集合涵蓋相關解法文獻探討

根據Cordeau et al (2002)中，比較各啟發式解法，訂定出四項好的啟發式解法 具備的特性，分別為精確(Accuracy)、速度(Speed)、簡單性(Simplicity)與彈性 (Flexibility)。比起傳統啟發式解法，巨集式啟發式解法在搜尋與解題空間較為透徹 完整，可獲得較品質較佳的解，卻也同時增加了演算所需時間；傳統啟發式解法在 精確與彈性方面的表現也許不佳，但其中的代表性方法Clarke & Wright 節省法具有 快速且容易執行的優點。

基於上述分析，本研究選用另一折衷方式，結合精確解解法及啟發式解法等兩 種基本求解方法，發展以數學規劃為基礎的啟發式解法(MP-based heuristic)。此類方 法與傳統啟發式解法僅考量特定技巧的角度不相同，其係以集合涵蓋模式為基礎，

具備求出最佳解的原始架構。而且，使用集合涵蓋演算法所產生的解，已隱含符合 每個限制式的要求，其彈性和實用性在應用上具有一定優勢。

早期將車輛路線問題轉換為集合分割問題求解的研究如Agarwal et al.(1989)，

採用變數產生法(Column Generation, CG)或稱為 Dantzig-Wolfe Decomposition，達到 線性放鬆的目的，主要是利用線性規劃中的對偶理論(Dual Theory)來產生變數 (column)，以避免浪費不必要的時間去窮舉不可行或對於求解問題沒有貢獻的變 數。使用變數產生法求解集合涵蓋問題時，通常將求解過程分為主問題與子問題兩 部份。主問題為原VRP 轉換成 SCP 模式之後，再放鬆整數限制，如：

ℜ

若針對限制式(2.18)定義之對偶變數(dual variables) π ，則可獲得此問題之對偶 問題(dual problem)為：

0

根據簡捷法(Simplex Method)之對偶可行性(dual feasibility)可知：針對尚未考慮 到的變數(remaining columns)a_ir(i=1,L,N), r∈R，若是可以從設計的子問題中發 現最小的減少成本(the least reduced cost)，即 ( )

∑

於難以求得 f(y)，Agawal 等人再以線性方程式 f(y)=p⋅y近似代換之，其中p 為 )

, , 1 (i N

p_i = L 所形成的向量，p 是對應顧客 i 成本的線性估計值，進一步將子問題_i 轉變成為背包問題(Knapsack Problem)，再以分支定限法(branch-and-bound)求解，得

*

* y=

air 。以此程序逐步改善原有問題的解，直到子問題無法再產生新的 column 為止。若放鬆整數限制後所得到的最佳解為整數解，即為原集合涵蓋問題的最佳解，

若不為整數解，則採用分支定限法繼續求解以獲得整數解。

採用變數產生法的主要優點在於求解過程中，單次運算只考慮部份的變數，並 利用主、子問題間的訊息傳遞，逐步得到最佳解。如此可以避免去處理極大多數不 可能包含於最佳解的不良路線，也因此不至於因變數過多無法求解或者效率太差。

另外，其中值得注意的是，由於Agarwal等人在文中也指出，任何一組SPP的可 行解為同問題之SCP的可行解，任何一組SPP的最佳解也為同問題之SCP的最佳解。

由於限制式不同的關係，求解SCP比求解SPP來的容易，兩者差別在於，SCP的可行 解相對於SPP問題，可能有顧客點被涵蓋在一個以上的路徑內。解決的方式，可以 透過刪除SCP中重覆涵蓋的顧客得到成本較低的SPP可行解，也因此大多數研究並未 採取SPP的模式。

雖然 CG 解決了須以窮舉出所有求解集合來求解問題的缺點，求解品質亦佳，

但也導致相對複雜的求解過程，尤其子問題(如式(2.22)至式(2.24))通常求解並不容 易。另外，求得SCP 放鬆整數限制後的解通常也是不可行的分數解，之後還是必須 依賴Branch-and-Bound 求解，特別是針對較大規模問題時依然得花長時間求解，顯 得較無效率。

為縮短求解時間，後續研究也漸漸地也發展出集合涵蓋模式相關的啟發式解 法，如Kelly and Xu(1999)。其建立ㄧ個以集合分割問題(SPP)為基礎的VRP啟發式求 解程序，此研究分為兩階段，第一階段利用簡單的途程建構與改善法產生解，透過 這般簡易的區域式搜尋與改善法所組成的啟發式解法可與其他較複雜的巨集式啟發 式解法所製造出的解，品質抗衡；第二階段接著使用集合分割啟發式解法辨認出上 一階段所產生的較佳路線並組成新的解。

另外，為發展一適宜作業需求之啟發式解法，吳泰億(2006)亦選擇將車輛路線 問題轉以集合涵蓋問題(SCP)型式描述。有關SCP問題的求解，目前一般的啟發式解 法，普遍可獲得品質不錯的上限值，下限值則通常是藉由放鬆限制式求解而來。文 獻中常使用分支定限法(Branch and Bound)求解放鬆集合涵蓋模式之整數限制後的 整數規劃問題，如Balas and Carrera(1996)；或是使用拉格蘭式放鬆法(Lagrangian Relaxation)，可行解集合依舊保有二元變數的可行解性質，但有其他限制式被放鬆 並移至目標式，再利用次梯度最佳化法(Sub-gradient Optimization)逐步修正拉氏乘數 並逼近問題最佳解，如Beasley(1990)及Caprara et al.(1999)。因此，吳泰億(2006)參 考Beasley(1990)及Caprara et al.(1999)的求解方式，結合變數產生法之觀念，設計一 啟發式演算法。求解過程中只產生「部分車輛路線」作為解題空間，再於遞迴運算 中將解題空間內的車輛路線進行調整，使得挑出的車輛路線逐步逼近最佳解。並以 保留少數車輛路線做為調整解題空間的方式，大幅降低運算負荷，有效縮短找尋近

似最佳解所需時間，為本研究在解題方式上最主要的參考依據。