CHAPTER 3. 模擬及物理分析
4.2. C. 步數演化特徵值、特徵向量分析
matrix 的類型，所以我們另外由完全平均隨機方向所構築的 C.M.D.來當作理想 狀況，來比較我們聚合物鏈系統構築的 C.M.D.有什麼不同，而我們預期一件事，
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圖 36. 全平均隨機 C.M.D.元素分佈
圖 37. 聚合物鏈 C.M.D.元素分佈
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而這樣的結果有108個元素，那麼統計起來的結果就會跟隨機漫步(Random Walk) 的結果一樣[ 17][ 18]，呈現高斯分佈。
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圖 38. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈
圖 39. 聚合物鏈 C.M.D. 特徵值分佈
觀察圖 38.發現跟 Wishart matrix 的特徵值分佈相似(圖 7.)，且為連續分佈，
因此我們利用式 9.去作擬合，看其行為是否與我們的預期相似(圖 40.)。
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圖 40. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈 Marchenko–Pastur 擬合
圖 40.為圖 38.的 Marchenko–Pastur 擬合圖，我們發現 Q 值與我們的預測相 同，我們預測圖形應該會與 Wishart matrix 的 3 倍 T 值相似，其 Q 值剛好就是 Q =3×𝑇𝑁 ，而σ約 1 左右，也就是不管 C.M.D.元素分佈為何，σ值都為 1，與特徵 值分佈無關，但這分佈跟我們預測相當接近，所以我們可以確定說如果是全平均 隨機的 C.M.D.，其性質會跟與 Wishart matrix 的 3 倍 T 值相似。但我們觀察圖 39.
發現與圖 38.相去甚遠，但這邊我們之前就假設全平均隨機 C.M.D.為理想狀況，
因為我們可以確認聚合物鏈 C.M.D.的確有一定的資訊在裡面，並且隨著 T 的增 加， 圖 39.的分佈就越集中於零，但仍有至少大於 10 倍的三個極大特徵值存在，
這代表矩陣的相依性就越重，也代表著其系統內的粒子與粒子間的相關性，隨著 時間的增加，相關係越來越重。這當然從物理上可以理解的，那麼在這樣特徵值 如此不同的，三個極大特徵值是否有也有特別的訊息在裡面令我們感到好奇。
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圖 41. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量圖
圖 42. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量球面密度分佈圖
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我們先分析 T=40000 C.M.D.三個極大的特徵值所對應的特徵向量來分析，
其分析方法與 4.2.B 章節一樣，從圖 41.可以發現與單步特徵向量的球是不一樣 的(圖 30.)，流體粒子的部份還是維持一個球的形狀，而聚合物鏈粒子則往球中 心集中，其分佈的狀態如圖 42.所示，不但向球心集中，且不維持一個球形，這 可以理解為，在步數的演化下，流體粒子因為受到的束縛相對於聚合物鏈粒子少 (3.1 )，所以在這整個系統上是相對自由許多，所能對各個粒子作交互作用的機 會也比聚合物鏈粒子大很多，所以在隨著步數的演化，流體粒子在相關性上，所 代表得比例就會比聚合物鏈粒子大的多。相反的，聚合物鏈粒子因為受到三種位 能的束縛，所以在步數的演化下，相關性上所代表的比例就會小許多。而且隨著 步數演化的增加，這個現象就越加明顯(圖 43.)，流體粒子與聚合物鏈粒子會越 分越開，也就代表現象越明顯。
圖 43. 聚合物鏈 C.M.D. 步數演化特徵向量球面密度分佈圖
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比較系統