CHAPTER 3. 模擬及物理分析
3.2. B. 統計分析
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3.2.B. 統計分析
在物理統計中，可定義某些方法利用統計數字來表示此系統的特性，我們先利用 單體粒子對分佈函數 g(r)(式 1.)分析，此分析可以表示在該步的當下，各粒子與 各粒子之間的相對位置關係，g(r)越大代表分佈在 r 位置的球殼分佈粒子密度多 大。
圖 22. t=2.425 τg(r)-r 圖
從圖 22.可以發現有較可分辨的四個峰值，並且第一個峰值比另三個峰值還 要高出許多，比第二個峰值高約 550%，第二峰值比第三峰高約 400%、第三峰 值比第四峰高約 300%，但這只是在 t=2.425τ時所得到結果，那麼如果在時間的 演化下，這四個可分辨的峰值會有什麼變化，也許就可以提供值得分析的資訊在 裡面。因此，我們將每一步四個峰值取出，對每一步作圖，就可以得到四個峰值 隨著時間變化的結果。
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圖 23. g(r)峰值對步數圖
我們將峰值對步數作圖後發現令人意外的結果，第一個峰值隨著步數的變化 相當小，大約是 0.0001%的變化量，而第二、三、四峰值從最高值到最低的變化 量大約是 25%左右，與第一峰值比起來有明顯的變化量，對照圖 22.分析，唯一 較特別的是第一峰值，一是隨著步數的變化幾乎是沒有的，二是此峰值剛好代表 是粒子與粒子間彼此最接近的分佈。在隨著步數變化而沒有改變分佈的唯一可能 就是聚合物鏈的粒子，因為鏈中粒子被鍵結住彼此間距離被固定在一定範圍內，
也因此在步數的演化上相對位置是不太會變化的，而其餘峰值的變化可以觀察的 出來各粒子比較不喜歡留在原本的位置上，這可以說是因為我整個系統在運動的 過程中會產生出熱能，但是本系統並沒有特別去控制溫度，因為系統溫度在演化 上都在上升，造成粒子動能增加，彼此間距離也就跟著增加，並且擾動量也跟著 增，造成分佈下降的現象。
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從圖 22.、圖 23.中可以知道系統粒子的分佈的特性，並且在步數演化上的 變化，那在這些特性與變化中，各粒子之間的關係，除了我們己知設定微觀上若 干項位能外(式 12.、式 13.、式 16.、式 17.)，在巨觀的統計上是否有特別的結 果?我們將式 1.改寫，在其加入速度方向關係(式 2.)來構成式 3.，用來表示，各 粒子與各粒子之間，在不同距離上彼此之間的關係是如何，此方法討論的關係由 式 2.可以發現只討論速度方向相關性，與速度大小無關。
圖 24. vc(r)對 r 圖
我們一樣先針對 t=2.425τ進行統計分析，從圖 24.可以發現隨機彼此距離越 遠，平均速方向關係就越小，反之距離越近，平均速方向關係就越大，在物理的 直覺上是可以理解的，距離越近，彼此的交互作用應該就要用大。
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圖 25. 第 100-400 步 vc(r)對 r 圖
改針對其它步數做同樣的分析，其結果與 t=2.425τ的分析結果相去不遠，
也就是說，就算隨著步數演化，速度關係分佈並不會有什麼特別的變化。
物理分析總結 3.3
從 3.2.A 結構分析結果中發現其結構關係無一定結構，從而猜測粒子彼此的 結果關係為隨機，但在 3.2.B 統計分析中卻發現，粒子彼此間有一定的關係，這 讓我們對利隨機矩陣分析的結果產生了興趣，一般隨機矩陣很多用在金融數據關 係矩陣或是原子能階問題，並沒有利用在分子動力複雜系統上，因此我們將以己 知的隨機矩陣理論，建構以速度方向為關係的隨機矩陣，以觀察是否有與以往不 同的結果。
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我們將其定義名稱為方向關係矩陣(Correlation matrix of direction，簡稱 C.M.D.)，
先以 T=1 為例，建構示意如下：
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方向關係矩陣分析 4.2
4.2.A. 單步矩陣元素分佈
圖 27. t=2.425τC.M.D.元素分佈
圖 28. 第 600、1500 步 C.M.D.元素分佈
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圖 27.為 t=2.425τT=1、N=10000(粒子數)，1-4000 為聚合物鏈粒子、
4001-10000 為流體粒子，維度為10000 × 10000所建構的 C.M.D.元素統計，顯示 出元素分佈是主要是平均分佈，而在hij = 1的數量會比其他值更多的原因在於 C.M.D.對角線的貢獻，扣除其對角線的貢獻，元素分佈就是完全的平均分佈，所 代表的意義在於粒子與粒子之間速度方向的相關係可以認為是平均隨機的型態。
並且繪制任意兩步的 C.M.D.元素分佈，發現也是平均隨機分佈。
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