CHAPTER 3. 模擬及物理分析
4.2. B. 單步特徵值、特徵向量分析
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4.2.B. 單步特徵值、特徵向量分析
接下來針對 t=2.425τ單步，也就是 T=1 的 Wishart matrix 的特徵值、特徵向量分 析，其矩陣維度為10000 × 10000：
圖 29. t=2.425τ特徵值分佈圖
我們計算了 t=2.425τ的特徵值的結果(圖 29.)發現只有三個極大值的特徵值，
其餘 9997 個特徵值都為 0(值約為 10-12)，這個結果讓我們相當意外，因為在維度 為10000 × 10000的矩陣共有 10000 個特徵值，而只有三個非零的特徵值，
而三個非零特徵值又是同一個級數大小，我們知道在隨機矩陣的理論中，有多少 個極大的特徵值，就代表這個系統有多少個群集存在，那麼在這邊我們假設此系 統中的確有三個群集存在，這三個群集的行為由其所對應的特徵向量裡的元素來 表現。
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rank(AB) ≤ min (rank(A), rank(B)) 設B = At
rank(AAt) = rank(AtA) ≤ min(rank(A), rank(At)) = rank(A)=T
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實就是原本 Wishart matrix T=3 的結果，那麼這樣 C.M.D.的特徵向量是否有資 訊在裡面值得探討。‧
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圖 30. t=2.425τ C.M.D.特徵向量圖
我們將對應三個極大特徵值的特徵向量分別針對裡面元素分析，前 4000 個 代表聚合物鏈粒子的量，後 6000 個為流體粒子的量，若只單看一個對應的特徵 向量無法得到整體系統的訊息，因為還有另外兩個所代表的量值，整體看起來才 有可能是整個系統的訊息，因為我們將三個特徵向量當作成 x、y、z 座標值，分 別代表粒子 1-10000 的座標，將其繪製在三維座標上如圖 30.。並且以不同顏色 標示聚合物鏈粒子及流體粒子，紅色為聚合物鏈粒子、綠色為流體粒子。結果我 們發現在三維座標上圖呈現一個球形，且感覺為有一定厚度的球殼，因此我們改 利用粒子球面密度來得知粒子分佈的行為。而成球形的這個成因其實可以思考一 下，我們把所有粒子速度都歸一化，而其速度的三維相空間上，一定會成為半徑 為 1 的球，所以其球形可以說是其歸一化速度在速度三維相空間上的呈現。
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圖 31. t=2.425τC.M.D.特徵向量球面密度分佈圖
圖 31.中，紅線圖最低的是聚合物鏈粒子，綠色中間線是流體粒子，最高黑 色線是兩種粒子的總合，分析的結果令人感到意外，理由是聚合物鏈粒子及流體 粒子的球面密度分佈的型態是一樣的，只有大小的不同，大小的不同純粹來自於 粒子數的不一樣。目前來說沒有一樣的理由，照理來說應該可以是各種型態的疊 合，我們可以考慮各步演化的結果是否一樣。
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圖 32. t=2.425-19.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖
(A) (B)
(D) (C)
(E) (F)
(G) (H)
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圖 33. t=22.425-39.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖
(A) (B)
(D) (C)
(E) (F)
(G) (H)
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由圖 32.、圖 33.可以看得出在步數的演化下聚合物鏈粒子與流體粒子的 C.M.D.特徵向量球面密度分佈的型態是一樣的，在這邊我們可以猜想，其型態一 樣的原因可以是在那一步的當下，就像時間停止一樣，各粒子所作的運動狀態、
交互作用的對象、作用後的結果是相對一樣的，所以在球面密度分佈上型態才會 是一樣的。
另外可以思考的是此球殼的厚度，是否跟矩陣的維度有關?我們已知特徵向
量為歸一化特徵向量，故其元素平均值應該就是1
√𝑁，所以值大約多少會跟 N 值 有關，那麼我們就將 N 慢慢增加，其方向也是平均隨機分佈構築的 C.M.D.，觀 察其球殼厚度的變化。
圖 34. 球殼厚度對維度變化圖
圖 34.表示出隨著維度的增加，球殼厚度逐漸變薄，且以√𝑁2變薄，這在數 學上能否得到證明令我們有相當大的興趣。