點抽水問題之閉合解

3.2.1 準備工作

本文所考慮的基本假設為：

一、 模擬地層為均質之線彈性飽和多孔隙介質，分別考慮地層之力學行為與滲流性質 皆為等向性，等向性係指地層於任意方向的性質皆相同。

二、 忽略與時間有關之暫態行為，僅考慮穩態情況下，地層長期壓密行為與滲流行為 之變化，故問題之數學模式與時間變數無關。

三、 考慮孔隙水滲流遵守 Darcy 定律與質量守恆定律，地層力學行為變化服從牛頓第 二定律、地層組成律與虎克定律等，且地層之壓密行為適於以線彈性飽和多孔介 質彈性力學理論進行數學模擬。

四、 考慮抽水強度與抽水速率恆保持定值，抽水時假設含水層中之地下水補注量與抽 水量相等，故可考慮抽水行為持續且不間斷。

五、 模擬地層為一半無限域，地表邊界為一無限延伸之水平面。若抽水所引致三維壓 密沉陷問題之擾動效應、尺度效應及邊界效應等，符合一定距離以外對含水層的

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影響已相當微小的考量時，半無限域地層的模擬方式即適用於現地情況。

六、 考慮地表邊界為完全透水與完全不透水兩種邊界情況，是因考慮地表面可能會覆 蓋著綠地、景觀植物、透水磚等透水性較佳之材料，故可將地表邊界模擬為透水 情況；另外，也考慮地表邊界有可能大範圍鋪設柏油、混凝土或是有地上物等不 利於水滲漏至地表以下之情況，故將地表模擬為不透水情況較為合適。

七、 地表之力學邊界條件則考慮為無應力變化情況，其意係指地表面之受力無增加或 減少的情況。

本文是將地層模擬為一半無限域，再討論抽水時所引致之地層力學與滲流行為等，

因係考慮地層之長期壓密沉陷行為，所以在數學模式中並不考慮時間因素的影響。今 若考慮地表邊界上(z = 0)無應力變化且為透水情況，則地表邊界條件可表示為：

, 0 ^{, ,} 0 (3.1a)

, 0 ^{, , ,} 0 (3.1b) , 0 0 (3.1c)

其中 , 0 0亦可解釋為地表邊界上無壓力差或孔隙水壓可完全消散情況。

若將地表邊界模擬為無應力變化且為不透水情況，則地表邊界條件可表示為：

, 0 ^{, ,} 0 (3.2a)

, 0 ^{, , ,} 0 (3.2b)

, 0 (3.2c)

以下針對式(3.2c)中 ^, 0之工程意義加以說明，由 Darcy 定律 Q = kiA 且壓力梯 度 i = ^, 得知，Darcy 定律式可改寫為 Q = k ^,

A。當考慮地表邊界無滲流

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量 Q 時，因地層滲透係數 k 不為零，且水流通過的截面積 A 之值亦不為零，故 Darcy 定律式中之 ^, 0，亦即在不透水邊界上的超額孔隙水壓之壓力梯度為零或孔隙 水壓呈無法消散之情況。

為解析出問題之閉合解，數學模式中需建立另一組合理之無限深遠處( → ∞)的 合適邊界條件。因含水層是模擬為一半無限域，故在無限深遠處之所有物理變量可考 慮為均不受抽水的影響，亦即：

lim _→ , → 0 (3.3a) lim _→ , → 0 (3.3b) lim _→ , → 0 (3.3c)

本文是考慮未抽水前，問題之初始應力、位移、超額孔隙水壓等均處於平衡狀態，

開始抽水後會形成一擾動作用源，此擾動作用源會引起地層之三維壓密沉陷現象，本 研究是擬探討長期穩定抽水所引起的含水層水平位移、垂直位移和超額孔隙水壓等，

故問題之數學模式與時間變數無關聯。當抽水作用發生時，因含水層中之孔隙流體壓 力下降時，會伴隨有效應力逐漸增加，故引致含水層的壓密沉陷現象。

本文是將含水層模擬為等向性，所謂的等向性含水層是指含水層於任意方向的性 質皆相同。如式(3.1c)與式(3.2c)所示，本文是將地表模擬為透水與不透水兩種情況。

將地表模擬為透水情況的考慮，是因為地表可能會覆以透水磚、綠地或景觀植物等；

而將地表模擬為不透水情況時，則是考慮地表可能覆蓋著柏油路、混凝土或建築物等。

針對以上兩種情況進行分析與探討，將有助於進一步了解抽水所引致之壓密沉陷問 題。

3.2.2 點抽水之問題之解

本研究根據呂志宗(1991)所研討出之點抽水問題的基本解進行後續之研討，茲考 慮將座標 z 軸通過抽水點，則問題可簡化為軸對稱問題，故可以軸對稱圓柱座標系統 (r,z)表示三維壓密理論之基本方程式，所分析之點抽水問題如圖 3.1 所示。

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如前所述，含水層力學行為與滲流性質均模擬為等向性。基於此，當地表模擬為 透水情況時，含水層因抽水所引致之水平位移、垂直位移和超額孔隙水壓等可分別表 示為：

, _{∗ ∗ ∗} ( 3 . 4 a ) , ( 3 . 4 b ) , (3.4c)

其中

= 含水層之水平位移；

= 含水層之垂直位移；

= 超額孔隙水壓；

= 水平距離座標變數；

= 垂直距離座標變數；

= 抽水深度；

= 點抽水量；

= 水的單位重；

= 含水層之剪力模數(Shear Modulus)；

= 柏松比(Poisson Ratio)；

= ；

= 含水層之滲透係數；

= ；

∗ = +| |；

= ；

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∗ = 。

當地表模擬為不透水情況，仍考慮含水層力學與滲流性質均模擬為等向性，則抽 水所引致含水層之水平位移、垂直位移和超額孔隙水壓等可分別表示為：

, _{∗ ∗} 4 1 _∗ (3.5a)

, 4 1 4 sinh 3.5b

, (3.5c)

其中所示各項物理量或參數符號皆與式(3.4a)~(3.4c)相同。以上所示點抽水問題之基 本解，可作為本文後續探討如圖 3.2 所示線狀抽水問題之基礎。

h z

r

Saturated Poroelastic Half Space

Point Sink Pervious/Impervious Surface

圖 3.1 點抽水問題示意圖

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L z

r

Saturated Poroelastic Half Space

Line Sink Pervious/Impervious Surface

h

圖 3.2 線狀抽水問題示意圖