高速公路動態車輛旅次起迄推估方法之演進

車輛旅次起迄推估方法之發展，可概分為三個階段。

第一階段之旅次起迄推估為靜態方法，即不考慮起迄隨時間變動之情形，用以推 估如一日或一週乃至於更長的時間單位之旅次起迄。如 2.3.2 小節所述之重力模式、極 大熵法等，其中重力模式較廣為運用。

隨著推估方法之發展，推估方法轉變為考慮起迄變化之動態模式，此即為第二階 段。其特點為並未考慮起點至迄點間之旅行時間，或假設旅行時間小於時階長度

（Cremer and Keller，1983；Nihan and Davis 1987；Nihan and Hamed，1992）。其主要 推估式為：

y^T(k) = q^T(k)B(k)+e^T(k) (2.8) 其中：

y^T(k)：由 y_j(k)所組成之 1× n 向量。

q^T (k)：由 qi(k)所組成之 1 × m 向量。

B(k)：由 b_ij(k)所組成之 m × n 矩陣。

26

e^T (k)：誤差項所組成之 1 × n 向量。

由於忽略旅行時間之模式與事實有所不符，因此第三階段發展出考量旅行時間之 推估模式（Chang and Wu，1994；江勁毅，1997；Bhattacharjee et al.，2001；Lin and Chang，2007），其主要推估式為：

y_j(k) =

Σ

Σ

q_i(k – m)·θ_ij^m(k)·b_ij(k – m) (2.9)

其中各符號之意義與(2.7)式相同：

yj(k) : k 時階中，由 j 匝道離開高速公路之車輛數。

q_i(k – m) : k – m 時階中，由 i 匝道進入高速公路之車輛數。

θ ^m_ij(k)：於 k – m 時階自 i 至 j 之起迄對在 k 時階到達 j 匝道之比例。

b_ij(k – m)：q_i(k – m)中前往 j 匝道之比例。

以道路上路段流率資料推估起迄之研究眾多，以下敘述其發展歷程：

Robillard（1975）首先將偵測器資料運用於起迄推估上，車輛之路徑分配採用比 例指派法。此研究之路網相當簡易，其目的僅在顯示以路段交通量推估起迄之可行性，

作為此類研究之先河。

Van Zuylen and Willusen（1980）以最小資訊法與極大熵法分別提出兩模式，除運 用路段交通量資料外，加入起迄之歷史資料以提高推估結果之正確性，並以實例比較 兩模式之優劣。結果顯示極大熵法之運算時間較少，且推估結果較為準確。

Cremer and Keller（1981）首先提出考慮時間因素下的動態起迄推估模式。在不考 慮起迄點間路徑選擇的情況，如高速公路、單一路線上公車或捷運上乘客的分配情形，

提出以下起迄推估法：

q_i(k)：k 時階中，由 i 入口進入觀測區域之車輛數。

yj(k)：k 時階中，由 j 出口離開觀測區域之車輛數。

b_ij(k)：q_i(k)中前往 j 出口之比例。

27

b_ij(k)需符合下列關係：

Σ

b_ij(k) = 1 i = 1,2,...,m (2.10) b_ij(k) ≥ 0 i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n (2.11) bij(k) = 0 (i , j)  Z (2.12) (2.10)式代表進出觀測區域之交通量守恆，即 B(k)每列之總和為 1。(2.11)限制 bij(k) 不得為負值。(2.12)表示在實際情況下某些起迄對不可能出現，例如在高速公路上自下 游之入口匝道至上游之出口匝道之比例即為零；或在禁止迴轉之路口中迴轉的車輛 比。Z 集合會隨觀測區域之實際情況而改變。(2.10~12)此三式又稱為自然限制式，為 起迄推估中相當重要而基本之限制式。

當 k 時階之長度比 i 至 j 之旅行時間長時，q_i(k)、yj(k)與 bij(k)三者之關係以矩陣型 式改寫如下：

y^T(k) = q^T(k)B(k) (2.13) Cremer and Keller（1981）以動態遞迴法進行求解，求解式為：

Δˆy'(k) =Δq'(k)·B(k – 1) (2.14) ˆbij(k) = ˆbij(k–1) + γ ·Δqi(k)·[∆yj(k) – ∆ˆyj(k)] (2.15)

其中γ 為增益項。

Cremer（1983）提出交互相關矩陣法（method of cross-correlation matrices）求解，

以最小帄方法可推得 B 之最佳估計量為：

ˆB = Φ_qq^–1· Φ_qy (2.16)

其中Φqy(k)和 Φ_qq(k)分別為 Δq(k)和 Δq(k)以及 Δq(k)和 Δy(k)之交互相關矩陣。

Bell（1983）提出一線性推估模式，但此模式中並未考慮旅次起迄間之旅行時間。

28

在路段流量比例分配較正確之情況下，推估結果較佳；但當流量比例誤差較大時，則 與實際結果差異較大，可知其模式受路段流量分配比例影響甚大。

要改善都市地區交通擁擠的問題，必頇分析不同時間的交通情形，如交通需求的 改變、擁塞路段的轉移、駕駛人路徑選擇的改變等。Willumsen（1984）針對不同時間 下旅次起迄的推估進行研究，其以極大熵法為模式基礎，加入時階之概念進行延伸。

研究結果顯示路徑選擇模式為影響推估結果之關鍵因素，不同路徑選擇模式對於結果 之準確性有顯著差異，因此不同之車流情況下應搭配不同之路徑選擇模式，以確保正 確之推估結果。

Cremer and Keller（1987）又提出以卡門濾波器求解的方法，其推估式為：

ˆbj(k) = ˆbj(k−1) + d(k)[yj(k) − q^T(k)·ˆbj(k−1) ] (2.17)

d(k) = [P(k−1) + W]·q(k)·{q^T(k)·[P(k−1) + W]q(k) + r}⁻¹ (2.18) P(k) = [I − d(k)·q^T(k)][P(k–1) + W] (2.19) Nihan and Davis（1987）提出不考慮起迄點間路徑選擇的推估模式，可適用於高 速公路上。其認為 Cremer and Keller（1983）的研究在需符合(2.10~2.12)三項限制式的 情況下，求解較為困難，因此提出新的推估法。

在動態推估模式下，較近期的觀測資料對於目前時階的起迄影響較大，故給予較 高的權重。運算準則為：

Σ

λ^k−t_j [yj(k)−q^T(k)·bj(k)]² (2.20)

其中 0 < λ^j ≤ 1，可對各估計誤差值給予不同之權重。求解(2.20)式最小，並應用卡 門濾波器得到遞迴推估值為：

ˆbj(k) = ˆb_j(k–1) + K_j(k)[y_j(k)－q^T(k)ˆb_j(k–1)] (2.21)

29

Bell（1991）延續 Cremer and Keller（1981、1983）、Nihan and Davis（1987）等 人之研究，鑑於之前研究大多假設旅行時間小於或恰為時間長之假設，與現實情況有

Nihan and Hamed（1992）提出固定點法（Fixed Point Approach），用以推估高速 公路動態旅次起迄量的問題。其以最大概似法為基礎，以延伸期望值最大化法求解最 大概似估計量。為了簡化問題，其假設時階長度大於道路區段內任一起迄點之旅行時

30

Chang and Wu（1994）認為Bell（1991）之研究僅能在車流穩定且非擁擠時適用。

考量各駕駛人旅行時間差異，並加入主線流率Uℓ(k)以提供更多資訊，提出新的推估模式。

31

32

受到歷史起迄資訊之正確性影響甚大。

Camus et al.（1997）建構出適用於高速公路交通管理之用的及時動態起迄推估模 式，此模式藉由偵測器流量對上一時階之高速公路起迄進行推估，並同時對下一時階之 起迄情形進行預測。

江勁毅（1997）針對 Chang and Wu（1994）之模式加以修正。Chang and Wu 所建 構之高速公路匝道與主線流率之關係式(2.30~31)，其中(2.30)式中θ ^m_ij(k)變數之意義 為：「在(k–m)時階時產生的 Tij(k–m)，而在 k 時階時到達之車輛數∕Tij(k–m)」，表示 某一起迄點下因到達時間不同所產生之變異。而(2.31)式中θ ^m_iℓ(k)變數之意義為：「在 (k–m)時階產生的 Tij(k–m)，會在 k 時階時經過路段 ℓ 之比例」，代表在未到達迄點前 之旅行過程中，經過某一位置之比例。因此江勁毅認為，主線道流率資訊雖然可以提 供額外的資訊，但因為兩式之變數θ ^m_ij(k)定義不同，又使得模式的變數增加，因此實際 上只是使得求解更加困難，而 Chang and Wu 求解時並未將其視為不同，顯然有誤。因 此為使模式在操作上可行，應將(2.31)式自模式中去除，則無變數θ ^m_ij(k)定義不同之問 題，又可增加求解時之運算速度。另一方面，Chang and Wu 之模式利用 q = ρ·v 之關 係式推估各時階、各路段之帄均速度，再據以推估帄均旅行時間。但當車流量大於道 路容量發生擁擠後，此關係式便不適用，因此江勁毅改採 Greenshield 模式計算旅行時 間，因其速度與密度間之關係為線性，便於計算。

胡守任（2001）以卡門濾波器求解以路段流量反推起迄之問題，並探討不同交通 需求模式之有效或適用性之影響，分析低、中、高三種不同的交通需求型態。結果顯 示在中、低交通需求型態下，推估結果良好。而在高需求下之十組起迄對有七組符合 95%之信賴水準。可看出隨交通需求增加或帄均速率下降或起迄對之距離增加時，因 車流干擾因素增加，推估結果之誤差亦有增加之趨勢。整體而言卡門濾波器由於可產 生不偏與線性最小估計值，且可納入其他可量測之相關資訊，因此較其他運算方法為 準確。

33

陳齊邦（2004）同時針對旅次起迄與旅行時間進行研究。利用各時階所蒐集之路 段交通速率資料，以 Suzuki et al.（2002）所提出之模式推估動態路徑旅行時間，再以 此旅行時間與交通流率資料結合進行動態起迄推估。結果顯示在缺少歷史起迄資料 不同。Bhattacharjee et al.（2001）考量高速公路所提供的旅行時間資訊對駕駛人路徑選 擇改變，並進而影響起迄的情形，建構出推估模式。其推估之關係式為：

實務上 Bhattacharjee 建議可以探針車法或帄行線上模擬以獲得此參數。

Lin and Chang（2007）假設各車輛之旅行時間服從某一機率分配，並修正江勁毅

（ 1997 ） 表 示 參 數 定 義 不同 的 問 題 。 因 此將 θ ^m_ij(k) 與 θ ^m_iℓ(k) 分 別 以

∫

f ^k_ij(x) dx與

34

一、最小帄方法（Least Squares）

二、最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimator）

三、貝氏推論法（Bayesian Inference）

四、卡門濾波器（Kalman Filter）

以下分別介紹上述各種方法。

一、最小帄方法

在已知路段交通量以及初期旅次起迄矩陣下，由於路段交通量為起迄旅次量之函