精確解演算法

subject to min al.(1983)、Bodin(1990)、Fisher(1995)及 Berman & Das(2005)，亦可參考增進對 VRP 問題的全面了解。此外，由於本研究計畫發展的演算法與集合涵蓋問題(Set Covering Problem, SCP)有密切關係，SCP 相關文獻之回顧於 2.2 節說明。最後，有關整合自 有車隊與委外貨運服務之相關文獻，則於2.3 節加以說明。

2.1 車輛路線問題求解方式

根據Toth & Vigo(2001)所編訂的”The Vehicle Routing”一書中提到，若按照解法分 類，可分為：一、精確解演算法與二、啟發式解法。

2.1.1 精確解演算法

1. 分支定限法(Branch-and-Bound Algorithms)

分支定限法公認為可處理各式最佳化問題的演算法，尤其是離散(discrete)及組 合最佳化問題。於1960 年，由 A. H. Land 與 A. G. Doig 將離散問題放鬆視為線性規 劃問題，利用線性規劃的解題技巧處理離散問題進行計算，再透過不斷分支、定限、

檢查可行性、確認獲得更好的解，最後比較所有分支末端的解，找出最佳解。

顧名思義，分支定限法，即是由分支及定限兩個部份所組成。分支就是將可行 解區域改由許多較小的可行解區域涵蓋組成，由於此步驟將不斷遞迴、重複對各子 區域持續分割，不斷產生更小的區域，導致的所有子區域間的關係自然地形成如樹 枝狀的結構；定限則是指在子可行解區域內快速地找出上限與下限。各分支的節點 分別代表新建立的子區域。

運算的效率取決於使用的分支與定限的計算是否有效；過程中，壞的選擇將導 致重複的分支，沒有任何修剪，直到子區域變得非常小，在這樣對主區域拆解為詳 盡列舉的情況下，是不符實際需求的。至今尚無適用所有問題的定限方式，因此一 般不同範例皆需要個別量身訂作合適的分支定限運算法。

大家都知道CVRP 為 TSP 的延伸問題，換句話說 TSP 是 CVRP 問題的最簡化 型態，因此CVRP 精確解求解方式大多承襲 TSP 使用的解法，直到 1980 年代末期，

分支定限法始終扮演著最有效率的CVRP 精確解解法。Laporte and Nobert(1987)探 討了所有車輛路線問題精確解解法，也對分支定限法做出完整且詳細的分析，近來，

仍有許多較為複雜的定限方式被提出，如有些是根據拉式鬆弛原理，實質上擴大了 分支定限法可求解的問題規模。

2. 分支切面法(Branch-and-Cut Algorithms)

分支切面法為一以線性規劃為基礎(LP-based)的分支定限技術，用來解決混合整 數線性規劃(Mixed Integer Linear Programming)組合最佳化問題，也就是問題中的某 些或所有未知數被限制為必須是整數的線性規劃問題，此法為分支定限法與切面法 (Cutting Plane Method)的結合。

求解時起初忽略整數限制的約束，使用一般的簡解法(Simplex Method)解決線性 規劃問題。當獲得一最佳解，若有應為整數解的值在此解中為非整數值，則使用切 面法找出新的線性限制式，該限制符合當前解中可行的整數值解，但違反當前解中 不可行的非整數值解，求解新加入不等式限制式的線性規劃問題將有希望產生「較 完整」的最佳解，此過程將持續重複直到找到最佳整數解或沒有其他切面被發現為 止。

同時，算法中分支與定限的部份開始運作，選擇當前解中非整數值變數，將問 題劃分成二個版本，一個是加上額外限制式，訂定變數的上界，使變數小於或等於 當前解無條件進位的整數值；另一個則是增加一限制式，制定變數的下界，讓變數 大於或等於當前解無條件捨去的整數值。也就是該變數未來的解將會被規範於當前 解無條件進位與無條件捨去的整數值之中，再使用簡解法對加入新限制式的新線性 規劃問題求解，過程重複直到找到滿足所有整數限制的解。在分支和定限的過程中，

能分割出更進一步的切面，也許是全域的切面，符合所有可行的整數解；或是局部

的切面，使求解滿足當前所考慮的分支中附加的限制式。

分支切面與分支定限主要的不同在於，前者在所有的分支搜尋過程中切面與變 數動態產生，可適用大規模問題的求解。分支切面是分支定限的應用，分支定限代 表在建構搜尋樹的過程中使用線性規劃產生有效的邊界限制，切面的功效為強化線 性規劃放鬆並用以定限，使得比單一使用分支定限法來的更強大。

3. 集合涵蓋演算法(Set-Covering-Based Algorithms)

包含集合分割(Set Partitioning)與集合涵蓋(Set Covering)，Balinski與Quandt(1964) 首度將CVRP轉化為集合涵蓋問題與集合分割問題形式求解。 customer f

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1. 傳統啟發式解法(Classical Heuristics) 其中又區分為：

(1) 途程建構法(Constructive Methods):

使用的主要技巧為:根據節省值準則合併既有路線與依照插入成本逐一將節點指 派至車輛路線中，著名的節省法(Clarke and Wright Savings Algorithm)即屬此類。

(2) 二階段法(Two-Phase Methods)

包含先排程再分群(route-first, cluster-second)與先分群再安排路線(cluster-first, route-second)的演算方式，三種先分群再安排路線的方式中，最簡單的為基礎分群 法(elementary clustering methods)，執行一次節點分群後，指派各車輛至各群組，

掃 描 法(Sweep Algorithm) 為 其 代 表 ； 第 二 種 為 簡 化 版 分 支 定 限 法 (truncated branch-and-bound)，可產生一組良好的車輛路線集合；最後一種為花瓣法(petal