Biot 建立之多孔介質彈性力學理論發展

Biot 於 1955 年引入孔隙率(Porosity) n 的觀念，說明作用於多孔隙介質之孔隙流 體壓力變化量，再以孔隙流體與固體介質間會產生相對位移的現象來分析多孔隙介質 的位移變化，並將其理論推廣至異向性介質的情況。若考慮多孔介質為等向性之飽和 線彈性體，則其組成律關係可表示為：

, , , (2.10)

, (2.11)

式中

、 、

、 、

、 、

之定義與式(2.3)與式(2.4)相同，Q 與 R 分別為新定義 之固體介質與孔隙流體間的互制作用參數，亦即此力學常數 Q 與式(2.4)之定義並不

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相同，上式所引用之力學常數 R、

、

、Q 與 Biot(1941)文獻中所出現之力學常數 A、

N、S 的關係為：

= N (2.12)

(2.13)

將Darcy 定律式(2.5)、式(2.10)、式(2.11)代入力平衡方程式(2.6)與流量連續方程 式(2.7)中，則理論模式之基本方程式可表示為：

, , , 0 (2.14)

, , 0 (2.15)

Biot 於 1956 年為了研討介紹多孔隙介質之彈性動力學模式，曾引用基本力學常 數 、 、

、

建立理論模式之基本方程式，其中互制力學常數 M 與 Biot 於 1941 年 所定義之力學常數 Q 相同，並仍沿用在 1955 年所介紹之相對位移的觀念建立基本方 程式。為方便比較，故相關方程式的表示方式盡量與2.6.2 節相同，其中在單位多孔 隙介質體積內增加之孔隙流體體積 改以 表示。若考慮多孔介質為等向性之飽和線彈 性體，則其組成律關係可表示為：

, , , (2.16)

, (2.17)

式中各項物理量或參數符號皆與2.6.2 節所述相同。將 Darcy 定律式(2.5)、式(2.16)、

式(2.17)代入力平衡方程式(2.6)與流量連續方程式(2.7)中，則理論模式之基本方程式 可表示為：

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, , , 0 (2.18)

, , 0 (2.19)

再將相關力學常數加以比較後可知：

(2.20) α (2.21)

多孔隙介質壓密理論經過20 餘年的發展後已漸廣為應用，其中所引用的多孔介 質彈性力學參數已經容易由基本力學試驗得知。1976 年由 Rice 與 Cleary 引用流體不 排出情況下所測得的波松比 、與Skempton 孔隙流體壓力常數 B(即圍壓變化引起的 超額孔隙水壓變化量/圍壓變化量)，改寫Biot 於 1941 年所建立之理論模式中所使用 的基本力學常數，所使用的基本力學常數包括 、μ、

、 B。若考慮多孔介質為等向

性之飽和線彈性體，則其組成律關係可表示為：

_{, , ,} (2.22)

, (2.23)

式中 = 含水層於不排水情況下所測得之柏松比；其他各項物理量或參數符號皆與 2.6.2 節相同，其中 為考慮流體在排出情況下所測得之多孔隙介質的波松比，其與力 學常數

、

的關係為：

(2.23)

將Darcy 定律式(2.5)、式(2.22)、式(2.23)代入力平衡方程式(2.6)與流量連續方程 式(2.7)中，則理論模式之基本方程式可表示為：

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, , , 0 (2.24)

, , 0 (2.25)

Bear 與 Verruijt 於 1987 年引用地下水流動觀點，重新建構 Biot 三維壓密理論，

在探討地層壓密沉陷的現象時，將其變形過程視為另一種流體的流動，所以固體介質 的變化與地下流體流動需皆滿足質量守恆定理，理論模式之基本假設為：

一、土壤完全飽和。

二、孔隙水為可壓縮流體，並且壓縮流體密度的改變主要與孔隙水壓的改變有關。

三、土壤之固體顆粒不可壓縮。

四、孔隙水在孔隙中流動須符合Darcy 定律。

五、孔隙率 n 主要受介質之有效應力的影響。

根據以上假設，由質量守恆定律得知，固體介質的變化與地下流體流動需皆滿足 質量守恆定理，即：

∙ 0 (2.26)

⋅ 1 0 (2.27)

其中

、

= 固體土壤與孔隙水之密度；

、

= 固體土壤之運動速度與孔隙水流速。

根據基本假設，式(2.26)、式(2.27)可改寫為：

⋅ 0 (2.28)

其中 為土壤介質之體積應變量； 為孔隙水之壓縮係數，其係定義為：

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(2.29)

設孔隙水的流動符合Darcy 定律：

(2.30)

其中

= 含水層滲透係數；

= 孔隙水之單位體積重 = ， 為重力加速度。

將Darcy 定律式(2.30)代入式(2.28)，可將質量守恆方程式改寫為：

=0 (2.31)

再引用Terzaghi 的有效應力觀念將多孔介質之組成律表示為：

2 (2.32)

式中各項物理量或參數符號皆與 2.6.2 節相同，式(2.32)需滿足力平衡方程式，即

, 0，由應變位移的線性關係式(2.32)配合力平衡方程式，可得以介質位移和孔隙 水壓力為變數之基本方程式：

2 1 _{, ,} 0 (2.33)

式中 = 。式(2.31)與式(2.33)構成飽和等向性多孔介質之基本方程式。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 46-50)