第二章 文獻回顧與理論基礎
第三節 電離層誤差與計算
二、 各項參數計算
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圖 2- 6 當地地磁系統 (Marques et al., 2011) (三) 電離層三階項誤差
電離層三階項誤差𝐼𝐼3之方程式如下（Odijk, 2002）：
𝐼𝐼3 = 3𝑒𝑒2
8𝑓𝑓𝐿𝐿𝑖𝑖4η𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 (m) (2. 11)
三階電離層誤差與二階項誤差非常相似，因為兩者計算方式皆與 TEC 有關 (Hartmann and Leitinger, 1984) ， 式 中 ，𝐿𝐿𝑖𝑖 為 載 波 ； 𝑓𝑓𝐿𝐿𝑖𝑖為 載 波 頻 率 ； A ≅ 80.6𝑚𝑚3/𝑐𝑐2；η為常數 0.66；𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚為最大電子密度；TEC為總電子含量；
有關𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚的計算將於以下各項參數計算中說明。
二、 各項參數計算
1. 地球磁場模型
為了計算二階項電離層誤差，有兩類地球磁場模型可以計算內積𝐵𝐵𝑡𝑡𝐽𝐽 (Marques et al., 2011)：
(1) 偶極模型：地球磁場的軸線與的表面相交的點，分別為地磁南極(約在 79°S 110°E)、地磁北極(約在 79°N 110°W)(McNamara, 1991)，然而其 位置會隨時間變化。地球內部磁場，可由不同電離層高度的地心偶極 估計，地面接收儀和衛星坐標必須先轉換到地磁坐標系統，然後轉換
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成當地地磁系統(Davies, 1990).，一般來說，偶極模型的精度約為 75％ ， 與真實地球磁場是有所落差的(Bassiri and Hajj, 1993)。
(2) 更真實的地球磁場模型：IGRF 模型是由一組全球球諧函數組成，可以 更準確的表示地球磁場，用於計算特定地理位置的地磁向量 B，本研 究選擇以此模型計算二階項電離層誤差，目前最新的 IGRF 模型為 IGRF12 (Marques et al., 2011)。
Marques 等人利用偶極模型與 IGRF11 模型，計算電離層誤差並比較其 成果差異，研究顯示由兩模型計算的結果差異可達 50% (Marques et al., 2011)。由於偶極模型的精度不高，而 IGRF 則會定期進行參數更新，因此，
為了計算更精確的二階項電離層誤差，本研究使用更接近真實情況的地球
磁場模型 IGRF 12。
2. 總電子含量（TEC）計算
RINEX_HO 程式提供三種計算電離層總電子含量的方法，單位為 TECU，1 TECU = 1016𝑁𝑁𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐𝑡𝑡𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐/𝑚𝑚2 (Marques et al., 2011)：
(1) 由原始虛擬距離觀測量𝑃𝑃𝐿𝐿𝑖𝑖計算
TEC = 𝑓𝑓𝐿𝐿12𝑓𝑓𝐿𝐿22
40.3(𝑓𝑓𝐿𝐿22 − 𝑓𝑓𝐿𝐿12)[𝑃𝑃𝐿𝐿1− 𝑃𝑃𝐿𝐿2− 𝑐𝑐(𝐷𝐷𝑇𝑇𝐵𝐵𝑡𝑡+ 𝐷𝐷𝑇𝑇𝐵𝐵𝑠𝑠)
+ 𝜀𝜀𝐿𝐿1𝐿𝐿2] (2. 12)
式中，𝑓𝑓𝐿𝐿1、𝑓𝑓𝐿𝐿2分別為𝐿𝐿1載波頻率與𝐿𝐿2載波頻率；𝑃𝑃𝐿𝐿1、𝑃𝑃𝐿𝐿2分別為𝐿𝐿1/𝐿𝐿2 的虛擬距離觀測量；𝐷𝐷𝑇𝑇𝐵𝐵𝑡𝑡、𝐷𝐷𝑇𝑇𝐵𝐵𝑠𝑠分別為接收儀儀器差分延遲與衛星差 分延遲；𝑐𝑐為真空中的光速；𝜀𝜀𝐿𝐿1𝐿𝐿2為雜訊。
(2) 將平滑後的虛擬距離觀測量帶入(2.12)式計算。
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(3) 由全球電離層地圖（Global Ionosphere Maps，GIMs）取得
GIM 為 CODE（Center for Orbit Determination for Europe）歐洲定軌中 心所建立的全球電離層 VTEC 網格，其特色如下：
GIM 將全球經緯度按照經度5°×緯度2.5°的大小分割成網格，每個網格 點上的數值代表該位置的 VTEC（垂直 TEC，即天頂上的 TEC），然而 台灣幾乎皆位於同一網格內，解析度稍嫌不足，可能會無法呈現小區 域的劇烈變化，但由於區域電離層模型建立較為複雜，因此本研究暫 不考慮 GIM 解析度大小對於總電子含量估算結果之影響。
3. 最大電子密度
計算三階項電離層誤差時，須求得最大電子密度值(𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)，其公式如 下(Brunner and Gu, 1991)：
𝑁𝑁𝑒𝑒(ℎ) = 𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚exp[𝑐𝑐𝑖𝑖(1 − 𝑧𝑧 − 𝑁𝑁−𝑧𝑧)] (2. 13) z =ℎ − ℎ𝑚𝑚
𝑒𝑒𝑖𝑖 (2. 14)
𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚為電子密度最大值，𝑐𝑐𝑖𝑖為常數，𝑁𝑁為自然數，ℎ為電離層氣層高度(km)，
ℎ𝑚𝑚為出現電子密度最大值的高度(km)。超過此高度的𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑢𝑢𝑡𝑡，𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑢𝑢𝑡𝑡； 在此高度以下的𝑒𝑒𝑖𝑖 = 𝑒𝑒10，𝑐𝑐𝑖𝑖 = 𝑐𝑐10。關於𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚、ℎ𝑚𝑚、𝑒𝑒𝑢𝑢𝑡𝑡、𝑐𝑐𝑢𝑢𝑡𝑡、𝑒𝑒10、𝑐𝑐10六參 數的計算，Brunner 及 Gu 根據不同情況選擇不同的𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚（表 2-1）。
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𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚、TEC 值如表 2-2，以因應不同狀況(Brunner and Gu, 1991)。Fritsche
等人根據 Case 1、2，提出𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚之線性內插 TEC 函數(Fritsche et al., 2005)：
𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚−3) = (20 − 6) × 1012
(4.55 − 1.38) × 1018𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 (2. 15)
以式(2.15)計算得到電子密度最大值(𝑁𝑁𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)後，同估計之𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇值代入式 (2.11)計算電離層三階項誤差。