第四章 研究方法
第二節 隨機邊界法
Aigner et al.（1977）及 Meeusen and van den Broeck（1977）分別提出隨機邊界生產 函數，認為各別廠商在生產過程中，尚有本身無法控制的隨機干擾項，所以衡量生產差 異的誤差項來自兩個部分，一為對稱性隨機干擾項
v ，另一項則為衡量無效率項i
u 的i 非負隨機變數。其 Cobb-Douglas 隨機邊界生產函數假設下之計量型式如下：
同之假設；如 Aigner et al.（1977）假設u 為半常態分配（half-normal distribution）i ，然 而，Meeusen and van den Broeck（1977）假設為指數分配（exponential distribution）。Stevenson（1980）指出不論是半常態分配或指數分配，在某些條件下，可將分配一般化 為截斷性常態分配（truncated normal distribution）或 Gamma 分配。在設定的u 與i v 機i 率分配後，並假設u 與i v 互為獨立，利用最大概似估計法估計生產邊界，據以取得之i MLE 將能滿足漸近有效性及漸近常態等統計性質，並可計算廠商之技術效率值。
此外，確定產出邊界，在加入v 後，實際產出值即受外在不可控制之隨機干擾項所i 影響，而產生不確定邊界情形，稱為隨機邊界生產函數（stochastic frontier production function），以圖 4-2 加以說明之。其中橫軸為投入要素，縱軸為產出水準。圖 4-2 中
無效率
uB ，但因隨機干擾項
vB 0
使 B 廠的技術無效率被低估。換言之，若未考量Jondrow et al.(1982)首先將 Rao-Blackwell 定理應用於隨機邊界模型中，應用條件期 望值E u v
i| i 的概念，計算個別廠商之技術效率值ui
免有些缺失，隨後 Pitt and Lee（1981）及 Schmidt and Sickles（1984）則應用追蹤資料（ panel data ） 來 估 計 廠 商 之 技 術 效 率 ， 並 假 設 效 率 不 隨 時 間 變 動 而 改 變
（time-invariant）。Kumbhakar（1990）與 Battese and Coelli（1992, 1995）則考量技術無 效率會隨時間經過而改變（time-varying）之模型。
近來學者在估算隨機邊界生產函數的同時，亦著手將造成廠商技術無效率的外生因 素加以考量，如 Pitt and Lee（1981）等學者在早期便使用兩階段估計方式（two-stage analysis）來估計效率分析。第一階段為估計隨機邊界生產函數與技術無效率效果；假 設技術無效率為獨立且相同的分配。第二階段再以迴歸模型估計外生解釋變數對技術無 效率之影響；假設技術無效率受廠商特性或其他因素所影響，即技術無效率不滿足相同 分配的假設。因此，兩階段估計法在技術無效率變數 ( )u 的假設上產生不一致現象。i Wang and Schmidt（2002）指出兩階段估計法在第一階段與第二階段皆存在嚴重的偏誤。
Huang and Lin（1994）與 Battese and Coelli（1995）則以一階段方式（single-stage approach）
「同時」聯立估計隨機邊界模型與技術無效率模型，來修正兩階段估計法所產生的缺失。
本研究採用 Battese and Coelli（1995）之隨機生產邊界模型，一階段同時估計生產 邊界模型及無效率模型中之參數，隨機生產邊界函數模型如下：
保unt 。技術效率則使用Battese and Coelli（1988）由最大概似估計法同時估計隨機0
邊界生產函數與技術無效率所得之條件期望值
exp | 4.5
nt nt nt nt
TE E u v u
來估計區域內城市之技術效率值。