適應性 OFDM 系統的設計和分析

適應性 OFDM 系統的設計和分析

研究生：吳承軒 指導教授：張文鐘 博士

國立交通大學電信工程學系碩士班

中文摘要

無線通道因為電磁波的反射、干涉與繞社和都卜勒的效應會產生 頻率選擇性與時變性，因而會造成系統的效能低落。適應性調變是 一個不錯的方法在解決這個問題上，因此在本篇論文中考慮將適應 性調變應用在 OFDM 系統上的實際問題。從許多論文與期刊上的分 析與模擬結果可以知道，適應性調變可以有效地解決通道衰減的問 題，但是在真實的環境中，卻存在有通道估測錯誤的問題。因此，

論文中我實際以 LS 演算法探討通道估測錯誤對系統效能的影響。

而為了研究雜訊估測誤差對系統的影響，我將 Aldana 所發明的決策 導向雜訊估測做了修改並且將這個演算法實際地用在估測適應性調 變 OFDM 系統的通道雜訊上面。而除了通道資訊的誤差之外，另一 個存在適應性調變 OFDM 系統的問題就是 overhead 可能佔去實際上

可以使用的頻寬。一個最常見的解決方法就是使用 group adaptive 系 統，而通常決定 group modulation type 的方法都是使用最差的 subcarrier 的通道資訊。但是這樣的方法卻會降低系統的輸出，因此 在這個部分我提出了兩個方法來決定 group modulation type 以提升 系統的效能。而除了 group adaptive 系統的使用以外，我們也考慮迴 授通道資訊的型態，以企圖減低 overhead 的產生，最後並以系統模 擬分析其中的差異。

Design and Analysis in Adaptive OFDM System

Student: Cheng-Shuan Wu Advisor: Dr. Wen-Thong Chang

Department of Communication Engineering National Chiao Tung University

Abstract

Due to the reflection, scattering, and diffraction of the EM wave, the wireless channels have the frequency selective and time varying property. Adaptive modulation is a good approach in solving the problem, thus I apply the adaptive modulation onto the OFDM system in this thesis. According to the analysis and the simulation result in many papers, we know that adaptive modulation can effectively mitigate the problem of the fading channel. But in true environment, the channel estimation error exist. Therefore, I use LS algorithm for pilot symbol

estimation on the adaptive modulation system. And for the purpose of analyzing the impact of the noise estimation error on the AOFDM, I modify the approach submitted by Aldana to estimate the noise in the wireless channel of the AOFDM system. Besides the cannel information error, another problem is the overhead which may reduce the effective available bandwidth. The most popular solution to this question is using group adaptive modulation system, and usually group modulation type is decided by the subcarrier which has the worst channel information.

But this method may decreasing the system throughput. Therefore I proposed two method to decide the modulation type in group adaptive modulation system in order to increasing the system performance. In addition to group adaptive modulation system, we also consider the feedback channel information type to reduce overhead. And difference between two channel information type is analyzed.

誌謝

首先，我想感謝的是我的家人，謝謝他們在這兩年中給我的支持，

關心和鼓勵，讓我沒有後顧之憂，可以專心的在交大上課和做研究。

再者，我要謝謝我的指導教授：張文鐘老師，感謝老師兩年來辛苦 的指導，以及提供實驗室良好的研究資源，使得我在這兩年內學到 許多跟多媒體通訊相關的知識。

也非常感謝實驗室中已經畢業的學長，沒有你們的知識傳承就沒 有今天的這本論文；還有一起打拼的的實驗室夥伴，包括承霈、政 儒、明昇和旃偉，大家的相互討論讓我在各方面都收穫良多。

最後，要特別感謝我的女朋友皓潔，沒有你的加油打氣和精神上 的鼓舞，我一定沒辦法如期的完成這篇論文。

跟以上關心我的家人，指導我的老師和學長，支持我的朋友說聲，

謝謝你們!

目 錄

中文摘要 ………..……...………I 英文摘要(Abstract) …….………..………Ⅲ 誌謝 ………...………V 目

錄... ………VI

第一章 簡介

第二章 適應性調變正交分頻多工（AOFDM）系統簡介

2.2 適應性調變 OFDM 系統架構………6

第三章 領航符號通道估測

3.1 領航符號的擺放樣式……….………..12

3.2 最小平方通道估測………...18

第四章 決策導向雜訊估測

4.1 決策導向雜訊估測原理與應用.……….………….22

4.2 應用決策導向雜訊估測在適應性調變 OFDM 系統…………..34

第五章 適應性調變正交分頻多工系統模擬與分析

5.1 系統參數說明………...38

5.2 雜訊估測誤差對 AOFDM 系統的影響………..…….41

5.3 通道估測誤差對 AOFDM 系統的影響……….…….49

5.4 group AOFDM 系統………...….56

5.5group 大小的選擇……….63

5.6 group AOFDM 系統的傳輸模式選擇……….65

5.7 迴授資訊的考量………...………..74

第六章 結論

第七章 參考文獻

List of Tables

表 5.1.1 系統模擬參數…………..………..………...39 表 5.1.2(a) channel A 的 delay 和功率的 profile………..……….40 表 5.1.2(b) channel B 的 delay 和功率的 profile………..……….40 表 5.1.3(a) switching level for perfect channel estimation.………..…..40 表 5.1.3(b) switching level for LS channel estimation……….…..41 表 5.2.1 使用真實雜訊和決策導向雜訊的 cost 值………..45 表 5.2.2 使用真實雜訊和決策導向雜訊的 cost 值………..49 表 5.3.1 使用真實通道資訊和 LS 演算法所得的通道資訊時的 cost..53 表 5.3.2(a) 在 SNR=20db，mode 1 在 perfect 和 imperfect channel

information 時出現的次數……..……….……….54 表 5.3.2(b) 在 SNR=20db，mode 2 在 perfect 和 imperfect channel

information 時出現的次數………....…….54 表 5.3.2(c) 在 SNR=20db，mode 3 在 perfect 和 imperfect channel

information 時出現的次數………..……...55 表 5.3.2(d) 在 SNR=20db，mode 4 在 perfect 和 imperfect channel

information 時出現的次數………..…………..…….55

表 5.3.2(e)在 SNR=20db，mode 5 在 perfect 和 imperfect channel information 時出現的次數………..….55 表 5.4.1 不同的 group size 時的 cost 值………59 表 5.4.2 不同的 group size 時的 cost 值………62 表 5.5.1 channel A 和 B 的 delay spread 和 coherent bandwidth……..64 表 5.5.2(a)cost value for different group size in Channel A…………...65 表 5.5.2(b) cost value for different group size in Channel B………..…65 表 5.6.1 不同的 n 值時的 cost 值……….………...71 表 5.7.1 迴授 modulation 和迴授 channel impulse response 時的 cost...81

List of Figures

圖 2.1.1 具有相互性的通道(開放性迴路)………..………...4

圖 2.1.2 不具有相互性的通道(封閉性迴路)………....5

圖 2.2.1 AOFDM 系統架構………..………..6

圖 2.2.2 BPSK、QPSK、16QAM 和 64QAM 的星狀圖...8

圖 2.2.3 不同的調變在 AWGN 的錯誤率...11

圖 3.1.1pilot 在 OFDM 系統中的擺放樣式………...….13

圖 3.1.2 兩種基本 pilot 排列方式(a)block-type (b)comb-type…16 圖 3.2.正交原理的幾何說明………..………...…….20

圖 4.1.1 真實雜訊和決策導向雜訊示意圖………….……….23

圖 4.1.2 真實雜訊和決策導向雜訊示意圖………...24

圖 4.1.3 MPAM 真實雜訊和決策導向雜訊的對應圖..…….…….…..…27

圖 4.1.4(a)雜訊分佈示意圖……….…..29

圖 4.1.4(b)雜訊分佈示意圖……….………..29

圖 4.1.4(c)雜訊分佈示意圖……….…..30

圖 4.1.5(a) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=30db)………..30

圖 4.1.5(b) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=-30db)………31

圖 4.1.5(c) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=0db)………31

圖 4.1.6 MQAM 真實雜訊和決策導向雜訊的對應圖………...33

圖 4.2.1 AOFDM 系統真實雜訊和決策導向雜訊的對應圖………35

圖 4.2.2 應用決策導向雜訊估測法在 AOFDM 系統的估測錯誤分析 圖……..………36

圖 5.2.1 完美通道估測時的雜訊估測誤差………...43

圖 5.2.2(a)使用真實雜訊和決策導向雜訊的平均錯誤率……..….…44

圖 5.2.2(b)使用真實雜訊和決策導向雜訊的平均輸出率…………...45

圖 5.2.3 LS 演算法通道估測時的雜訊估測誤差………..……47

圖 5.2.4(a)使用真實雜訊和決策導向雜訊的平均錯誤率…..……...48

圖 5.2.4(b)使用真實雜訊和決策導向雜訊的平均輸出率……...49

圖 5.3.1(a)使用真實通道資訊和 LS 演算法所得的通道資訊時的平均 錯誤率...51

圖 5.3.1(b)使用真實通道資訊和 LS 演算法所得的通道資訊時的平均 輸出率………..52

圖 5.3.1(c)LS 演算法的估測誤差………...53

圖 5.4.1(a)不同的 group size 時的平均錯誤率………...58

圖 5.4.1(b)不同的 group size 時的平均輸出率………...……..59

圖 5.4.2 group size=1 和 group size=64 時的模式選擇機率分佈...60

圖 5.4.3(a) 不同的 group size 時的平均錯誤率………..…….…61

圖 5.4.3(b)不同的 group size 時的平均輸出率……….…..……..62 圖 5.4.4 group size=1 和 group size=64 時的模式選擇機率分佈……63 圖 5.6.1(a)選用不同的 subcarrier 作為模式選擇時的平均錯誤率.….67 圖 5.6.1(b) 選用不同的 subcarrier 作為模式選擇時的平均輸出率...68 圖 5.6.2 SNR mapping algorithm 的系統方塊圖………….…………..69 圖 5.6.3(a)不同的 n 值時的平均錯誤率………70 圖 5.6.3(b)不同的 n 值時的平均輸出率………..……..71 圖 5.6.4(a)channel A 中選用不同的 subcarrier 時所對應的 cost 值…..73 圖 5.6.4(b)channel B 中選用不同的 subcarrier 時所對應的 cost 值….74 圖 5.7.1 迴授 channel impulse response 時的系統方塊圖…………...75 圖 5.7.2(a)迴授 modulation 和迴授 channel impulse response 時的平均

錯誤率…………..………..…………..77 圖 5.7.2(b)迴授 modulation 和迴授 channel impulse response 時的平均 輸出率……..………..………...78 圖 5.7.3(a)迴授 modulation 和迴授 channel impulse response 時的平均 錯誤率...80 圖 5.7.3(b)迴授 modulation 和迴授 channel impulse response 時的平均

輸出率………..………81

第一章 簡 介

行動通訊通道一般來說會遭遇時變的通道品質變動[1]，因此傳 統所用的固定模式機制常會造成連續的傳輸錯誤，即使這個系統是 用來提供良好的傳輸邊限。一個有效的方法來解決這個問題：根據 接收端接收到的瞬時通道品質資訊，適應性地調整系統的參數；而 通道品質資訊可由接收端經由回授通道傳回傳送端。一般典型的方 式有三種：適應性傳輸能量控制、適應性訊號時間週期控制以及適 應性調變選擇。

適應性傳輸能量控制是由 Hayes 所提出[1]，它的主要概念是利 用控制傳輸的能量，降低在不同時間或頻率所遭遇的衰減效應。然 而若利用此傳輸機制，當在某一時間遭遇衰減極為強烈的通道時，

為了克服傳輸上的困難就必須大量地增加傳送的能量，但這也同時 會增強鄰近通道的干擾效應。

而且在大多數的傳輸規格中都已經訂定了傳輸的能量大小。因 此，使用適應性傳輸能量控制雖然可以解決時變通道的衰減問題，

但是也會造成額外的干擾。

適應性訊號時間週期控制是由 Cavers 所提出，這主要是利用不

同的時間週期長度對於訊號會有不同的通道衰減抵抗能力，以降低 在不同時間或頻率所遭遇的衰減效應。但是不同的時間週期長度會 有不同的頻寬，在目前頻寬需求越來越重要的時代，浪費可用的頻 也是我們要盡量避免的。

適應性調變選擇是利用不同調變方式對通道衰減會有不同的抵 抗能力。例如：我們在面對衰減強的通道時可以利用低階的調變方 式來達到減少錯誤率的的發生，而在衰減較弱的通道我們也可以透 過高階的調變方式來增加我們的輸出率。雖然這是一個實際可行的 方法，但在真實的系統中，卻會因為通道品質資訊的不正確而造成 系統效能的降低，所以本篇論文中先是提出決策導向雜訊估測法在 適應性正交分頻多工系統的應用，之後再分析通道資訊的不正確對 適應性正交分頻多工所造成的影響。

透過分析瑞雷(Rayleigh)衰減通道的通道容量，Goldsmith 等人證 明瞭可變速率、可變能量的適應性機制是最佳化的，但是他們也提 出了在大多數的衰減通道中，這種機制相較於可變速率、固定能量 的適應性機制，輸出率的增加是很微小的。因此在本篇論文中，我 們只討論可變速率、固定能量的適應性機制。

第二章 適應性調變正交分頻多工系統簡介

在第一章中我們已經簡單的說明瞭使用適應性調變的原因，在 第二章中我們就接下來介紹適應性調變的原理與應用，並且實際地 介紹適應性調變正交分頻多工系統。

2.1 適應性調變原理與應用

適應性調變是一種針對時變通道所做的一種反應。它通常都被 使用在雙向通訊中，因為傳輸參數的適應性處理必須依靠通道估測 和訊息傳輸。一般來說，必須採取以下的步驟[2]。

1. 通道品質估測：為了適當的選擇下次傳輸中所使用的傳輸參 數，準確的通道估測對於下次傳輸中所使用的傳輸通道是必要 的。

2. 選擇下次傳輸中所要用的傳輸參數：根據對下一個傳輸週期所 做的通道品質估測，傳送端可以適當的選擇所需要的傳輸參 數。

3. 訊息傳輸或盲目式偵測採用的傳輸參數：接收端必須取得傳送 端所採用的傳輸參數以作為解調之用。這些參數可以由傳送端 以封包傳送，但這種作法會造成部分的頻寬損失。或是這些參

數可以由接收端自行做盲目式偵測取得。

根據不同的通道特性，上述的步驟可以在雙向通訊中的其中一端執 行。如圖 2.1.1 所示，如果通道是具有相互性的通道，則通道品質估 測是由傳送端自己執行，而接收端可以藉由接收傳送端所傳輸的訊 息或是透過盲目式偵測來獲得傳輸參數，通常我們稱這種機制為開 放性迴路適應。如圖 2.1.2 所示，如果通道本身不具有相互性，則通 道品質估測必須由接收端執行並且透過訊息傳輸給傳送端，而此時 接收端本來就已經具有解調所需的資訊。通常我們稱這種機制為封 閉性迴路適應。

MS

Evaluate perceived channel quality and decide the transmission mode of local TX

BS

Evaluate perceived channel quality and decide the transmission mode of local TX Uplink(UL)

Downlink(DL) Signal modem modes used by MS

Signal modem modes used by BS

圖 2.1.1 具有相互性的通道(開放性迴路)

MS

Evaluate perceived channel quality and signal the requested transmission mode to the BS TX

BS

Evaluate perceived channel quality and signal the requested transmission mode to the MS TX Uplink(UL)

Downlink(DL) Signal modem modes to be used by BS

Signal modem modes to be used by MS

圖 2.1.2 不具有相互性的通道(封閉性迴路)

在[3]中，有一些通道品質資訊的計量方式被研究。在這些方法當 中依據 SNR(signal-to-noise ratio)和依據 BER(bit error rate)以做為通 道品質資訊的方式是最常見的。一般來說，SNR 可以藉由實體層的 功率測量得到；BER 則是可由連結層中的封包錯誤率估測出。

Webb 和 Steele 在[4]中嘗試去找出滿足不同傳輸模式的最佳化交 換邊界，他們利用系統模擬得到不同傳輸模式在 AWGN(additive white Gaussian noise)通道中的 BER 曲線，並且設定所需要滿足的錯 誤率以求得不同傳輸模式所需要的 SNR。這種方法可以確保瞬間 BER 小於某一個設定的 BER 界線；為了滿足這樣的要求，第一種的 傳輸模式需要被設定為不傳輸（No TX）。在這樣的概念之下，我們 可以設定轉換界線為：

0

( )

{ 0, | 1

k mk k th

s s p s P k

= = = ≥

s }

文中我也使用這種方法作為適應性調變的運作機制，並且用此來決 定下次傳輸中所使用的傳輸模式。

2.2 適應性調變 OFDM 系統架構

Adaptive modulation Channel quality

information

S/P Pilot

insertion IFFT P/S CP

channel

noise

remove S/P CP

One tap FFT equalizer Adaptive P/S

demodulation

Channel estimation

圖 2.2.1 AOFDM 系統架構

如圖 2.2.1 所示是這篇論文中的適應性調變正交分頻多工系統

（AOFDM）架構[5]。在傳送端，資訊位元先經由適應性調變器產生 符號X_n，之後在插入做為通道估測的領航符號(pilot symbol)。而 這 些 相 當 於 頻 域 的 訊 號 經 過 IFFT （ inverse fast Fourier transform）後轉換為OFDM區塊中的時域取樣訊號，將這些時域訊號 再加上具有保護作用的CP（cyclic prefix）後，這些時域訊號就被

傳送至通道中。此處的通道效應包括了時變瑞雷衰減通道和加成性 白色高斯雜訊。

在接收端，接收到的時域取樣先被移除 CP，之後經由 FFT（fast Fourier transform）轉換為頻域符號。而這些頻域符號中的領航符 號被通道估測器用來做通道估測。藉由估測出的通道資訊，我們再 利用一階的等化器來消除瑞雷通道所造成的頻率選擇效應。最號，

經過等化器處理的符號 在經由適應性解調器解調出我們想要的位 元資訊。

Yn

在此處的系統中，我們假設通道脈衝響應在一個 OFDM 區塊的週 期中是固定不變的，經由此項假設我們可以得到以下的關係式：

n n. n

Y = X H +N_n………(2.2.1)

因為在每個次載波中的雜訊和通道轉移函數是獨立的，我們可以定 義[2]在每個次載波中的 signal-to-noise ratio(SNR)為：

2.

n Hn

γ = γ ………(2.2.2)

其中γ為發射端的平均 SNR。如果沒有符號間干擾(ISI)或其他來源 所引起的干擾，則γ_n的大小會決定這個 OFDM 系統在第 n 個次載波上 的位元錯誤率。而適應性調變的目的就是根據每個次載波中的γ_n大 小去決定適當的傳輸模式以達到輸出率和位元錯誤率之間的取捨 (tradeoff)。

在說明完整個系統的架構後，我們現在開始說明適應性調變在 OFDM系統中的運作。在這篇論文中，我使用了五種的傳輸模式：No TX、BPSK、QSPK、16QAM和 64QAM。如圖 2.2.2 和圖 2.2.3 中所示為 他們的相對應星狀圖和BER曲線(假設為AWGN 通道)，在曲線中我們 設定BER的界線為 10^-3 ，由此界線和BER曲線的交點我們可以得到五 種傳輸模式所各別對應的交換界線。之後，我們就可以根據所估測 到的通道品質和交換界線決定在下一個傳輸週期所要使用的傳輸模 式。說明瞭OFDM系統的運作狀況和適應性調變的決策機制後，接下 來的兩章，我們就來介紹如何實際地估測出我們所需要的通道品 質，也就是通道SNR。

圖 2.2.3 BPSK、QPSK、16QAM 和 64QAM 的星狀圖

0 5 10 15 20 25 30 1e-3

switching level decision

SNR (dB)

BER

BPSK QPSK 16QAM 64QAM

圖 2.2.3 不同的調變在 AWGN 的錯誤率

第三章 通道估測

通道品質在這篇論文中是定義成通道訊雜比（CSNR），因此估測 通道品質就必須同時估測通道衰減和通道雜訊。在第三章中我們首 先介紹如何估測出通道衰減的部分，至於雜訊的估測會在第四章中 作詳盡的說明。一般來說在 OFDM 系統的通道估測可以分為：領航符 號通道估測和盲目式通道估測。領航符號通道估測具有較準確的估 測效能，而且一般來說這種方法的複雜度是較低的；而盲目式估測 所具有的優點就是不會浪費可用的系統頻寬。而在這篇論文中，為 了系統效能的考量我們使用領航符號通道估測。在介紹這個方法之 前，我先說明領航符號在 OFDM 系統中的擺放樣式[6][7]。

3.1 領航符號的擺放樣式

在不同的通道環境之中適合不同的 pilot 編排樣式，在[8]中提 到了一些 pilot 樣式。我們舉例兩種常見的編排 pilot 的方式並且 說明利用 pilot 估測通道在編排 pilot 需要考慮何種因素。

圖 3.1.1 是傳送端將傳送的連續 symbol 經過 S/P(serial to parallel)之後的平行排列資料，其中橫軸是時間的函數，以 symbol 為單位。縱軸則是頻率的函數，以 carrier 為單位。白色的區塊是

放在 carrier 上要傳送的 data symbol；灰色的區塊則是放著要傳 送的 pilot。

Carrier index

Symbol index

接收端利用 pilot 估測的方法如下，分兩個部分

1. 收到傳送端的資料，利用灰色區塊的已知 pilot 將它們所在位置 上的通道頻率響應估測出來。

2. 利用灰色區塊位置所估計出來的通道，再利用內插方法計算其他 白色區塊(data 部分)的通道值。

增 加 pilot 的 數 目 ， 也 就 是 減 少 pilot 之 間 的 間 隔 (pilot

spacing)，當然會使得內插法的準確度提高，但是我們必須面臨到 提高 pilot 數量提高準確度，但是卻減少了 data 的傳送量的取捨 (trade-off)問題。而如果 pilot 的間隔太大，做內插法的誤差會提 高很多，雖然增加了資料的傳送量，但是卻使得通道估計的準確度 降低。因此我們必須決定一個適當的 pilot 間隔。

利用 pilot 估計出來的通道去做內插法，我們可以將 pilot 視為 通道上面的取樣。以圖 3.1.1 來做說明，在同一個 symbol index 上，

觀察縱軸在灰色區塊所估計出來的通道值，我們可以視為對在該時 間點的通道頻率響應做頻率軸上的取樣。同樣的觀點，在同一個 carrier index 上，觀察橫軸灰色區塊所估計出來的通道值，我們 可以視為在該載波上的通道頻率響應在時間軸上的取樣。

如果通道在頻率軸上變化加快，我們就得增加縱軸上面 pilot 的 數量來增加取樣點。如果同一個載波上面的通道頻率響應隨著時間 變化加快，我們就得增加橫軸上面的 pilot 數量來增加取樣點。無 論對於時間軸還有頻率軸取樣的速度必須至少滿足 Nyquist 的取樣 定理。

決定 pilot 在時間軸還有頻率軸上的取樣速度，或者說，決定 pilot 在時間軸和頻率軸的間隔，滿足取樣定理，必須要知道通道 在時間軸和頻率軸上面的變動頻寬。而在時間軸上的變動頻寬就是

都蔔勒擴散(Doppler spread)

Dmax

f ，在頻率軸上的變動頻寬則是最 大的延遲擴散σ_max。因此根據取樣定理: 取樣頻率要大於兩倍的單 邊頻寬。

max

max

1

> ∆ <

T D p

D

f f t

f ………(3.1.1)

max

max

1

> ∆ <

ff σ f

σ

P ………(3.1.2)

fT f 分別為時間軸和頻率軸的取樣頻率，_f ∆t 為 pilot 在時間軸上_p 滿足取樣定理的取樣間隔，∆f_P為 pilot 在頻率軸上滿足取樣定理的 取樣間隔。而

max

1

fD 也就是我們所說的同調時間(coherence time)，

而

max

1

σ 則是同調頻寬(coherence bandwidth)。

結論是，時間軸上兩個 pilot 的距離至少要在 coherence time 裡面; 而頻率軸上，兩個 pilot 的距離要在 coherence bandwidth 裡 面 。 直 覺 上 來 想 ， 如 果 兩 個 pilot 的 距 離 在 coherence time/bandwidth 裡面，我們可以視為兩個 pilot 之間的通道值並不 會變動太劇烈，我們使用簡單的內插法就可以得到較高的準確度。

如圖 3.1.2 所示，我們舉其中兩種簡單的排列方式來做說明。

Carrier index Carrier index

Symbol index Symbol index

圖 3.1.2 兩種基本 pilot 排列方式(a)block-type (b)comb-type

Block-type 是說把一個 OFDM symbol 當作一個 block，而一整 個 OFDM symbol 上的載波都是 pilot; 也就是一整個 block 都是 pilot，所以稱之為 block-type。並且每隔固定幾個 OFDM symbol 週期性將將 pilot 插入進去。由於每個載波上面都有 pilot，所以 不用再做內插法。對於通道延遲較長，根據(3.1.2)式，我們知道頻 率軸上 pilot 擺設就要越密，因此 block-type 適合通道延遲較長，

也就是較能容忍頻率選擇性衰減(frequency selective fading)的 通道。不過由於是週期性的在時間軸上插入 pilot，所以對於 Doppler 效應所造成的時間軸上的快速衰減(fast fading)較不適

合(coherence time 較短)。如果是在慢速衰減的 slow fading 的狀 況之下，由於 coherence time 較長，在時間軸上的間隔不用太近，

因此在這種情況之下 block-type 較為適用。

第 二 種 如 圖 3.1.2(b) 所 示 ， 我 們 稱 之 為 comb-type ， 跟 block-type 相反; comb-type 則是在頻率軸上週期性的插入 pilot，

也就是每個 symbol 都在固定的載波上面擺放 pilot 傳送。適用的情 形跟 block-type 相反。comb-type 是在頻率上間隔擺設 pilot，所 以必須要內插出通道頻率響應，由於還要經過內插的運算，所以較 不能對抗頻率選擇衰落的通道。或者說 comb-type 對於通道延遲較 長的通道，由於 coherence bandwidth 較短，較不容易滿足兩個 pilot 的距離要在 coherence bandwidth 裡面，也因此 pilot 之間的做內 插所造成的通道誤差會較高。所以 comb-type 較適合 flat-fading 的通道。同一個載波上來看，時間軸上都放滿了 pilot，所以較能 對抗時間軸上快速衰落的通道( 比較容易滿足兩 pilot 之間的距離 在 coherence time 裡面)。

在瞭解 pilot 擺放樣式的考量後，下一小節中，我們就解釋如 何利用最小平方法實際估測領航符號上的通道。

3.2 最小平方（LS）通道估測原理與應用

在此我們使用comb-type的pilot方式來說明LS通道估測。假設 一 個 OFDM symbol 裡 面 有 N 個 載 波 ， 第 k 個 載 波 可 以 表 示 成

{

} {

}

( ) 0 0... -1 ( ) ( )

1.... 1

P P

X m l m N

X k X mL l

data l L

= =

⎧ ⎫

= + = ⎨⎩ = − ⎬⎭…(3.2.1)

L是兩個pilot之間的間隔。 代表pilot所調變的值，可以是任 意的複數值。我們也可以把N

P( ) X m

P個pilot都定為某一個固定的複數值Z 來減少計算的複雜度。接著我們要將X_P( )m 上面的N^P個通道頻率響 應值H m_P( )估測出來。我們把N^P個通道頻率響應值表達成矩陣的形 式

( )

(0) ( )

( 1)

P NP

H H L

H N L _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎦

⎣

HP ………..(3.2.2)

在pilot位置上接收端所收到的N^P訊號，表示成矩陣形式

( ) ₁

(0) ( )

( 1)

P NP

Y Y L

Y N L _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎦

⎣

YP ………(3.2.3)

根據(2.2.1 )式，我們可以把接收訊號表示成:

p p p

Y = X .H + N_p………(3.2.4)

其中傳送端所傳送的 pilot 信號X_P表示成矩陣形式如下式:

( )

(0) 0 0 ( ) 0 0 ( 1)

P P

P

P N N

X X X L

X N L _×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎦

⎣

………(3.2.5)

N 則是 pilot 位置上的雜訊。 p

我們要對 pilot 位置上的通道頻率響應做估測，就是要去求得 (3.2.4) 式 中 的 ， 在 這 邊 我 們 利 用 最 小 平 方 差 估 測 法 (Least Square，LS)來估測我們所要的 。有關 LS 演算法的原理說明如下：

HP

HP

[LS 演算法]

問題:

i

Y = X H + W

假設 X，Y 已知¸ H 未知，W 是干擾雜訊，也是未知。今天要找 出估測值Hˆ 使得平方誤差為最小。

解法:

⋅ ˆ

X H是 矩陣中的行向量(column vectors)的線性組合，也就 表示

X

⋅ ∈ˆ

X H X的行空間(column space)跟 最為接近。所以 的最佳 選 擇 就 是 在 的行 空 間投 影 (projection)， 也 就是 正 交定 理 (orthogonal principle)，可以從圖 3.2.2 得知

Y X H⋅ ˆ

Y X

(Y− ⋅X Hˆ) ⊥ ⋅X Hˆ

圖 3.2.1 正交原理的幾何說明 經過運算之後可以得到 LS 的解為

………(3.2.6)

以上就是有關於 LS 演算法的說明，接著我們將 LS 演算法的結果套 入(3.2.4)式，可以得到

) ˆ =( ^H ⋅ )⁻1⋅( ^H ⋅ )

H X X X Y

ˆ _P =( _P^H ⋅ _P)⁻1⋅( _P^H ⋅

H X X X Y_P ………(3.2.7) 因為X_P是方陣，所以有反矩陣存在，可以再對上式做化簡

( ) ( )

1 1 1

1

ˆ ( ) ( )

(0) 0 (0) 0 ( ) 0 ( )

0 ( 1) ( 1) (0)

(0) (

H_P X_P X_P^H X_P^H Y_P X_P Y_P

P P

X Y

X L Y L

X N L Y N L

Y X Y L

− − −

−

= ⋅ ⋅ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎦ ⎢ ⎦

⎣ ⎣

=

( )

( )

ˆ (0) ) ˆ (1) ( )

ˆ ( 1) ( 1)

( 1)

P

P

P P

P P

H X L H

H N Y N L

X N L

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎣ − ⎦

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

…(3.2.8) Y

⋅ ˆ X H

利用 LS 演算法我們可以在兼顧系統效能與複雜度的狀況下將 pilot 位置上面通道頻率響應值估計出來。至於其他 data 位置上的 通道頻率響應則可以用內插法求出來。而在第五章，我們會實際用 LS 演算法來估測通道的頻率響應，並且探討因為通道估測誤差對系 統所造成的影響。

第四章 決策導向雜訊估測

由第三章可知，利用 LS 通道估測已經可以有效地估測出我們所 需要的通道，所以在這一章裡面我就要介紹如何估測通道訊雜比中 的雜訊部分。一般來說，雜訊的估測可以利用領航符號或利用沒有 傳輸的時間，不過這些方法的缺點就是需要較長的時間才可以完成 雜訊的估測，因為一般來說領航符號在 OFDM 區塊中只佔了 1/8 或 甚至更少。而且有些系統並沒有使用領航符號的設計。這些原因都 使我們想要利用一般的資料次載波來做雜訊的估測。所以，接下來 我就介紹如何利用決策導向雜訊估測法[9]來做雜訊估測。

4.1 決策導向雜訊估測原理與應用

在決策導向雜訊估測法中，在第 n 個次載波上的決策導向雜訊 可由接收的訊號中求得，也就是Nk =Yk − Hk.Xˆ_k，其中_X^ˆ_k是對接 收訊號做決策後所得。但是在實際做適應性調變時我們所需要的是 真實的雜訊功率，而非決策導向雜訊。所以接下來就讓我們來研究 真實雜訊功率和決策導向雜訊功率之間的關係。

首先，我們先從定義決策導向雜訊的機率密度函數

ˆ 0

Pr[ ]

( )ˆ lim

N h

n N n h f n

→ h

< ≤ +

= 開始。為了說明上的方便，在此我們以 M-PAM 系統為例。在 M-PAM 系統中的訊號具有 , ³ , ⁵ ,..., ^{( 1)}

2 2 2 2

d d d M −

± ± ± ± d

的 大小，其中 為兩相鄰訊號點間的距離。由於每個次載波都受到通 道 的影響，因此決策邊界為

d

Hk ±lH_k其中 0,1, 2,..., 1

2

l= M − 。在推導過程

中我們假設 是已知的非負值。在接下來的推導中我們用 來取代

Hk Pr[N =nˆ]

0

lim Pr[ ]

h n N n h

→ < ≤ + 的表示法。

( )

( )

( )

( ) (

)

1

0 1

0

Pr Pr , 2 1

2

Pr 2 1 Pr 2 1

2 2

M

l l

M

l l

l

N n N n X l M d

d d

N n X l M X l M

−

=

−

=

⎡ ⎤

⎡ = ⎤= ⎢ = = − − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⎢⎣ = = − − ⎥⎦× ⎢⎣ = − − ⎥⎦

∑

∑

………(4.1.1)

我們先考慮以下的三種狀況：

1. 如圖 4.1.1 當^ˆ 2

n> Hd ，則接收到的訊號

2

Y > MHd。

圖 4.1.1 真實雜訊和決策導向雜訊示意圖

此時真實的雜訊N = +n^ˆ kHd,而決策 ˆ ( 1 2 ) 2

M k d

X = − − ，其中

。 0,1, 2,..., 1

k= M −

因為X 和N 為獨立。因此可以代入(4.1.1)式得，

1

0

Pr[ ] 1 Pr[ ]

M

k

N n N n kHd

M

−

=

= =

∑

2

n> Hd 時，

1 ˆ

0

( ) 1 ( )

M N n

k

f n f n k

M

−

=

=

∑

2 2 2 2

2 2

( 2

1 2

2

ˆ 2

0

( ) 1

2

k d H kdH n n M

N

k

f n e e

M

σ σ

πσ

− +

− −

=

=

∑

)

………..(4.1.3) 2. 當^ˆ

2

n< −Hd ，則接收到的訊號

2

Y <−MHd 。 按照上面相同的推導方式可得，

1 ˆ

0

( ) 1 ( )

M N n

k

f n f n k

M

−

=

=

∑

2

n≤ Hd ，則接收到的訊號

2

Y ≤ MHd 。

圖 4.1.2 真實雜訊和決策導向雜訊示意圖

同理可得，

1 1

ˆ

1 1

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

M M

n n n

N

k k

f n f n M k f n kHd M k f n kHd

M M

− −

= =

= +

∑

∑

………(4.1.5)

根據上面三種狀況的分析可得，

1 1

1 1

ˆ 1

0

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2

1 ( sgn( ) )

M M

n n n

k k

N M

n k

f n M k f n kHd M k f n kHd if n Hd

M M

f n

f n n kHd otherwi

M

− −

= =

−

=

⎧ + − + + − − <

= ⎨⎪⎪

⎪ +

⎪⎩

∑ ∑

∑

………(4.1.6) 在推導出機率密度函數後，我們接下來利用機率密度函數來求 得我們需要的決策導向功率 σ²PAM 。以下就是詳細的推導過程。在 開始推導前，為了表示上的方便，我們先定義

( )²

2 2 2 2

2

( , , ) ( , ) 1

2

n kHd n

x x

∞ ∞

∫ ∫

C x k σ u f u kHd σ du n e ^σ dn πσ

− +

= + = 。

2 2

Hd Hd

2 2 2 2 2

Hd Hd

2 2

( ) (zero mean)

= ( ) ( ) ( )

PAM N

N N N

n f n d n

n f n d n n f n d n n f n d n

σ ^∞

−∞

− ∞

− −∞

=

+ +

∫

∫ ∫ ∫

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 1 1

st

1 1

2

1 1

2

1 1

2

1 1

2

1 1

2

2

2

1 1

The 1 term

1 1

1 1

1 2

Hd

M M

n n n

k k

Hd

M M

n n n

k k

Hd

M M

n n n

k k

Hd

n f n M k f n kHd M k f n kHd d n

M M

n f n M k f n kHd M k f n kHd d n

M M

n f n M k f n kHd M k f n kHd d n

M M

n e

πσ

− −

= =

−

∞ − −

= =

−

∞ − −

= =

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + − + + − − ⎥⎦

⎡ ⎤

= ⎢⎣ + − + + − − ⎥⎦

⎡ ⎤

− ⎢⎣ + − + + − − ⎥⎦

=

∑ ∑

∫

∑ ∑

∫

∑ ∑

∫

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

1 1

2 2

2 2

2 2

1 1

2

1 1

2 2 2

2 2

2 2

1 1

2

1 1 1 1

( ) ( )

2 2

1 1 1 1 1

( ) ( )

2 2 2

, 0, , ,

2 2

n kHd n kHd

n M M

k k

Hd

n kHd n kHd

n M M

k k

Hd

n M k e n M k e d n

M M

n e n M k e n M k e d

M M

M k

Hd Hd

C C k

M

σ σ

σ σ

πσ πσ

πσ πσ πσ

σ σ

+ −

∞ − − − −

= =

−

+ −

∞ − − − −

= =

+ − + −

− + − + −

⎛ ⎞ − ⎛

= ⎜⎝− ⎟⎠+ ⎝−

∑ ∑

∫

∑ ∑

∫

( )

2

2

2 n

σ

σ

−

−

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

, , 2

, 0, , , , ,

2 2 2

M M

k k

M M

k k

M k Hd

C k

M

M k M k

Hd Hd Hd

C C k C k

M M

σ

σ σ σ

− −

= =

− −

= =

⎞+ − ⎛− − ⎞

⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

− −

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤

−⎢⎣ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠⎥⎦

∑ ∑

∑ ∑

( )²

2

-Hd

2 2 1

nd 2

0 2 -

1 1

0 1

1 1

The 2 term = n

2

1 1 1

, , , 0, , ,

2 2 2

n kHd M

k

M M

k k

e d n

M

Hd Hd Hd

C k C C k

M M M

σ

πσ

σ σ σ

− − −

∞ =

− −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠= ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠

∫ ∑

∑ ∑

( )²

2

1 1

rd 2 2

0 2 0

Hd 2

1 1 1

The 3 term = n , ,

2 2

n kHd

M M

k k

e d n C Hd k

M M

σ σ

πσ

∞ − − + −

= =

⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠

∑ ∑

∫

相加可得

( ) ( ) ( )

( )

st nd rd

1

1

The 1 +2 +3 term = , 0, 2 , 0,

2 2

1 [ ( , , , , 2 , ,

2 2

, , )]

2

M

k

Hd M Hd

C C

M

Hd Hd Hd

M k C k M k C k M k C k

M

M k C Hd k

σ σ

σ σ 2 σ

σ

−

=

⎛− ⎞− − ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

+ − ⎜− ⎟+ − ⎜− − ⎟− − − ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎛ ⎞

− − ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∑

⎠

………...…(4.1.7)

下圖是根據(4.1.7)式所畫出的圖形，其中訊號能量假設是 1。

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

true noise (dB)

decision directed noise (db)

2PAM 4PAM 16PAM 64PAM

圖 4.1.3 MPAM 真實雜訊和決策導向雜訊的對應圖

由此圖中我們可以發現，決策導向雜訊必定小於或等於真實的 雜訊。這樣的現象由之前的圖 4.1.1 和圖 4.1.2 就可以清楚的看出 原因。此外，觀察 noise power=-50 附近的區域時，因為雜訊的功 率很小，所以不足以造成決策錯誤，因此決策導向雜訊會等於真實 的雜訊，如圖 4.1.4(a)所示。而圖 4.1.5(a)則是我們利用 4.1.6 式 所畫出的決策導向雜訊和真實雜訊的機率分佈密度，從圖中可以清

楚的看出兩條曲線是完全重合的，這也驗證了上面的解釋。而在雜 訊功率很大的時候，訊號點的能量比雜訊能量小很多，如圖 4.1.4(b) 所示，因此決策導向雜訊會非常近似於真實雜訊。同理，圖 4.1.5(b) 是我們利用 4.1.6 式所畫出的決策導向雜訊和真實雜訊的機率分佈 密度。圖中我們可以看出，只有在雜訊分佈在零附近的區域，決策 導向雜訊和真實雜有些微的誤差，從這裡也可以驗證兩者的功率是 差不多的。而在 noise power=0db 附近時，決策導向雜訊功率和真 實雜訊功率有最明顯的差距。因為在這個狀況下，訊號和雜訊的功 率相差不多，因此很容易使得決策從某一個訊號點跳至另一個訊號 點，也就是很容易造成決策錯誤，如圖 4.1.4(c)所示。而若從圖 4.1.5(c)的機率分佈來解釋，我們可以看到決策導向雜訊主要都分 佈在 0 的附近，而真實雜訊分佈的區域則是廣泛了許多。因此，從 機率分佈的角度來解釋也可以看出當 noise power≅0db 時，真實雜

訊功率和決策導向雜訊功率會有最大的誤差。

此外，我們也可以看出越高階的調變會造成兩個雜訊間的誤差 越大。這是因為當在雜訊功率相同的時候，越高階的調變越有可能 發生決策錯誤。

TN

DDN TN=DDN

(Noise power 很小時) 圖 4.1.4(a)雜訊分佈示意圖

TN

TN

≅

(Noise power 很大時) 圖 4.1.4(b)雜訊分佈示意圖

TN

TN TN

TN

TN

≠

(Noise power≅ 0db )

圖 4.1.4(c)雜訊分佈示意圖

-5 0 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

SNR=30db

x

PDF

TN PDF DDN PDF

圖 4.1.5(a) 真實雜訊和決策導向雜訊 PDF(SNR=30db)