。
第六步: 利用下面的公式, 把qT(s)+1、 q(s)T+2、 qT(s)+3、 qT(s)+4還原回違約機率。
p(s)iT+n= eq(s)iT+n
1 + eq(s)iT+n n = 1 . . . 4, i = 1 . . . m. (59) 第七步: 由於是季違約機率, 所以必須轉換成年違約機率, 計算未來一年可能的損失,
年違約機率就是假設1減掉未來四季都不違約的機率:
p(s)i,T◦ = 1 − (1 − p(s)iT+1)(1 − p(s)iT+2)(1 − p(s)iT+3)(1 − p(s)iT+4). (60)
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第八步: 為每個類別的曝險抽取NiT◦ 個獨立的標準均勻分配 u(s)ihT
◦, 並且利用下式, 決定每個曝險的違約狀態:
d(s)ihT
◦ = 1(u(s)ihT
◦ < pi,T◦) i = 1 . . . m, h = 1 . . . NiT◦. (61) 第九步: 計算未來一年可能產生的損失
L(s)T◦ =
m
X
i=1 Nit
X
h=1
d(s)ihT◦× LADihT◦. (62)
第一步到第九步當中, 每個變數的上標(s)代表模擬的次數, 只要重覆模擬 S 回,並且以 模擬得到的L(s)T , 畫成的直方圖, 就是損失分配。 並且可以求得預期損失、 風險值及預期 短缺。
3.6 壓力測試的損失分配模擬
壓力測試的模擬,主要是針對一些系統風險因子,設定特定的 「逆境值」,本論文設定 「逆 境值」(downturn value) 的方法, 在實證結果的時候將會介紹. 本小節將會注重在如何 利用給定部份總體風險因子的模型, 進行損失分配的模擬。
壓力測試的損失分配模擬和3.5節的損失分配模擬,最大的差異在於總體因子的估計 及模擬。首先必須先給定逆境值x¯2,T +1、x¯2,T +2、x¯2,T +3、x¯2,T +4。 並且對式(52)的Σ∗11 進行 Cholesky 分解, 得到 Cx∗ , 並且進行以下的模擬:
第一步: 透過標準化常態分配, 抽取 k 個標準化常態變數 u(s)i ,形成 u(s) 向量。
第二步: 模擬未來一期的總體因子變量 x(s)1,T +1 =Σ12Σ−122x¯2,T +1+
J2
X
j=0
(A1j − Σ12Σ−122A2j)xT −j (63)
+ (A1◦− Σ12Σ−122A2◦)x◦ + C∗u(s)i . (64)
第三步: 重覆第一步及第二步, 模擬出未來四期的 x(s)1,T +1、 x(s)1,T +2、 x(s)1,T +3及x(s)1,T +4 。 模擬出未來四期的總體因子之後, 剩下的模擬步驟便和上一節損失分配的模擬方式一樣, 就可以模擬出損失分配。
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重點抽樣(Importance Sampling)的模擬技巧,基本的概念是將模擬的重點由損失分配 的期望值,移轉到損失分配的尾端。 也就是利用 「偏移密度函數」(tilted density) f(t)(L)‧
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第五步: 重覆第三步到第四步 Z 次,並且把計算出來的 L(z)(t∗) 代入式(83) , 計算出 相對應 P (L(s) ≥ ξ) , i = 1, 2, . . . , m.
第六步: 仿照第二步到第五步的方法,利用80、84及85各式, 計算出P (L(s)(i) ≥ ξ−ζi)。 第七步: 重覆第一步到第六步, 計算出S 個 P (L(s) ≥ ξ) 及P (L(s)(i) ≥ ξ−ζi) 代入
式(83)就可以計算出每筆放款的風險貢獻。
4 實證與模擬結果
4.1 資料來源及說明
本論文使用的銀行違約資料來自於中央銀行, 總共有十家公股銀行的放款違約資料。 每 家銀行的資料,大致可以分為九種,其中四種為消費金融的房貸、 信用卡、 有擔及無擔放 款, 剩下五種為企業金融的營建業、 電子業、 製造業、 批發零售業及服務業放款,本論文 稱這些放款為產品。 由於每一家銀行企金的違約筆數並不多,造成模型的配適度並不好, 因此本論文把這十家公股銀行的違約資料, 以產品類別進行合併, 並且以合併後的資料 進行分析。 也就是說假設公股銀行整體是一家大銀行,然後具有九種放款產品。
公股銀行的放款資料包含違約率及曝險額, 但是並不包含違約損失率資料。 曝險額 只有2010年第二季的資料,違約資料的時間頻率為季資料,消金產品和企金產品違約資 料的時間長度並不相同, 詳細的內容如表1。
產品 資料起點 資料終點 資料筆數
房貸 1996Q1 2010Q2 58
信用卡 2001Q1 2010Q2 38
有擔 2001Q2 2010Q2 37
無擔 1996Q1 2010Q2 58
營建業 2002Q3 2010Q2 32
電子業 2002Q3 2010Q2 32
製造業 2002Q3 2010Q2 32
批發零售業 2002Q3 2010Q2 32
服務業 2002Q3 2010Q2 32
表 1: 違約資料時長間度
違約損失率的設定, 本論文則使用鍾經樊 (2010)的方法, 把違約損失率假設為一常 數, 設定的依據乃是以新巴塞爾協定內部評等法的規定。 違約損失率的設定如表2。
由於曝險額的資料只有2010年第二季的資料, 所以我們在模擬公股銀行未來一年的 損失分配時,必須假設未來一年的曝險額和2003年第三季的曝險額是相同的, 並且假設
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產業 違約損失率
房貸 0.25
信用卡 0.85
有擔 0.45
無擔 0.85
營建業 0.45
電子業 0.45
製造業 0.45
批發零售業 0.45
服務業 0.45
表 2: 違約損失率
曝險額是一個固定常數,從央行取得的公股銀行曝險資料,是原始資料二十筆為一組,總 共有485,285筆,但是由於資料筆數還是太多, 進行分析並不同易, 因此本論文再把曝險 資料從小排到大,每十筆為一組, 進行合併,最後的資料筆數為48,533筆,對於公股銀行 九種產品曝險額的統計如表3。
產業 資料筆數 原始曝險筆數 曝險總額 平均曝險額
房貸 8,809 880,860 3,229,572,623 3,666
信用卡 3,598 359,760 14,783,959 41
有擔 5,249 524,810 478,338,386 911
無擔 8,661 866,050 294,552,225 340
營建業 1,761 176,060 600,597,114 3,411
電子業 1,480 147,930 810,314,816 5,478
製造業 9,261 926,100 1,559,224,533 1,684
批發零售業 8,505 850,470 622,767,592 732
服務業 1,209 120,810 836,560,489 6,925
單位:千元 表 3: 曝險額基本統計
表3的資料筆數是本論文用來模擬的筆數, 原始曝險筆數, 則是把資料還原為實際的 放款筆數,以用來計算實際的平均曝險額。 由表3可以觀察到,曝險筆數最多的前幾類是 製造業、 房貸、 無擔及批發零售業。 曝險總額最多的前幾類是房貸、 製造業、 服務業及電 子業。 平均曝險額最高的幾類則是服務業、 電子業、 房貸及營建業。 由實際的資料, 可以 知道除了房貸之外, 消金其它產品的特色在於曝險筆數多, 而單筆曝險金額小。 房貸則 是曝險筆數多, 單筆曝險金額大。 企金除了製造業和批發零售業外,其它產品的特色, 在 於曝險筆數少, 單筆曝險金額大。 如果由集中度來看, 消金除了房貸之外, 集中度都小於
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企金, 而曝險集中度的大小, 將會影響到之後損失分配模擬的結果, 違約機率相差不多, 曝險額集中度愈高的產品, 可能會有較高的經濟資本。
4.2 違約率基本統計分析
產品 平均違約率 違約率標準差 最小違約率 最大違約率
房貸 0.0302 0.0151 0.0089 0.0638
信用卡 0.0188 0.0146 0.0015 0.0434
有擔 0.0123 0.0079 0.0008 0.0287
無擔 0.0379 0.0228 0.0138 0.1008
營建業 0.0019 0.0016 0.0002 0.0073
電子業 0.0019 0.0013 0.0001 0.0049
製造業 0.0016 0.0009 0.0004 0.0036
批發零售業 0.0012 0.0007 0.0004 0.0036
服務業 0.0014 0.0015 0.0002 0.0067
表 4: 違約率基本統計
歷史違約率的基本統計分析, 可以瞭解銀行各個產品違約率概況並且和之後的模擬 做比較,但是需要注意的是,房貸和無擔違約資料的時間長度較長,違約資訊較其它產品 豐富。 由表4可以觀察到消金產品的歷史平均違約率, 比企金產品的歷史平均違約率還 要高。 如果對消金產品的平均違約率做排序,由小到大分別為無擔、 房貸、 有擔、 信用卡; 對企金產品的平均違約率做排序,由小到大,分別為批發零售業、 服務業、 製造業、 電子 業及營建業。 由最小違約率及最大違約率, 可以觀察到企金產品的違約率比消金產品的 違約率低, 都在千分之幾到萬分之幾間變動。 而消金產品的違約率比較高, 則在千分之 幾到百分之幾間變動。
由於我們認為景氣和違約率有很大的關係, 如果透過違約率和景氣指標的時間序列 圖,可以觀察到更多的現像。 我們先來分析台灣的經濟成長率,圖2是過去二十年來台灣 每季的經濟成長率, 從1990年到2000年, 這二十世紀最後的十年, 台灣即使面對1996 年的台海危機,1997年的亞洲金融風暴, 經濟仍然是屹立不搖的正成長。 但是在進入二 十一世紀後的十年, 台灣總共發生三次戰後50年來最嚴重的衰退, 經濟成長率呈現負成 長, 我們以陰影標誌在圖2上。 第一次的衰退發生在2001年第一季到2002年第一季, 是 受到全球景氣放緩、 美國市場需求衰退、 九一一事件、 台灣政治及兩岸關係不穩定的影 響。 第二次的衰退發生在2003年第二季,則是受到SARS事件的影響。 第三次的衰退發 生在2008年第三季到2009年第三季,主要受到美國發生次貸風暴的影響。
第一次的衰退還有第三次的衰退,時間長達一年多,對於台灣的影響很大、 表5是在這 兩個時期各總體指標的最壞數值。 觀察這些指標,利率水準在第一次經濟衰退時為4.75%
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圖 2: 經濟成長率
、 第三次經濟衰退時為1.25%, 兩次衰退利率水準並不相同。 房地產同時指標綜合指數, 在第一次經濟衰退時為-12.87%、 第三次經濟衰退時為-2.05%, 這說明第三次經濟衰退, 對於房地產影響較小。 兩次經濟衰退的經濟指標數值, 除了利率水準和房地產相關的指 標外, 第三次經濟衰退都比第一次經濟衰退的經濟指標數值差。
觀察完景氣的變化之後,我們現在分析公股銀行九種產品違約率的時間序列圖,並且 說明和經濟景氣的關係。 由於版面的關係, 所以把九種產品違約率的時間序列圖放在附 錄之中,請參照附錄A 圖5, 陰影的部份是代表景氣嚴重衰退。 這九種產品當中,消金的
觀察完景氣的變化之後,我們現在分析公股銀行九種產品違約率的時間序列圖,並且 說明和經濟景氣的關係。 由於版面的關係, 所以把九種產品違約率的時間序列圖放在附 錄之中,請參照附錄A 圖5, 陰影的部份是代表景氣嚴重衰退。 這九種產品當中,消金的