第三章 領航符號通道估測
3.1 領航符號的擺放樣式
在不同的通道環境之中適合不同的 pilot 編排樣式，在[8]中提 到了一些 pilot 樣式。我們舉例兩種常見的編排 pilot 的方式並且 說明利用 pilot 估測通道在編排 pilot 需要考慮何種因素。
圖 3.1.1 是傳送端將傳送的連續 symbol 經過 S/P(serial to parallel)之後的平行排列資料，其中橫軸是時間的函數，以 symbol 為單位。縱軸則是頻率的函數，以 carrier 為單位。白色的區塊是
放在 carrier 上要傳送的 data symbol；灰色的區塊則是放著要傳 送的 pilot。
Carrier index
Symbol index
圖 3.1.1 pilot 在 OFDM 系統中的擺放樣式
接收端利用 pilot 估測的方法如下，分兩個部分
1. 收到傳送端的資料，利用灰色區塊的已知 pilot 將它們所在位置 上的通道頻率響應估測出來。
2. 利用灰色區塊位置所估計出來的通道，再利用內插方法計算其他 白色區塊(data 部分)的通道值。
增 加 pilot 的 數 目 ， 也 就 是 減 少 pilot 之 間 的 間 隔 (pilot
spacing)，當然會使得內插法的準確度提高，但是我們必須面臨到 提高 pilot 數量提高準確度，但是卻減少了 data 的傳送量的取捨 (trade-off)問題。而如果 pilot 的間隔太大，做內插法的誤差會提 高很多，雖然增加了資料的傳送量，但是卻使得通道估計的準確度 降低。因此我們必須決定一個適當的 pilot 間隔。
利用 pilot 估計出來的通道去做內插法，我們可以將 pilot 視為 通道上面的取樣。以圖 3.1.1 來做說明，在同一個 symbol index 上，
觀察縱軸在灰色區塊所估計出來的通道值，我們可以視為對在該時 間點的通道頻率響應做頻率軸上的取樣。同樣的觀點，在同一個 carrier index 上，觀察橫軸灰色區塊所估計出來的通道值，我們 可以視為在該載波上的通道頻率響應在時間軸上的取樣。
如果通道在頻率軸上變化加快，我們就得增加縱軸上面 pilot 的 數量來增加取樣點。如果同一個載波上面的通道頻率響應隨著時間 變化加快，我們就得增加橫軸上面的 pilot 數量來增加取樣點。無 論對於時間軸還有頻率軸取樣的速度必須至少滿足 Nyquist 的取樣 定理。
決定 pilot 在時間軸還有頻率軸上的取樣速度，或者說，決定 pilot 在時間軸和頻率軸的間隔，滿足取樣定理，必須要知道通道 在時間軸和頻率軸上面的變動頻寬。而在時間軸上的變動頻寬就是
都蔔勒擴散(Doppler spread)
fD 也就是我們所說的同調時間(coherence time)，
而
max
1
σ 則是同調頻寬(coherence bandwidth)。
結論是，時間軸上兩個 pilot 的距離至少要在 coherence time 裡面; 而頻率軸上，兩個 pilot 的距離要在 coherence bandwidth 裡 面 。 直 覺 上 來 想 ， 如 果 兩 個 pilot 的 距 離 在 coherence time/bandwidth 裡面，我們可以視為兩個 pilot 之間的通道值並不 會變動太劇烈，我們使用簡單的內插法就可以得到較高的準確度。
如圖 3.1.2 所示，我們舉其中兩種簡單的排列方式來做說明。
Carrier index Carrier index
Symbol index Symbol index
圖 3.1.2 兩種基本 pilot 排列方式(a)block-type (b)comb-type
Block-type 是說把一個 OFDM symbol 當作一個 block，而一整 個 OFDM symbol 上的載波都是 pilot; 也就是一整個 block 都是 pilot，所以稱之為 block-type。並且每隔固定幾個 OFDM symbol 週期性將將 pilot 插入進去。由於每個載波上面都有 pilot，所以 不用再做內插法。對於通道延遲較長，根據(3.1.2)式，我們知道頻 率軸上 pilot 擺設就要越密，因此 block-type 適合通道延遲較長，
也就是較能容忍頻率選擇性衰減(frequency selective fading)的 通道。不過由於是週期性的在時間軸上插入 pilot，所以對於 Doppler 效應所造成的時間軸上的快速衰減(fast fading)較不適
合(coherence time 較短)。如果是在慢速衰減的 slow fading 的狀 況之下，由於 coherence time 較長，在時間軸上的間隔不用太近，
因此在這種情況之下 block-type 較為適用。
第 二 種 如 圖 3.1.2(b) 所 示 ， 我 們 稱 之 為 comb-type ， 跟 block-type 相反; comb-type 則是在頻率軸上週期性的插入 pilot，
也就是每個 symbol 都在固定的載波上面擺放 pilot 傳送。適用的情 形跟 block-type 相反。comb-type 是在頻率上間隔擺設 pilot，所 以必須要內插出通道頻率響應，由於還要經過內插的運算，所以較 不能對抗頻率選擇衰落的通道。或者說 comb-type 對於通道延遲較 長的通道，由於 coherence bandwidth 較短，較不容易滿足兩個 pilot 的距離要在 coherence bandwidth 裡面，也因此 pilot 之間的做內 插所造成的通道誤差會較高。所以 comb-type 較適合 flat-fading 的通道。同一個載波上來看，時間軸上都放滿了 pilot，所以較能 對抗時間軸上快速衰落的通道( 比較容易滿足兩 pilot 之間的距離 在 coherence time 裡面)。
在瞭解 pilot 擺放樣式的考量後，下一小節中，我們就解釋如 何利用最小平方法實際估測領航符號上的通道。
3.2 最小平方（LS）通道估測原理與應用
L是兩個pilot之間的間隔。 代表pilot所調變的值，可以是任 意的複數值。我們也可以把N
P( ) X m
P個pilot都定為某一個固定的複數值Z 來減少計算的複雜度。接著我們要將XP( )m 上面的NP個通道頻率響
其中傳送端所傳送的 pilot 信號XP表示成矩陣形式如下式:
X H是 矩陣中的行向量(column vectors)的線性組合，也就 表示
X
⋅ ∈ˆ
X H X的行空間(column space)跟 最為接近。所以 的最佳 選 擇 就 是 在 的行 空 間投 影 (projection)， 也 就是 正 交定 理 (orthogonal principle)，可以從圖 3.2.2 得知
Y X H⋅ ˆ
Y X
(Y− ⋅X Hˆ) ⊥ ⋅X Hˆ
圖 3.2.1 正交原理的幾何說明
利用 LS 演算法我們可以在兼顧系統效能與複雜度的狀況下將 pilot 位置上面通道頻率響應值估計出來。至於其他 data 位置上的 通道頻率響應則可以用內插法求出來。而在第五章，我們會實際用 LS 演算法來估測通道的頻率響應，並且探討因為通道估測誤差對系 統所造成的影響。
第四章 決策導向雜訊估測
由第三章可知，利用 LS 通道估測已經可以有效地估測出我們所 需要的通道，所以在這一章裡面我就要介紹如何估測通道訊雜比中 的雜訊部分。一般來說，雜訊的估測可以利用領航符號或利用沒有 傳輸的時間，不過這些方法的缺點就是需要較長的時間才可以完成 雜訊的估測，因為一般來說領航符號在 OFDM 區塊中只佔了 1/8 或 甚至更少。而且有些系統並沒有使用領航符號的設計。這些原因都 使我們想要利用一般的資料次載波來做雜訊的估測。所以，接下來 我就介紹如何利用決策導向雜訊估測法[9]來做雜訊估測。
4.1 決策導向雜訊估測原理與應用
在決策導向雜訊估測法中，在第 n 個次載波上的決策導向雜訊 可由接收的訊號中求得，也就是Nk =Yk − Hk.Xˆk，其中Xˆk是對接 收訊號做決策後所得。但是在實際做適應性調變時我們所需要的是 真實的雜訊功率，而非決策導向雜訊。所以接下來就讓我們來研究 真實雜訊功率和決策導向雜訊功率之間的關係。
首先，我們先從定義決策導向雜訊的機率密度函數
ˆ 0
此時真實的雜訊N = +nˆ kHd,而決策 ˆ ( 1 2 )
同理可得，
( )
( )( )
( )( )
下圖是根據(4.1.7)式所畫出的圖形，其中訊號能量假設是 1。
true noise (dB)
decision directed noise (db)
2PAM 原因。此外，觀察 noise power=-50 附近的區域時，因為雜訊的功 率很小，所以不足以造成決策錯誤，因此決策導向雜訊會等於真實 的雜訊，如圖 4.1.4(a)所示。而圖 4.1.5(a)則是我們利用 4.1.6 式 所畫出的決策導向雜訊和真實雜訊的機率分佈密度，從圖中可以清
楚的看出兩條曲線是完全重合的，這也驗證了上面的解釋。而在雜 訊功率很大的時候，訊號點的能量比雜訊能量小很多，如圖 4.1.4(b) 所示，因此決策導向雜訊會非常近似於真實雜訊。同理，圖 4.1.5(b) 是我們利用 4.1.6 式所畫出的決策導向雜訊和真實雜訊的機率分佈 密度。圖中我們可以看出，只有在雜訊分佈在零附近的區域，決策 導向雜訊和真實雜有些微的誤差，從這裡也可以驗證兩者的功率是 差不多的。而在 noise power=0db 附近時，決策導向雜訊功率和真 實雜訊功率有最明顯的差距。因為在這個狀況下，訊號和雜訊的功 率相差不多，因此很容易使得決策從某一個訊號點跳至另一個訊號 點，也就是很容易造成決策錯誤，如圖 4.1.4(c)所示。而若從圖 4.1.5(c)的機率分佈來解釋，我們可以看到決策導向雜訊主要都分 佈在 0 的附近，而真實雜訊分佈的區域則是廣泛了許多。因此，從 機率分佈的角度來解釋也可以看出當 noise power≅0db 時，真實雜
訊功率和決策導向雜訊功率會有最大的誤差。
此外，我們也可以看出越高階的調變會造成兩個雜訊間的誤差 越大。這是因為當在雜訊功率相同的時候，越高階的調變越有可能 發生決策錯誤。
TN
DDN TN=DDN
(Noise power 很小時) 圖 4.1.4(a)雜訊分佈示意圖
TN
TN
≅
DDN DDN(Noise power 很大時) 圖 4.1.4(b)雜訊分佈示意圖
TN DDN PDF
圖 4.1.5(a) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=30db)
-5 0 5 DDN PDF
圖 4.1.5(b) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=-30db) DDN PDF
圖 4.1.5(c) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=0db)
我們可以再將以上 MPAM 系統所推導出來的結果稍做修改並且應
QAM PAM
σ = σ
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
true noise (dB)
decision directed noise (db)
BPSK
4.2 應用決策導向雜訊估測在適應性調變 OFDM 系統
在適應性調變OFDM系統上，調變方式會隨著不同的訊雜比而 有不同的選擇，因此在測量決策導向雜訊的取樣中可能會有各種不 同的調變方式。例如在本篇論文中所選擇的:No TX、BPSK、QPSK、
16QAM 和 64QAM。因此無法以單一的圖表對應找出真實的雜訊，在這 裡我想了兩種修正的方式：1)直覺上的作法，根據收到訊號中的某 種訊號出現的機率，將其所做的對應也分別乘上相同的機率。不過 缺點是因為不同的調變會對應不同的圖表，因此當調變方式很多時 可能會浪費一些查表的時間和記錄這些表格的記憶體。2)利用系統 模擬，實際找出適應性調變系統在不同訊雜比之下決策導向雜訊和 真實際雜訊之間的關係圖。之後就可以用直接對應的方式，找出我 們所需要的真實雜訊。為了降低複雜度，我在這篇論文中就使用這 種方法以求得真實雜訊的功率。
下圖就是本文中所用適應性調變 OFDM 系統利用模擬所畫出真實 雜訊和決策導向雜訊之間的關係。在比較圖 4.2.1 和圖 4.1.6 時我 們可以發現適應性調變系統和固定模式系統最主要的差別就在於雜 訊功率為-10db 至 10db 的區間。而在這個區間中，適應性調變所選
下圖就是本文中所用適應性調變 OFDM 系統利用模擬所畫出真實 雜訊和決策導向雜訊之間的關係。在比較圖 4.2.1 和圖 4.1.6 時我 們可以發現適應性調變系統和固定模式系統最主要的差別就在於雜 訊功率為-10db 至 10db 的區間。而在這個區間中，適應性調變所選