體積和容積

高年級數學領域中「體積和容積」的相關概念屬於數與量的範疇。雖然日常生活中 處處可見其概念的相關應用，但對於學生來說卻是比較抽象的概念。以下針對體積和容 積的概念以及體積和容積的教材地位分別加以闡述。

一、體積和容積的概念

教育部在 97 年公佈的國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要，將容量、

容積與體積均定義為空間大小的量。一般說來，體積代表實體佔有的空間，容量、

容積代表的是實體內可負載的量，其區別如下：

（一）體積：物體所佔空間的大小。

（二）容積：某一具有確定三度空間的周界內的空間大小，通常此空間有容納物質 可以隨時存取的功能。換言之，容積是指容器內部空間的大小，其概 念是體積概念。例如：冰箱內部的容積。

（三）液量：指容器內液體的量。如：水量。

（四）容量：指容器可裝載的最大液量。

學者 Linda、Margaret 和 Olwen（1984）認為體積包含四種不同層面的意義，如下 所示（引自於譚寧君，1996）：

（一）外體積（external volume）－不論物品內是實心或空心，僅透過視覺，知覺 到的物體所佔據的空間大小，即一般認定的體積概念。

（二）內體積（internal volume）－物體內部空間的大小，即是空心物體的內部容

積。

（三）排他性體積（displace volume）－透過排出的液量來表示物體的體積大小。

（四）液積與容量（liquid volume and capacity）－液體佔有的空間大小即是液積，

又稱作液量；容量則是容器可裝載的最大液量。

由以上所述，可知體積是代表「物體所佔空間的大小」，容積是「容器內部空間的 大小」，容量是「容器可盛的最大液量」。

二、體積和容積能力指標分析

在教育部九年一貫課程綱要中，數學學習領域將九年國民教育規劃成四個階段：第 一階段為國小 1 至 2 年級，第二階段為國小 3 至 4 年級，第三階段為國小 5 至 6 年級，

第四階段為國中 1 至 3 年級。另將數學學習內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、

「統計與機率」、「連結」等五大主題（教育部，2008a）。「體積與容積」的能力指 標規劃在「數與量」的主題中，學習內容則是從 2 年級開始學習，持續到 6 年級。皮亞 傑的認知發展理論提到兒童在 7 至 11 歲的認知發展正處於具體運思期，11 歲以上才慢 慢發展至形式運思期，國小高年級的學生剛好處於具體運思期過渡到形式運思期的階段，

對於抽象的概念並無法完全的適應與學習（張春興，2002）。國小高年級的數學課程漸 漸導入抽象概念，部份學生的認知發展仍留在具體運思期，無法轉換具體與抽象的概念，

因此學習產生障礙。「體積和容積」單元即是利用具體視覺化的平面面積引導學生學習 抽象立體的體積，因紙本無法呈現出其立體物品的特性，常常會使學生無法建構立體的 概念，因此「體積與容積」的學習概念顯得非常重要。本研究將教育部在 97 年頒布之 九年一貫課程綱要數學學習領域國小部份的能力指標中，與「體積與容積」相關的分年 細目條列出來，並分別歸納其核心概念如下表 2-1-1 及表 2-1-2 所示：

表 2-1-1 容積教材相關分年細目分析與能力指標對應表

表 2-1-2 體積教材相關分年細目分析與能力指標對應表

◎不規則物體體積（排容原理）

◎「容積」、「容量」的關係及應 用。

6-n-15

能理解簡單直柱體的體積 為底面積與高的乘積。(同 6-s-05)

◎理解與應用簡單直柱體的體積為 底面積乘以高。

◎圓柱體體積也是底面積乘以高。

N-3-24 S-3-10

資料來源：整理自教育部(2008a)。國民中小學九年一貫課程綱要數學領域

由表 2-1-1 及表 2-1-2 可知，四年級之前體積和容積的核心概念並無交集，直至五 年級的分年細目「5-n-21」才將體積和容積統整在一起進行討論，探討容量需要使用容 器內部空間體積大小來描述容積，藉以表示容器內液量的多寡，讓體積、容積和容量有 了交互性的關聯，因此，如何整合及適當的呈現體積、容積和容量三者間的關係是教學 上需要注意的地方。

三、102 年南一版數學第 10 冊教科書體積和容積教材分析

重點歸納如下：

（一）認識體積、容積和容量的關係。

（二）利用長方體（正方體）體積的求法，算出容器的容積，並推算出容量。

（三）透過排水的方法，求得各種可沉入水中，且不規則形狀物體的體積。

（四）認識大單位容積，並解決日常生活中相關的應用問題。

四、體積和容積迷思概念

學生在學習體積和容積的歷程中，需要先具備外體積的概念，進而學習內體積和排 他性體積、液量和容積等概念，其中以排他性體積和液量的學習難度較高（林仁得、謝 祥宏、陳文典，1993）。學習的過程中容易產生的迷思概念茲整理如下表 2-1-3 所示：

表 2-1-3 體積和容積學習迷思概念的整理

研究者（年份） 研究結論（迷思概念）

沈佑霖（2003） 對於體積概念未能完全的了解。

許嵐婷（2003） 易將表面積公式與體積公式混淆使用。

徐存姮（2003） 對於平方公分與立方公分無法分辨。

平方公分的概念不完整，影響立方公分的概念建立。

計算時單位轉換錯誤。

黃文達（2003） 形體不變的物體才有體積，沒有固定形體的物體沒有體積。

測量體積時受面積公式影響，無法辨認長、寬、高時，則認為沒 有體積。

要花較長時間學習如何將逐層點算求面積過渡到體積公式。

認為體積和長度一樣都是線性關係，或是將體積與表面積混淆。

對體積量感薄弱，遇到非典型形體的體積，大部分會利用體積公 式做估算。

張淑怡（2004） 容量概念不完整，缺乏單位換算的能力。

莊金和（2007） 未能完全了解體積和容量的關係。

運用排水法求不規則形狀物體體積的應用有困難。

單位換算容易出現錯誤。

康軒文教事業國小 數學編撰委員會

（2010）

學生常誤以為兩個容器中水位較高者容量一定比較大。

學生容易混淆容量的單位和重量的單位。

不清楚單位的概念：學生難以理解「公升」、「毫升」的單位概 念，在日常生活中較少接觸。

單位較大的容量，無法用目測的方式產生感覺時，學生就無法理 解實際的大小。例如：公秉。

鄭涵（2010） 容量單位換算概念不清楚。

不了解 ml 及 c.c.的意義。

由上表匯整可看出，學生對於體積和容積的迷思，主要因學習時對於體積和容積概 念未能完全的了解，單位換算容易出現錯誤；過程中，測量體積和容積時易受面積公式 影響，學生對體積量感薄弱，遇到非典型形體的體積，大部分會利用體積公式做估算；

學生對兩個容器的容量比較容易混淆；學生對於排水法求體積的運用有困難；學生無法 理解大單位容量的實際大小。