隨機矩陣方法-方向關係矩陣 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學理學院應用物理研究所碩士論文. Graduate Institute of Applied Physics College of Science National ChengChi University Master Thesis. 政治大. 立隨機矩陣方法-方向關係矩陣. ‧ 國. 學. Random Matrix Method. ‧. of Correlation Matrix of Direction. n. er. io. sit. y. Nat. al. 黃崚瑋. i n C Leng h e Wei hi U n g cHuang. v. 指導教授：馬文忠博士 Advisor: Wen Jong Ma,Ph.D. 中華民國一百零三年八月 August,2014.

(2) Abstract We study the principal components of the correlation matrix of direction cosines of motion between pairs of particles in three dimensions. We carry out a systematic analysis in change of the length of time sequences. In single time step, taking the eigenvector components of the three principle modes as coordinates, we obtain a collection of points of the particle number in a three dimensions mapped space. We analyze the pattern of those points. 政治大 in complex fluid systems, 立which include pure fluid, channel fluid and. and find that they are confined within a sphere for random matrix as well as. ‧ 國. 學. polymer-fluid mixture. Increasing the length of time sequence, the eigenvalue distribution for each complex fluid system under our study show. ‧. different feature from that of random matrix. In particular, the three largest. sit. y. Nat. eigenvalues remain equally deviating from the rest eigenvalues in. n. al. er. io. polymer-fluid mixture as soon as the fluid is so dilute that its direction. i n U. v. relaxation time distinctly different from that of polymer chains and the time. Ch. engchi. sequence is collected over a time regime in between the two time scales. We carried out a detailed analysis on the sequence-length dependence in deviations of entries and of eigenvalues for random matrix and for those complex fluid systems..

(3) 摘要. 我們研究在三維的空間中，粒子與粒子間的方向關係矩陣，以時間. 政治大小相當的特徵值所對應的特徵向量分別當作三維座標，並且將其繪製在立. 長度為參數，在單一步數中，有三個極大的特徵值，將其三個極大的大. ‧ 國. 學. 三維圖上，並且用同樣的方法來分析其它複雜流體系統，其中包括純流體系統、通道流體系統以及聚合物鏈系統，我們發現當隨著時間長度的. ‧. 增加，各系統所顯示出來的資訊是不同的，尤其聚合物鏈系統，即使隨. sit. y. Nat. 著時間序列的增加，其三個極大的特徵值仍獨立於其餘特徵值，而我們. al. er. io. 分析聚合物鏈粒子以及流體粒子的時間尺度發現是不一樣的，確定其三. v. n. 個極大來源來自於時間尺度不一樣。我們並針對 C.M.D.及各個流體系統. Ch. engchi. i n U. 的特徵值標準差、矩陣元素標準差與時間長度的關係進行分析。.

(4) CHAPTER 1.. 前言.................................................................................................... 1. CHAPTER 2.. 理論、方法及儀器............................................................................ 3. 2.1. 結構分析........................................................................................................ 3. 2.1.A.. Monomer-monomer Pair Distribution Function g(r) .......................... 3. 2.1.B.. The Velocity Correlation Distribution Function. 2.1.C.. The Structure Factor .............................................................................. 5. 2.2. vc(r)......................... 4. 隨機矩陣理論................................................................................................ 6. 2.2.A.. 特徵值理論............................................................................................ 6. 2.2.B.. Wishart matrix...................................................................................... 10. 2.2.C.. Wigner Semi-circle distribution ........................................................... 12. 2.2.D.. Normal distribution .............................................................................. 13. ‧ 國. 學. 模擬及物理分析.............................................................................. 14. ‧. CHAPTER 3.. 立. 政治大. 模擬物理系統.............................................................................................. 14. 3.2. 物理分析...................................................................................................... 20. 3.3. sit. er. 結構分析.............................................................................................. 20. al. v i n Ch 統計分析.............................................................................................. 27 engchi U n. 3.2.B.. io. 3.2.A.. y. Nat. 3.1. 物理分析總結.............................................................................................. 30. CHAPTER 4.. 隨機矩陣數值分析.......................................................................... 31. 4.1. 方向關係矩陣建構...................................................................................... 31. 4.2. 方向關係矩陣分析...................................................................................... 32. 4.2.A.. 單步矩陣元素分佈.............................................................................. 32. 4.2.B.. 單步特徵值、特徵向量分析.............................................................. 34. 4.2.C.. 步數演化特徵值、特徵向量分析...................................................... 42. 4.3. 比較系統...................................................................................................... 49.

(5) 4.3.A.. 純流體粒子系統.................................................................................. 49. 4.3.B.. 通道流體粒子...................................................................................... 51. 4.3.C.. 綜合比較.............................................................................................. 53. CHAPTER 5.. 結論.................................................................................................. 62. CHAPTER 6.. 引用文獻.......................................................................................... 64. CHAPTER 7.. 附錄.................................................................................................. 66. 7.1. MPI 平行運算 ............................................................................................. 66. 7.2. 通道流體粒子補充...................................................................................... 69. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(6) 圖 1.單體粒子對分佈函數二維示意圖.................................................................. 3 圖 2.單體粒子對速度分佈函數二維示意圖.......................................................... 4 圖 3. Structure Factor 二維示意圖 ........................................................................... 5 圖 4. Structure Factor 三維示意圖 ........................................................................... 6 圖 5. 隨機餘弦隨機實對稱矩陣，特徵值分佈圖................................................. 9 圖 6. 隨機均勻實對稱矩陣，特微值分佈圖......................................................... 9 圖 7. Marchenko–Pastur 分佈圖(一)(σ = 1) ......................................................... 11 圖 8. Marchenko–Pastur 分佈圖(二)(Q= 1) .......................................................... 11. 政治大圖 10. Normal distribution 示意圖 ........................................................................ 13 立圖 9. Wigner Semi-circle distribution 示意圖 ........................................................ 12. 圖 11. 物理系統粒子示意圖 ................................................................................. 14. ‧ 國. 學. 圖 12. 週期性邊界條件示意圖............................................................................. 15. ‧. 圖 13. 位能示意圖................................................................................................. 16. y. Nat. 圖 14. 系統溫度變化圖(引用自[ 2]) .................................................................... 19. er. io. sit. 圖 15. t=2.425τ S(K)值三維圖............................................................................... 20 圖 16. t=4.15τ S(K)值三維圖................................................................................. 21. al. n. v i n 圖 17. t=2.425-11.175τ S(K)值三維圖 22 C h .................................................................. engchi U. 圖 18. t=12.425-21.175τ S(K)值三維圖 ................................................................ 23 圖 19. t=22.425-31.5τS(K)值三維圖 ..................................................................... 24 圖 20. t=32.425-41.175τ S(K)值三維圖 ................................................................ 25 圖 21. t=42.425-47.4τS(K)值三維圖 ..................................................................... 26 圖 22. t=2.425 τg(r)-r 圖................................................................................ 27 圖 23. g(r)峰值對步數圖........................................................................................ 28 圖 24. vc(r)對 r 圖 .................................................................................................. 29 圖 25. 第 100-400 步 vc(r)對 r 圖 ......................................................................... 30 圖 26. T=1，C.M.D.建構示意圖，其中cij = cosθij = 𝐯𝐢．𝐯𝐣|𝐯𝐢|2|𝐯𝐣|2 ........... 31.

(7) 圖 27. t=2.425τC.M.D.元素分佈 ........................................................................... 32 圖 28. 第 600、1500 步 C.M.D.元素分佈 ........................................................... 32 圖 29. t=2.425τ 特徵值分佈圖............................................................................... 34 圖 30. t=2.425τ C.M.D.特徵向量圖 ...................................................................... 37 圖 31. t=2.425τC.M.D.特徵向量球面密度分佈圖 ............................................... 38 圖 32. t=2.425-19.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖 .................................. 39 圖 33. t=22.425-39.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖 ................................ 40 圖 34. 球殼厚度對維度變化圖............................................................................. 41. 政治大圖 36. 全平均隨機 C.M.D.元素分佈 ................................................................... 43 立圖 35. 步數演化 C.M.D，其中𝑐𝑖𝑗 = 1𝑇𝑡𝑇𝐯𝐢𝐭．𝐯𝐣𝐭|𝐯𝐢𝐭|2|𝐯𝐣𝐭|2......................... 42. 圖 37. 聚合物鏈 C.M.D.元素分佈 ....................................................................... 43. ‧ 國. 學. 圖 38. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈 ............................................................... 45. ‧. 圖 39. 聚合物鏈 C.M.D. 特徵值分佈 ................................................................. 45. y. Nat. 圖 40. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈 Marchenko–Pastur 擬合 ...................... 46. er. io. sit. 圖 41. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量圖 ................................................... 47 圖 42. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量球面密度分佈圖 ........................... 47. al. n. v i n 圖 43. 聚合物鏈 C.M.D. 步數演化特徵向量球面密度分佈圖 ......................... 48 Ch engchi U 圖 44. 純流體系統三維示意圖............................................................................. 49 圖 45. 純流體系統 C.M.D.步數演化特徵值分佈圖 ........................................... 50 圖 46. 通道流體系統三維示意圖......................................................................... 51 圖 47. 通道流體粒子 C.M.D.步數演化特徵值分佈圖 ....................................... 52 圖 48. 聚合物鏈系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖 ................................... 53 圖 49. 純流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖 ....................................... 53 圖 50. 通道流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖 ................................... 54 圖 51. 聚合物鏈系統時間尺度圖......................................................................... 55 圖 52. 聚合物鏈系統 C.M.D.元素分佈 ............................................................... 56.

(8) 圖 53. 純流體粒子 C.M.D.元素分佈 ................................................................... 56 圖 54. 通道流體系統 C.M.D.元素分佈 ............................................................... 57 圖 55. 各系統特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差 ........................................... 58 圖 56. 不同聚合物鏈位能比較............................................................................. 58 圖 57. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差 ............................................... 59 圖 58. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差擬合 ....................................... 59 圖 59. 隨機 C.M.D.特徵值標準差對時間長度擬合 ........................................... 60 圖 60. 隨機 C.M.D.元素標準差對時間長度擬合 ............................................... 60. 政治大圖 62. Host CPUs 與 Coprocessor CPUs 最佳處理量示意圖 .............................. 68 立. 圖 61. E5、Phi 效能測試圖 ................................................................................... 67. 圖 63. Intel Xeon E5-1620、Phi coprocessor 3120A 工作示意圖 ....................... 68. ‧ 國. 學. 圖 64. 通道流體粒子 Z 軸 X 方向速度分佈圖 ................................................... 69. ‧. 圖 65. 通道流體粒子 Z 軸特徵值 ........................................................................ 69. y. Nat. er. io. sit. 表 1. C.M.D.性質列表 ........................................................................................... 61 表 2. 運算主機規格表........................................................................................... 66. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 式 1. 單體粒子對分佈函數.................................................................................... 3 式 2.單體粒子速度關係係數.................................................................................. 4 式 3.單體粒子對速度分佈函數.............................................................................. 4 式 4. 結構因子......................................................................................................... 5 式 5. 特徵值方程式................................................................................................. 6 式 6. 一維 Schrödinger equation ............................................................................. 7 式 7. 一維無時態自由粒子 Schrödinger equation ................................................. 7 式 8. Wishart matrix ................................................................................................ 10 式 9. Marchenko–Pastur 分佈 ............................................................................... 10.

(9) 式 10. Wigner Semi-circle distribution ................................................................... 12 式 11. Normal distribution ...................................................................................... 13 式 12. Lennard-Jones potential ............................................................................... 17 式 13. 彈性位能..................................................................................................... 17 式 14. 彈性係數定義............................................................................................. 17 式 15. r0 常數定義 ................................................................................................ 17 式 16. 彎曲位能..................................................................................................... 18 式 17. 扭轉位能..................................................................................................... 18. 政治大. 式 18. C.M.D.以 Wishart matrix 展開 ................................................................... 36. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(10) Chapter 1. 前言我們在複雜系統中使用非常多種不同的物理統計方法，來分析我們所要面對的物理系統，而隨機矩陣也是其中一種物理學家為了解決核子物理能階所得到的靈感，其隨機矩陣的方法，因為可以建構無限大維度的矩陣，故非常適合有大量資料的物理系統上。複雜系統中的物理資訊非常龐大，而我們搜尋前人的文獻，雖然已針對分子動力複雜系統建構一種以隨機矩陣的方法來分析該系統的 normal mod 物理性質，另一方面數理統計運用隨機矩陣分析多變數統計資料已經有很好的基礎，但是最新的趨勢對高維度且短的時間序列分析[ 28]，我們在這. 政治大，我們探討以隨機矩陣的辦法分析系統中粒子動力. 項研究工作裡面，利用本實驗室已設計且已用物理統計的方法研究過的分子動力. 立. 複雜系統來當作樣本[ 1][ 2][ 3][ 4]. ‧ 國. 學. 相關性(dynamic correlation)，我們期望這個方法可以讓分析複雜系統得到新的武器，並且在數值分析上有不同的視野。. ‧. 在這邊我們考慮的系統為一個非平衡聚合物鏈的分子動力複雜系統，在西元. sit. y. Nat. 2010 年開始本實驗室發表了有關於四篇非平衡態聚合物鏈[ 1][ 2][ 3][ 4]，尤其前兩篇. al. er. io. 利用一般的統計力學分析各粒子的速度分佈，發現其速度分佈與一般. v. n. Maxwell-Boltzman 分佈不盡相同，其分佈需將統計方法廣義化，其方法就將自然. Ch. engchi. i n U. 指數項推廣為一種以 q 值參數描述的自然指數，而 Maxwell-Boltzman 的自然指 −𝛽𝑥 2. 數項剛好為𝑒𝑞. 的形式，與 Gaussian 相同，故修正後的自然指數形式又稱作. q-Gaussians[ 19]，這個方式又稱為 Tsallis distributions，這個方法近來常常使用在複雜系統的計算上[ 20]，並且這個 q 值會因為彈性位能[ 1]及彎曲位能[ 2]設定的不同而有所改變，其原因仍然是我們有興趣研究的部份。但本篇論著重在於物理系統粒子間的關係分析，我們先利用傳統物理統計及結構分析的方法分析聚合物鏈系統，其方法並非只是為我們的物理系統做一個物理背景的分析，而是此分析的意義在於傳統的物理分析相當於該物理系統中粒子 1.

(11) 間靜態關係的定義，現在我們將利用 Wishart Matrix 來定義具有動態性質的粒子關係，其矩陣的特徵值分佈由 John Wishart 自西元 1928 年提出後[ 21]，針對其 T>N 的性質做了非常多分析及研究，從極大維度 Wishart matrix 的極小特徵值分析[ 22] 及結合隨機矩陣理論的研究[ 23]，到最近幾年仍有針對 Wishart matrix 的特性[ 24] 及複數形式 Wishart matrix 的研究[ 25]，應用上非常常利用分析在股票市場上，在各國的股票分析以 Wishart Matrix 定義為其關係矩做了非常多的研究[ 26][ 27][ 29] 而本論文就 Wishart Matrix 的形式加入向量的性質，來分析物理系統中粒子與粒子之間的速度方向關係，並建構矩陣，將其矩陣稱為方向關係矩陣. 政治大物鏈系統，還另外分析了另外兩個流體系統做比較，並且創造隨機方向的 C.M.D，立. (Correlation matrix of direction，簡稱 C.M.D.)，我們除了利用 C.M.D.分析了聚合. 分析其性質並對照於我們所設定的物理系統，發現有一定的規律及其特別的結. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 果。. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(12) Chapter 2. 理論、方法及儀器 2.1. 結構分析 2.1.A.. Monomer-monomer Pair Distribution Function. g(r). Nm. 1 V g(r)4πr 2 = ∑ ∑ δ(|𝐫𝐢𝐣 | − r′) Nm Nm j i { } r<r′ ≤r+dr. 治政大為粒子數、V 為最大球體積、r 為定義半徑，此方法大多用在計算系統立式 1. 單體粒子對分佈函數. Nm. ij. 中粒子分佈行為[ 1][ 2][ 3][ 4]，如圖 1.定義一個單體粒子為中心，取某一個半徑為ri𝐣，. ‧ 國. 學. 計算在半徑為ri𝐣 的薄球面上共有多少個單體粒子在此球面上，直到ri𝐣 涵蓋整個物. ‧. 理系統之範圍，之後再換另一個單體粒子為中心，重覆動作，以此來分析此系統. y. Nat. 內各粒子因相互作用而得到的分佈，在計算的同時，可以用不同的定義來避免粒. n. al. er. io. sit. 子與粒子間重覆計算。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 1.單體粒子對分佈函數二維示意圖 3.

(13) 2.1.B.. The Velocity Correlation Distribution Function. vc(r). 我們中另定義一個以 g(r)為基礎之分析方法，以各粒子與各粒子之間，以速度為相關物理參數，再從速度向量之內積定義為速度關係係數，此係數得-1 至 1 之間，並將式 1.與式 2.結合即可得粒子對速度分佈函數。 cosθij =. 𝐯𝐢 ．𝐯𝐣 √|𝐯𝐢 |2 |𝐯𝐣 |2. 政治大. 式 2.單體粒子速度關係係數. 立. Nm. 𝐯𝐢 ．𝐯𝐣 1 V vc(r)4πr = ∑ ∑ δ(|𝐫𝐢𝐣 | − r ′ ) Nm Nm j i √|𝐯𝐢 |2 |𝐯𝐣 |2 { } r<r′ ≤r+dr. ‧. ‧ 國. 學. 2. 式 3.單體粒子對速度分佈函數. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2.單體粒子對速度分佈函數二維示意圖 4.

(14) 2.1.C.. The Structure Factor N. N. S(𝐤) = ∑ e. i𝐤．ri. ∭ d𝐫e. −i𝐤．𝐫. i. ∑ δ(r − rj ) j. N. N. = ∑ ei𝐤．ri ∑ e−i𝐤．𝐫𝐣 j. i N. = | ∑ ei𝐤．ri |2 i. 式 4. 結構因子. 政治大外，雖然我們之系統為一個動態系統，但仍能觀察從計算出來的結果知道結構的立. 在固態物理[ 6]及實驗中，常常使用 X-ray 繞射來分析物質結構，我們也不例. ‧ 國. 學. 當下的狀態，並對照其餘物理參數之狀態來分析，其結果可參考文獻[ 5]或 .、圖 4.，我們則利用此方法在三維系統中計算(圖 4.)，並以顏色來定義 S(k). ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. 值之大小。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3. Structure Factor 二維示意圖. 5.

(15) 立. ‧ 國. 學. 圖 4. Structure Factor 三維示意圖. ‧ y. Nat. io. sit. 隨機矩陣理論. er. 2.2. 政治大. al. n. v i n 隨機矩陣理論 Random matrix C htheory(R.M.T.)己經發展一段時間，物理理論上， engchi U. 這種統計方法己經使用在核子物理[ 7][ 8]、統計物理[ 9]、社會物理[ 10]、量子物理[ 11]，主要的分析方法是針對矩陣的特徵值及特徵向量的元素分佈。. 2.2.A. 特徵值理論. 特徵值系統的解釋，可以視為一個系統，受到作用或是任何一種轉換，其方向不變，但量值改變。 𝐇x=λx 式 5. 特徵值方程式 6.

(16) 其中 H 可以為矩陣(Matrix)或算符(Operator)，算符之形式可以定義之，例如 ̂、𝟎 ̂，其特徵值即為 1、0；微分算符 ∂ ，物理上最為人知的微分算符常數算符𝟏 ∂x ∂. ̂𝐱 = −iħ ，其動量算符最常出現在一維的就是量子力學中的動量算符𝐩 ∂x Schrödinger equation(式 6.)之中： ̂𝐱 𝟐 ∂ 𝐩 Ψ(x, t) + V(x)Ψ(x, t) = iħ Ψ(x, t) ∂t 2m 式 6. 一維 Schrödinger equation ħ為約化普朗克常數，ｍ為粒子質量，Ψ(x, t)為有時態的波函數，若考慮無時間態、且V(x) = 0的條件下，其方程式即為無時態之自由粒子 Schrödinger equation(式 7.)：. 政治大. 立. ‧ 國. 學. ̂𝐱 𝟐 𝐩 Ψ(x)＝ＥΨ(x, t) 2m. 式 7. 一維無時態自由粒子 Schrödinger equation. ‧. ̂ 𝟐 𝐩. 𝐱 其中 E 就是 2m 的特徵值、Ψ(x)為特徵函數。. y. Nat. sit. 在我們中所考慮的特徵值系統為一Ｎ維極大矩陣Ｈ，其特徵值之分佈行為，. n. al. er. io. 且其矩陣元素可為相依或獨立的元素，但在隨機矩陣的概念裡，各個元素之間的關係應為獨立的：. Ch. h1 1 h2 1. h1 2 h2 2. ⋮ ⋮ ⋮. ⋮ ⋮ ⋮. [hN 1. engchi. ⋯⋯ ⋱ ⋯⋯. hN 2. i n U. v. h1 N−1 h2 N−1. h1 N h2 N. ⋮ ⋮ ⋮. ⋮ ⋮ ⋮. hN N−1 7. hN N ].

(17) 並且要注意的是，此為物理系統，在物理系統中虛數無意義，故在定義矩陣時，其元素及排列型態應為實數及對稱矩陣，確保特徵值必為實數，且在此條件下可知，對應不同的特徵值其特徵向量必為正交或是如果有將特徵向量歸一化，則為歸一正交，此為基礎線性代數定理，證明如下：設𝐇x1 = λ1 x1 ，且< x1 , x1 >= 1 < x1 , 𝐇x1 >= λ1 =< 𝐇x1 , x1 >= λ1 ∗ λ1 = λ1 ∗ ，λ1 ∈ R. 政治大. 故特徵值必為實數，承上結果即可證明對應不同的特徵值之特徵向量必為正交：. 立. 學. < x1 , 𝐇x2 >= λ2 < x1 , x2 > =< 𝐇x1 , x2 >= λ1 < x1 , x2 >. y. Nat. λ1 ≠ λ2 ， < x1 , x2 >= 0. ‧. ‧ 國. 設𝐇x1 = λ1 x1 、𝐇x2 = λ2 x2. er. io. sit. 一般來說的實數對稱矩陣元素不同的數值分佈型態，特微值也會有不同數值分佈型態，但也有例外，在元素之類關係真的完全獨立且隨機，那麼特徵值分佈. al. n. v i n 通常會符合半圓定律(2.2.B)，例如角度值為隨機 0~2π，以其餘弦值組成對角為 Ch engchi U. 1 的實對稱矩陣，其特徵值分佈符合半圓定律(圖 5.，右上角為分佈圖)，若改以. 隨機均勻分佈組成對家為 1 的實對稱矩陣，其特徵值分佈也符合半圓定律(圖 6.，右上角為分佈圖)。. 8.

(18) 立. 政治大. 圖 5. 隨機餘弦隨機實對稱矩陣，特徵值分佈圖. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 6. 隨機均勻實對稱矩陣，特微值分佈圖. 9.

(19) 2.2.B. Wishart matrix. Whishart matrix 多數使用在利用隨機矩陣分析具有時間序列資訊資料上，例如金融交易或股票[ 9]。Wishart matrix 建構的方法如下：. A ∈ RT×N H=. 1 t AA T. 式 8. Wishart matrix. 立. 政治大. 其中 M 通常為時間長度，若為極大的的隨機矩陣，即T → ∞、N → ∞，且. ‧ 國. ≥ 1，則其特徵值λ其機率密度分佈ρ(λ)為 Marchenko–Pastur 分佈：. ‧ y. λ ∈ [λmin , λmax ] otherwise. er. 0. io. {. Nat. Q √(λmax − λ)(λ − λmin ) λ ρ(λ) = 2πσ2. sit. N. 學. M. n. a式l 9. Marchenko–Pastur 分佈 i v n Ch U engchi. λmax = σ2 (1 +. 1 2 1 2 + ) ，λmin = σ2 (1 + − ) Q √Q Q √Q. T. 其中Q = N，σ 為矩陣元素之標準差. 由式 9.可以發現，當 dim(H)增加即 Q 值超過 1 之後，特徵值的分佈將不再會有零的特徵值存在並且遂漸集中於σ2 (圖 7.、圖 8.). 10.

(20) 立. 政治大. 圖 7. Marchenko–Pastur 分佈圖(一)(σ = 1). ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 8. Marchenko–Pastur 分佈圖(二)(Q= 1). 11.

(21) 2.2.C. Wigner Semi-circle distribution. 這是一種分佈行為，最早由 Eugene P. Wigner 提出，但是其實這是β分佈的一種，此一分佈最常出現在極大的高斯隨機對稱矩陣中[ 9]，其特徵值的分佈相當大，但有半圓曲線的分佈，其中(式 10.)R 為主要分佈範圍。. 2 √R2 − x 2 2 πR f(x) = {. if |x| ≤ R. otherwise 政治大. 0. 立. 式 10. Wigner Semi-circle distribution. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 9. Wigner Semi-circle distribution 示意圖. 12.

(22) 2.2.D.. Normal distribution. 又稱作 Gaussian distribution，這是在自然界中最常出現的分佈，例如在經濟統計、社會統計、生物統計及統計物理裡最常出現此分佈形態，且在隨機矩陣的討論中，最常以此分佈為討論樣本。. f(x) =. 1 σ√2π. e. −. (x−x0 )2 σ2. 式 11. Normal distribution. 立. 政治大. 其中x0 為中心位置，σ 為其分佈之標準差. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 10. Normal distribution 示意圖. 13.

(23) Chapter 3. 模擬及物理分析我們考慮的是一個聚合物鏈的分子動力複雜系統，系統中設定若干項位能條，考慮此系統的目的在於，模擬蛋白質在流體中粒子跟粒子之間的交互作用的結果，並且對於有關蛋白質疾病的物理系統提供一個物理模型分析。我們先模擬一個聚合物鏈的分子動力複雜系統，並以物理統計的方法分析其基本物理性質作為物理背景，其背景的本質其實代表的就是從物理上分析其物理系統粒子的靜態關係，之後再試著利用隨機矩陣做進一步的動態關係分析並其對照。. 治. 政模擬物理系統. 立. 大學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 3.1. Ch. engchi. i n U. 圖 11. 物理系統粒子示意圖. 14. v.

(24) 我們設定的聚合物鏈分子動力複雜系統如圖 11.，由聚合物鏈及流體粒子所組成，其中聚合物鏈一條由 100 顆粒子所組成，共 40 條聚合物鏈，流體粒子由 6000 顆粒子所組成，模擬聚合物鏈所處的環境的固態、液態或是氣態的相態，本系統所設定的為液態相態。並且利用週期性的邊界條件來模擬無限大空間的系統，代表如果只在單位空間上觀察，若聚合物鏈穿過了單位空間邊界，則穿過去的部份會. 政治大. 就出現在相對面的空間上圖 12.。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. 圖 12. 週期性邊界條件示意圖. 15. v.

(25) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. Nat. er. io. sit. y. ‧. ‧ 國. 學圖 13. 位能示意圖. 針對此物理系統內的粒子分成兩大部份[ 1][ 2]，一是具有 100 條鏈、共 4000. al. n. v i n 顆粒子的聚合物鏈，另一部份是具有 C h 6000 顆粒子的流體粒子。兩部份我們設定 engchi U. 各有不同的位能系統，流體粒子設定為與最近鄰粒子具有 L-J potential[ 16](圖 13.A、式 12.)、式 17，而聚合物鏈粒子鏈上則有三種位能，一是與彈簧相同的彈性位能(圖 13.B、式 13.)，二是鏈上每三顆粒子彼此的鍵結，必有的夾角，此角度具(圖 13.C、式 16.)，三是扭轉位能(圖 13.D、式 17.)，兩兩粒子的鍵結的旋轉必有一扭轉位能產生，其角度的定義方式是利用三個粒子為一平面，其中兩個粒子與第四個粒子必成另一平面，兩平面的夾角定義為扭轉角度。. 16.

(26) L-J potential 數學式如下： σ 12 σ 6 V(r) = 4ϵ[( ) − ( ) ] r r 式 12. Lennard-Jones potential 式 12.中ϵ為能量參數、σ為尺度參數，除了這些之外加上粒子質量 m，這三 mσ2. 個參數定義為此系統基本單位量，利用此基本單位量來定義時間尺度τ = √. ϵ. 。. 以此延伸到另外三個位能量: 1 2 U(rij ) = K spring (rij − r0 ) ，i ≠ j 2. 政治大 j=i±1. 1 ≤ i ≤ N = 10000. 立. 式 13. 彈性位能. ‧ 國. 學. 在式 13. rij 只定義在於，各鏈彼此最近鄰之粒子距離，i、j 代表第 i、j 個. ‧. 粒子，並且利用上述三個基本來定義式 13.中的彈性係數、r0 定義：. y. Nat. n. al. 式 14. 彈性係數定義. Ch. engchi. r0 = 0.357σ. 式 15. r0 常數定義. 17. er. io. sit. K spring = 10s K 0 ，s ∈ N，K 0 = 1.5552 × 105 ϵ. i n U. v.

(27) 彎曲位能及扭轉位能的定義如下:. Θ(θi,j,k ) = K b cb (cosθijk − cosθ0 )2 1 ≤ i ≤ N = 10000 j = i ± 1、k = i ± 2 式 16. 彎曲位能. 3. Φ(φijkl ) = K t ∑ ai (cosφijkl )i. 政治大 1 ≤ i ≤ N = 10000 i=0. 立. 式 17. 扭轉位能. 學. ‧ 國. j = i ± 1、k = i ± 2、、k = i ± 3. ‧. y. Nat. 式 16.中θ0 =112.8o、K b = 0.1、cb = 1097ϵ，也就是表示彎曲位能必不為零，. io. sit. 必有一基本彎曲位能存在，而其基本位能值為Θ = 211.282ϵ。式 17. K t = 0.1，. er. 扭轉位能具有兩種基本位能值，一是當φ = 0o，Φ = 5.78269ϵ，二是φ = 112.8o ，. al. n. v i n Φ = 5.78269ϵ。在上述這些位能的條件下，我們定義以δt = 2.5 × 10−6 τ為我們 Ch U engchi −12 系統模擬每步的時間，實際大約10. s 左右的時間。. 18.

(28) 學. ‧ 國. 立. 政治大. 圖 14. 系統溫度變化圖(引用自[ 2]). 另外本系統並沒有針對系統溫度做任何控制，因此隨著時間的演進，整個系. ‧. 統的溫度因為交互作用的關係是增加的，本系統 k 值為 k4(圖 14.)。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 19. i n U. v.

(29) 3.2. 物理分析. 我們主要目的在於隨機矩陣的分析，但在利用隨機矩陣理論分析之前，我們先用一般統計方法先分析其系統所顯現出來的物理性質，之後再對其結果做對照。. 結構分析. 3.2.A.. 在結構的分析上，其代表的就是其系統靜態粒子間的關係，而我們利用式 4. 將粒子在實空間的位置傅立葉轉換到 K 空間表示，並且定義 S(K)大於 0.01 為亮. 政治大. 點，以此來觀察其系統結構隨著時間演進之變化。. 立. N. ‧ 國. 學. S(𝐤) = | ∑ ei𝐤．ri |2 i. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 15. t=2.425τ S(K)值三維圖. 20.

(30) 從圖 15.可以發現，系統結構轉換到 K 空間後，出現四個群集的亮點，但是範圍不是很大，可以說結構相當鬆散，如果結構密集，則會出現大範圍且形狀明顯的亮區。此外，越接近 K 空間中的原點，代表在實空間中離實空間原點越遠，反之，越遠離 K 空間中的原點，代表在實空間中離實空間原點越近。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. 圖 16. t=4.15τ S(K)值三維圖. Ch. engchi. v. 演進到 t=4.15τ，在 K 空間上大部份的空間小於定義的亮區值 0.01，這時可以說在結構上，隨著時間的演進結構己經到最鬆散的時候，以致無法有足夠的結構有亮區的產生，並且比較初始步而言，只剩兩個群集，的確有較鬆散的可能。. 21.

(31) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. ‧. ‧ 國. 學. (E). Nat. n. al. er. io. sit. y. (F). Ch. engchi. i n U. v. (G). (H). 圖 17. t=2.425-11.175τ S(K)值三維圖 22.


(33) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. ‧. ‧ 國. 學. (E). Nat. n. al. er. io. sit. y. (F). Ch. engchi. i n U. v. (G). (H). 圖 19. t=22.425-31.5τS(K)值三維圖 24.


(35) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. ‧. ‧ 國. 學. (E). n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 21. t=42.425-47.4τS(K)值三維圖. 從圖 17.到圖 21.觀察發現，整個演進的過程中，沒有一個固定且完整不變的結構產生，只有一些小群集結構產生，但是也沒有長久固定不變，可以在此分析的猜測，整個系統的物理結構沒有規則可循，也就是說粒子與粒子之間其靜態的關係可以說是完全隨機的關係，因為我們才考慮之後以隨機矩陣來分析數據，來觀察是否有不同的現象。 26.

(36) 統計分析. 3.2.B.. 在物理統計中，可定義某些方法利用統計數字來表示此系統的特性，我們先利用單體粒子對分佈函數 g(r)(式 1.)分析，此分析可以表示在該步的當下，各粒子與各粒子之間的相對位置關係，g(r)越大代表分佈在 r 位置的球殼分佈粒子密度多大。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 22. t=2.425 τg(r)-r 圖. 從圖 22.可以發現有較可分辨的四個峰值，並且第一個峰值比另三個峰值還要高出許多，比第二個峰值高約 550%，第二峰值比第三峰高約 400%、第三峰值比第四峰高約 300%，但這只是在 t=2.425τ時所得到結果，那麼如果在時間的演化下，這四個可分辨的峰值會有什麼變化，也許就可以提供值得分析的資訊在裡面。因此，我們將每一步四個峰值取出，對每一步作圖，就可以得到四個峰值隨著時間變化的結果。. 27.

(37) 學. ‧ 國. 立. 政治大. 圖 23. g(r)峰值對步數圖. ‧ sit. y. Nat. 我們將峰值對步數作圖後發現令人意外的結果，第一個峰值隨著步數的變化. al. er. io. 相當小，大約是 0.0001%的變化量，而第二、三、四峰值從最高值到最低的變化. v. n. 量大約是 25%左右，與第一峰值比起來有明顯的變化量，對照圖 22.分析，唯一. Ch. engchi. i n U. 較特別的是第一峰值，一是隨著步數的變化幾乎是沒有的，二是此峰值剛好代表是粒子與粒子間彼此最接近的分佈。在隨著步數變化而沒有改變分佈的唯一可能就是聚合物鏈的粒子，因為鏈中粒子被鍵結住彼此間距離被固定在一定範圍內，也因此在步數的演化上相對位置是不太會變化的，而其餘峰值的變化可以觀察的出來各粒子比較不喜歡留在原本的位置上，這可以說是因為我整個系統在運動的過程中會產生出熱能，但是本系統並沒有特別去控制溫度，因為系統溫度在演化上都在上升，造成粒子動能增加，彼此間距離也就跟著增加，並且擾動量也跟著增，造成分佈下降的現象。. 28.

(38) 從圖 22.、圖 23.中可以知道系統粒子的分佈的特性，並且在步數演化上的變化，那在這些特性與變化中，各粒子之間的關係，除了我們己知設定微觀上若干項位能外(式 12.、式 13.、式 16.、式 17.)，在巨觀的統計上是否有特別的結果?我們將式 1.改寫，在其加入速度方向關係(式 2.)來構成式 3.，用來表示，各粒子與各粒子之間，在不同距離上彼此之間的關係是如何，此方法討論的關係由式 2.可以發現只討論速度方向相關性，與速度大小無關。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 24. vc(r)對 r 圖. 我們一樣先針對 t=2.425τ進行統計分析，從圖 24.可以發現隨機彼此距離越遠，平均速方向關係就越小，反之距離越近，平均速方向關係就越大，在物理的直覺上是可以理解的，距離越近，彼此的交互作用應該就要用大。. 29.

(39) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 25. 第 100-400 步 vc(r)對 r 圖. ‧ sit. y. Nat. 改針對其它步數做同樣的分析，其結果與 t=2.425τ的分析結果相去不遠，. n. al. er. io. 也就是說，就算隨著步數演化，速度關係分佈並不會有什麼特別的變化。. 3.3. Ch. 物理分析總結e n g c h i. i n U. v. 從 3.2.A 結構分析結果中發現其結構關係無一定結構，從而猜測粒子彼此的結果關係為隨機，但在 3.2.B 統計分析中卻發現，粒子彼此間有一定的關係，這讓我們對利隨機矩陣分析的結果產生了興趣，一般隨機矩陣很多用在金融數據關係矩陣或是原子能階問題，並沒有利用在分子動力複雜系統上，因此我們將以己知的隨機矩陣理論，建構以速度方向為關係的隨機矩陣，以觀察是否有與以往不同的結果。 30.

(40) Chapter 4. 隨機矩陣數值分析雖然我們將利用隨機矩陣理論來分析，但是以往的矩陣運算，其矩陣內的元素都是純量來運算分析，我們將利用歸一化向量當作矩陣元素來運算分析，必定需要定義新的、但不離原本理論的運算方法。. 4.1. 方向關係矩陣建構. 政治大. 我們考慮利用 Wishart matrix 關係矩陣的形式建構矩陣(式 8.)，但是建構的. 立. 矩陣 A 的元素為歸一化向量，代表系統中各粒子的歸一化速度，而原本 Wishart. ‧ 國. 學. matrix 的建構只在純量的相乘，現在為向量的相乘，其相乘的定義與式 2.相同，我們將其定義名稱為方向關係矩陣(Correlation matrix of direction，簡稱 C.M.D.)，. ‧. 先以 T=1 為例，建構示意如下：. y. c1 2 c1 N−1 c1 N ⋯ ⋯ c2 2 c2 N−1 c2 N al v ⋱ i n ⋮ C h e n g c h i ⋮U ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ cN 2 cN N−1 cN N ]. n. er. io. sit. Nat. c1 1 c2 1 ⋮ ⋮ ⋮. [cN 1. 圖 26. T=1，C.M.D.建構示意圖，其中cij = cosθij =. 𝐯𝐢 ．𝐯𝐣 √|𝐯𝐢 |2 |𝐯𝐣 |2. 從圖 26.可以發現，對角線必定為 1，而其它任一元素必定為-1 至 1 之間，代表的是粒子間的速度方向的完全負相關與完全正相關，而我們一樣先針對 t=2.425τ做分析，首先分析的就是建構完全的 C.M.D.其元素的分佈。 31.

(41) 方向關係矩陣分析單步矩陣元素分佈. 4.2.A.. 立. 政治大. 學. io. n. al. sit. 圖 27. t=2.425τC.M.D.元素分佈. er. Nat. y. ‧. ‧ 國. 4.2. Ch. engchi. i n U. v. 圖 28. 第 600、1500 步 C.M.D.元素分佈. 32.

(42) 圖 27.為 t=2.425τT=1、N=10000(粒子數)，1-4000 為聚合物鏈粒子、 4001-10000 為流體粒子，維度為10000 × 10000所建構的 C.M.D.元素統計，顯示出元素分佈是主要是平均分佈，而在hij = 1的數量會比其他值更多的原因在於 C.M.D.對角線的貢獻，扣除其對角線的貢獻，元素分佈就是完全的平均分佈，所代表的意義在於粒子與粒子之間速度方向的相關係可以認為是平均隨機的型態。並且繪制任意兩步的 C.M.D.元素分佈，發現也是平均隨機分佈。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 33. i n U. v.

(43) 單步特徵值、特徵向量分析. 4.2.B.. 接下來針對 t=2.425τ單步，也就是 T=1 的 Wishart matrix 的特徵值、特徵向量分析，其矩陣維度為10000 × 10000：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 29. t=2.425τ特徵值分佈圖. 我們計算了 t=2.425τ的特徵值的結果(圖 29.)發現只有三個極大值的特徵值，其餘 9997 個特徵值都為 0(值約為 10-12)，這個結果讓我們相當意外，因為在維度為10000 × 10000的矩陣共有 10000 個特徵值，而只有三個非零的特徵值，而三個非零特徵值又是同一個級數大小，我們知道在隨機矩陣的理論中，有多少個極大的特徵值，就代表這個系統有多少個群集存在，那麼在這邊我們假設此系統中的確有三個群集存在，這三個群集的行為由其所對應的特徵向量裡的元素來表現。 34.

(44) 但這並不能解釋為什麼只有三個非零特徵值，如果單依照特徵值的理論，出現零值特徵值代表行空間或列空間線性相依，但如果是 9997 個行空間或列空間相依，在平均隨機的矩陣元素，實在很難連接其結果，若利用線性代數的理論，我們則可以得到一些相似的結果：. 設 A、B ∈ RT×N ，且 N > T. 我們知道以下幾個定理：. 政治大 rank(A) = rank(A ) = rank(B) = rank(B ) = T 立 t. t. ‧ 國. 學. 且依照線性空間映射理論，一向量用 A、B 空間映射，空間只會小於等於第. y. Nat. 學式如下：. ‧. 一步映射空間，且映射為 0 的空間稱為映零空間，其空間恆不變(秩-零定理)，數. n. al. er. io. 綜合以上結果. sit. dim(AB) ≤ dim(B) ，也就是 rank(AB) ≤ rank(B). i Crank(AB) ≤ rank(B)U n hengchi t t. v. = rank(B A ) ≤ rank(A) 因此. rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) 設 B = At rank(AAt ) = rank(At A) ≤ min(rank(A), rank(At )) = rank(A)=T. 35.

(45) 依照上述的結果，在維度 N 的矩陣中特徵值為 0 的量就是N − T，如此對照圖 29.，只三個非零特徵值，也就是說 N-T=9997，T=3，這個跟我們預設 T=1 有不同，但是 T=3 讓我們馬上聯想到是三維方向產生的可能，因此我們重新拆解原本建構的方式： 𝑣1 𝑣2 . . H= ．[𝑣1 ．. 𝑣9999 [𝑣10000 ]. 𝑣2. 𝑣9999. . .. 𝑣10000 ]. 政治大. 以上的運算可視為以下的矩陣運算：. 立. ‧ 國. 𝑣1𝑧 𝑣2𝑧. 𝑣2𝑥 𝑣2𝑦 𝑣2𝑧. 𝑣9999𝑥 𝑣9999𝑦 𝑣9999𝑧. . .. 𝑣10000𝑥 𝑣10000𝑦 ] 𝑣10000𝑧. sit. y. Nat. 𝑣9999𝑥 𝑣9999𝑦 𝑣9999𝑧 𝑣 [ 10000𝑥 𝑣10000𝑦 𝑣10000𝑧 ]. 𝑣1𝑥 𝑣 ． [ 1𝑦 𝑣1𝑧. ‧. H=. 𝑣1𝑦 𝑣2𝑦 . . ．.. 學. 𝑣1𝑥 𝑣2𝑥. al. er. io. 式 18. C.M.D.以 Wishart matrix 展開. v. n. 因此我們得到了 T=3 的結果，也就是說這種方法建構出來 T=1 的 C.M.D.其. Ch. engchi. i n U. 實就是原本 Wishart matrix T=3 的結果，那麼這樣 C.M.D.的特徵向量是否有資訊在裡面值得探討。. 36.

(46) 學. 圖 30. t=2.425τ C.M.D.特徵向量圖. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. 我們將對應三個極大特徵值的特徵向量分別針對裡面元素分析，前 4000 個. sit. y. Nat. 代表聚合物鏈粒子的量，後 6000 個為流體粒子的量，若只單看一個對應的特徵. al. er. io. 向量無法得到整體系統的訊息，因為還有另外兩個所代表的量值，整體看起來才. v. n. 有可能是整個系統的訊息，因為我們將三個特徵向量當作成 x、y、z 座標值，分. Ch. engchi. i n U. 別代表粒子 1-10000 的座標，將其繪製在三維座標上如圖 30.。並且以不同顏色標示聚合物鏈粒子及流體粒子，紅色為聚合物鏈粒子、綠色為流體粒子。結果我們發現在三維座標上圖呈現一個球形，且感覺為有一定厚度的球殼，因此我們改利用粒子球面密度來得知粒子分佈的行為。而成球形的這個成因其實可以思考一下，我們把所有粒子速度都歸一化，而其速度的三維相空間上，一定會成為半徑為 1 的球，所以其球形可以說是其歸一化速度在速度三維相空間上的呈現。. 37.

(47) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 31. t=2.425τC.M.D.特徵向量球面密度分佈圖. ‧ sit. y. Nat. 圖 31.中，紅線圖最低的是聚合物鏈粒子，綠色中間線是流體粒子，最高黑. al. er. io. 色線是兩種粒子的總合，分析的結果令人感到意外，理由是聚合物鏈粒子及流體. v. n. 粒子的球面密度分佈的型態是一樣的，只有大小的不同，大小的不同純粹來自於. Ch. engchi. i n U. 粒子數的不一樣。目前來說沒有一樣的理由，照理來說應該可以是各種型態的疊合，我們可以考慮各步演化的結果是否一樣。. 38.

(48) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. ‧ 國. 學 ‧. (E). Nat. n. al. er. io. sit. y. (F). Ch. engchi. i n U. v. (G). (H). 圖 32. t=2.425-19.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖 39.

(49) 立. (A). (B). (C). (D). 政治大. ‧ 國. 學 ‧. (E). Nat. n. al. er. io. sit. y. (F). Ch. engchi. i n U. v. (G). (H). 圖 33. t=22.425-39.925τ C.M.D.特徵向量球面密度分佈圖 40.

(50) 由圖 32.、圖 33.可以看得出在步數的演化下聚合物鏈粒子與流體粒子的 C.M.D.特徵向量球面密度分佈的型態是一樣的，在這邊我們可以猜想，其型態一樣的原因可以是在那一步的當下，就像時間停止一樣，各粒子所作的運動狀態、交互作用的對象、作用後的結果是相對一樣的，所以在球面密度分佈上型態才會是一樣的。另外可以思考的是此球殼的厚度，是否跟矩陣的維度有關?我們已知特徵向量為歸一化特徵向量，故其元素平均值應該就是. 1 √𝑁. ，所以值大約多少會跟 N 值. 有關，那麼我們就將 N 慢慢增加，其方向也是平均隨機分佈構築的 C.M.D.，觀察其球殼厚度的變化。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 34. 球殼厚度對維度變化圖. 2. 圖 34.表示出隨著維度的增加，球殼厚度逐漸變薄，且以√𝑁變薄，這在數學上能否得到證明令我們有相當大的興趣。. 41.

(51) 步數演化特徵值、特徵向量分析. 4.2.C.. 現在我們考慮 T=2000 為第一次計算，以每次增加 2000 到 40000，再觀察其特值、特徵向量有什麼不一樣的變化。除此之外，因為這個完全近似於 Wishart matrix 的類型，所以我們另外由完全平均隨機方向所構築的 C.M.D.來當作理想狀況，來比較我們聚合物鏈系統構築的 C.M.D.有什麼不同，而我們預期一件事，從式 18.知道當全平均隨機 C.M.D. T=10000 時，非常有可能與 T=30000 的 Wishart matrix 的結果相似甚至於一致。而 C.M.D.的元素圖 26.改為如下：. c1 2 c2 2. 立. ‧ 國. [cN 1. cN 2. ⋮ ⋮ ⋮. cN N ]. Nat. y. ‧. ⋮ ⋮ ⋮. c1 N c2 N. 學. ⋮ ⋮ ⋮. c1 N−1 ⋯⋯ 政治c2 N−1 大 ⋱ ⋮ ⋮ ⋯⋯ ⋮ cN N−1 1. n. al. 𝐯𝐢𝐭 ．𝐯𝐣𝐭. √|𝐯𝐢𝐭 |2 |𝐯𝐣𝐭 |2. er. io. 圖 35. 步數演化 C.M.D，其中𝑐𝑖𝑗 = 𝑇 ∑𝑇𝑡. sit. c1 1 c2 1. i n U. v. 圖 35.表示出維度為 N，其 C.M.D.的對角線結果與圖 26.結果一樣都為. Ch. engchi. 1，其餘元素都為-1 至 1 之間，並且可以先從式 18.預測其特徵值結果，應該不會再有只有三個非零特徵值之結果，其結果令我們感到好奇。. 42.

(52) 立. 政治大. 圖 36. 全平均隨機 C.M.D.元素分佈. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 37. 聚合物鏈 C.M.D.元素分佈. 43.

(53) 比較圖 36.與圖 37.，兩者都是 T=2000 到 10000 間以 2000 為間隔的增加， T=10000 到 40000 以 8000 為間隔的增加，會選擇這樣的間隔來分析的裡由來自於式 9.，其中定義Q ≥ 1，因此在T ≤ N時我們要密集地取每 2000 作一次分析，當T ≥ N時就取較少的量以每 8000 作一次分析直到 T=40000 為止，而取到 40000 的裡由在於式 18.，我們預測聚合物鏈 C.M.D. T=10000 時，應該與 Wishart matrix T=30000 類似，因此為了保守起見，我們將都取T ≥ 30000，來觀察結果。圖 36. 的分佈很明顯呈現高斯分佈(圖 10.)，隨著 T 增加其代表寬度的σ跟著減少(式 11.)，那麼從單步開始，原本是平均隨機分佈的矩陣，T 增加之後成為高斯分佈. 政治大而這樣的結果有10 個元素，那麼統計起來的結果就會跟隨機漫步(Random Walk) 立. 的原因很簡單，從圖 35.可以知道，每一個矩陣元素都是-1 到 1 的 10000 次總和， 8. 的結果一樣[ 17][ 18]，呈現高斯分佈。. ‧ 國. 學 ‧. 圖 37. 聚合物鏈 C.M.D.元素分佈的結果，跟圖 36.類似，但是有幾件事不. sit. y. Nat. 同，第一是在值為 1 的統計上一定都會有一個峰值，這跟單步統計的結果相同(圖. io. er. 27.)，這是對角線為的貢獻，但與(圖 36.)不同。第二，如果扣掉對角線的貢獻，其圖形雖與圖 36.類似，但是兩端的值並非為零，比較像是高斯水平上移後，兩. n. al. Ch. 端隨著 T 的增加而有些許的變形。. engchi. i n U. v. 無論如何，雖然構築的矩陣方式類似，但是在模擬系統的資料上，與全隨機的的結果有不同，我們可以認為在這樣的模擬系統的矩陣的分析上，的確有與一些我們未知道的資訊在裡面，因此我們比較其兩者的特徵值分佈可能會有不一樣的資訊出現，更甚者其兩者的特徵向量球面密度也有不一樣的資訊。. 44.

(54) 立. 政治大. 圖 38. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 39. 聚合物鏈 C.M.D. 特徵值分佈觀察圖 38.發現跟 Wishart matrix 的特徵值分佈相似(圖 7.)，且為連續分佈，因此我們利用式 9.去作擬合，看其行為是否與我們的預期相似(圖 40.)。 45.

(55) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 40. 全平均隨機 C.M.D.特徵值分佈 Marchenko–Pastur 擬合. ‧. y. Nat. 圖 40.為圖 38.的 Marchenko–Pastur 擬合圖，我們發現 Q 值與我們的預測相. al. ，而σ約 1 左右，也就是不管 C.M.D.元素分佈為何，σ值都為 1，與特徵. n. 𝑁. er. 3×𝑇. io. Q=. sit. 同，我們預測圖形應該會與 Wishart matrix 的 3 倍 T 值相似，其 Q 值剛好就是. Ch. engchi. i n U. v. 值分佈無關，但這分佈跟我們預測相當接近，所以我們可以確定說如果是全平均隨機的 C.M.D.，其性質會跟與 Wishart matrix 的 3 倍 T 值相似。但我們觀察圖 39. 發現與圖 38.相去甚遠，但這邊我們之前就假設全平均隨機 C.M.D.為理想狀況，因為我們可以確認聚合物鏈 C.M.D.的確有一定的資訊在裡面，並且隨著 T 的增加，圖 39.的分佈就越集中於零，但仍有至少大於 10 倍的三個極大特徵值存在，這代表矩陣的相依性就越重，也代表著其系統內的粒子與粒子間的相關性，隨著時間的增加，相關係越來越重。這當然從物理上可以理解的，那麼在這樣特徵值如此不同的，三個極大特徵值是否有也有特別的訊息在裡面令我們感到好奇。. 46.

(56) 立. 政治大. 圖 41. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量圖. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 42. 聚合物鏈 C.M.D. T=40000 特徵向量球面密度分佈圖. 47.

(57) 我們先分析 T=40000 C.M.D.三個極大的特徵值所對應的特徵向量來分析，其分析方法與 4.2.B 章節一樣，從圖 41.可以發現與單步特徵向量的球是不一樣的(圖 30.)，流體粒子的部份還是維持一個球的形狀，而聚合物鏈粒子則往球中心集中，其分佈的狀態如圖 42.所示，不但向球心集中，且不維持一個球形，這可以理解為，在步數的演化下，流體粒子因為受到的束縛相對於聚合物鏈粒子少 (3.1 )，所以在這整個系統上是相對自由許多，所能對各個粒子作交互作用的機會也比聚合物鏈粒子大很多，所以在隨著步數的演化，流體粒子在相關性上，所代表得比例就會比聚合物鏈粒子大的多。相反的，聚合物鏈粒子因為受到三種位. 政治大步數演化的增加，這個現象就越加明顯(圖 43.)，流體粒子與聚合物鏈粒子會越立. 能的束縛，所以在步數的演化下，相關性上所代表的比例就會小許多。而且隨著. 分越開，也就代表現象越明顯。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 43. 聚合物鏈 C.M.D. 步數演化特徵向量球面密度分佈圖. 48.

(58) 4.3. 比較系統. 在前文的分析我們發現，相較 T=1 單步的分析，將 T 逐漸增加到大於粒子數 N 也較多的訊息在裡面，因此我們利用逐漸增加 T 來分析其它系統，並且發現球的成因來自於流體粒子，因為接下來將以流體粒子為主做比較。. 純流體粒子系統. 4.3.A.. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 44. 純流體系統三維示意圖. 第一個比較的系統是具有 16000 粒子數的純流體的系統(圖 44.)，裡面所具有的位能只有 L-J Potential，且一樣是無限大空間的系統。. 49.

(59) 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧. 圖 45. 純流體系統 C.M.D.步數演化特徵值分佈圖. y. Nat. 從圖 45. 我們發現，在純流體粒子的特徵值之分佈上，並沒有像聚合. er. io. sit. 物鏈系統一樣有三個極大的特徵值，而是無任一極大值的連續性分佈，因此沒有一個特定的徵值向量可以分析。之前我們在聚合物鏈的分析上認為，就. al. n. v i n 算在有步數的演化上有三個極大的特徵值，也可能是歸一化速度在三維速度 Ch engchi U. 相空間上的表現，結果在純流體的系統上並沒有此一現象，因此之前的假設可以說，在聚合物鏈的系統上，有三個主要的群集主導了整個系統，非常有可能是聚合物鏈的三個位能，但仍要再確認。. 50.

(60) 通道流體粒子. 4.3.B.. 我們另外考慮一個系統，我們設定 Z 軸方向上下有一道牆，讓粒子受向+X 方向的力流動，也就是整個系統都有受一個外力作用，利用 C.M.D.的方法來分析這樣的系統。此系統內也與前一節一樣(4.3.A)具有 16000 粒子，也同樣只有. 政治大. L-J Potential，δt = 1 × 10−4 τ ，在這樣的系統來看看其結果如何。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 46. 通道流體系統三維示意圖. 51.

(61) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. v. n. 圖 47. 通道流體粒子 C.M.D.步數演化特徵值分佈圖. Ch. engchi. i n U. 此系統在 C.M.D.特徵值分佈又不一樣了，雖然絕大部份呈連續分佈，但是每一步數演化都有一個極大特徵值，而且此特徵值隨著步數增加越來越大，與之前不一，之前的最大特徵值都隨著步數的增加而變小(圖 48.、圖 49.、圖 50.)。. 52.

(62) 綜合比較. 4.3.C.. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖 48. 聚合物鏈系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 49. 純流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖. 53.

(63) 立. 政治大. 圖 50. 通道流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. 這三個系統的最大分別就是通道流體系統為一個持續有一外力對此系統作用(圖. io. er. 50.)，而聚合物鏈系統(圖 48.)及純流體系統(圖 49.)，除了內部設定的溫度控制及內部位能外，並沒有其它外力作用於該系統。因而造成圖 50.的不同，但是隨. al. n. v i n 著步數的變化，其特徵值變化為先減少後再增加，這可以從維度來思考，最低點 Ch engchi U. 的步數值 T 大約落在 6000 至 8000 之間，而其粒子系統剛好 N=16000，其 3T 剛好大於 N 值，大於 N 值後，其特徵值才明顯得表現出其系統的特色。但我們仍無法解釋我們在聚合物鏈粒子系統球的成因，所以我們回過頭分析該系統各粒子所具有的時間尺度，發現聚合物鏈粒子與流體粒子的時間尺度完全不同，也就代表流體粒子交互作用非常之小，導致每一個 T 其 C.M.D.元素值幾乎相同沒有改變，使得整個 C.M.D.的秩為 4000+3，4000 為聚合物鏈粒子的貢獻，3 為流體粒子的部份，因此三個極大特徵值為大小相當的 6000/3 之值，讓我們確認這就是球的成因。 54.

(64) 立. 政治大. 圖 51. 聚合物鏈系統時間尺度圖. ‧ 國. 學 ‧. 但其實這之間就有更令人有趣的基本問題了，當 3T 小於 N 的時，其所建. y. Nat. 構出來的 C.M.D.都為奇異方陣，而其非零特徵值都有一定的分佈範圍，我們可. er. io. sit. 以思考是否為其 C.M.D.的基本性質。而我們猜想，其特徵值的分佈，也許與 C.M.D. 元素分佈有關，因此我們針對 C.M.D 的元素分佈對特徵值分佈分析，並且從 T=1. n. al. 慢慢增大來分析。. Ch. engchi. 55. i n U. v.

(65) 立. 政治大. 圖 52. 聚合物鏈系統 C.M.D.元素分佈. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 53. 純流體粒子 C.M.D.元素分佈. 56.

(66) 立. 政治大. 圖 54. 通道流體系統 C.M.D.元素分佈. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. 聚合物鏈系統 C.M.D.元素分佈(圖 52.)與高斯分佈(圖 10.)相近，但明顯的不. er. io. sit. 同，兩端並非為零，而純流體系統(圖 53.)的分佈就很明顯為高斯分佈，也就是純流體系統的隨機性相當的大，通道流體系統(圖 54.)很明顯的隨著時間越長，. al. n. v i n 其粒子與粒子間成正相關，這也是因為該系統有一外力持續作用之原故，所有的 Ch engchi U 粒子都因外力作用，而慢慢的朝+X 方向前進，照成粒子間長時間成正相關。在這樣的分佈下，再去分析三種系統在 3T 大於 N 時非零特徵值的分佈及 3T>=N 的特徵值分佈。我們首先從隨機方向的狀況下去分析其特徵值分佈對 C.M.D.元素分佈的型態做一個基本分析。其可以代表分佈狀態的標準差值(特徵值標準差 𝜎λ 、矩陣元素標準差𝜎𝑀 )來分析其相關係，結果發現維度對於標準差也會有不同的結果(圖 57.)，且不同類型的分佈，最後都會呈同樣的結果，但因為我們的系. 統 N 值為 10000 及 16000，所以我們只取 uniform N=10000 及 16000 對我們的系統來比較(圖 55.)。 57.

(67) 立. 政治大. 圖 55. 各系統特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差. ‧ 國. 學. 我們發現除了通道流體系統因為恆有一力作用的關係外，聚合物鏈系統. ‧. (N=10000)及純流體系統(N=16000)，其曲線都會朝純隨機的曲線趨近甚至重合。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 56. 不同聚合物鏈位能比較 (綠色線為純聚合物鏈、無流體粒子，並且鏈與鏈之間只剩彈性位能𝑘𝑠 = ∞) 58.

(68) 立. 政治大. 圖 57. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 58. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差擬合. 59.

(69) 立. 政治大. 圖 59. 隨機 C.M.D.特徵值標準差對時間長度擬合. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 60. 隨機 C.M.D.元素標準差對時間長度擬合. 60.

(70) 圖 55.各系統接近隨機的曲線的部份為 3T<N 的區段，這一段值得思考，因為在 3T>N 時其隨機的 C.M.D.元素特徵值標準差、特徵值標準差與時間長度 T 的關係已在圖 38.表現出來，特徵值標準差只與時間長度 T 及維度 N 有關係，與 C.M.D.元素特徵值標準差沒有關係，而且很明顯得，不管是𝜎𝐸 -T、𝜎𝑀 -T 及𝜎𝐸 -𝜎𝑀 ， 1. 在 𝑁 < 3T < N區段在對數圖上呈現直線的型態，討論這段的性質有三，一是 20 當 3T≥N 時，其性質與一般 Wishart matrix 相同，二是. 1 20. 𝑁 > 3T時以我們的結果. 而言因維度太小，樣本數不足，無法將其隨機性質表現在矩陣的分析結果上，三是當 Wishart matrix 在T < N在近幾年來說，是令人有興趣的研究方向。圖 60.. 政治大. 擬合發現其曲現呈√𝑇衰減，其實這就是隨機的特性，隨著隨機的增加，樣本數. 立. 的增加，分佈寬度就會隨著樣本數的開根號減少，因此𝜎𝑀 的變化主要來自於 T. ‧ 國. 學. 的貢獻，也因為如此𝜎𝐸 -𝜎𝑀 ，應該也可以說是純粹時間長度 T 的貢獻，因為隨著 T 的增加，當 3T≥N 時𝜎𝐸 -T 的關係應該會收斂到圖 40.相同的關係因此與𝜎𝑀 無關。. ‧. 那下表整理 C.M.D.的性質：. sit. y. Nat. n. al. 符合區段. er. io. 性質(隨機方向) 特徵值. Ch. Marchenko–Pastur 分佈(σ = 1). engchi. iv n U 3T ≥ N. 𝜎𝐸 -T 呈σE = aT −0.5 + b. 25 < 3T. 𝜎𝑀 -T 呈σM = aT −0.5 + b. 3T < N. 表 1. C.M.D.性質列表. 61.

(71) Chapter 5. 結論我們建新的方向關係矩陣(Correlation matrix of direction，C.M.D.)，是以粒子運動方向為變量的 Wishart matrix，在方向完全隨機的情況下，與純量 Wishart matrix 相似(圖 40.)，其特徵值分佈在高維度、長序列的情況與 Marchenko–Pastur distribution 吻合。我們將 C.M.D.分佈利用在分析分子動力模擬系統上，追蹤時間序列從短到長的趨勢變化，在單步時因為整個矩陣維度的性質，只能得到其歸一化速度在三維速度相空間上的體現，無法得到特別的訊息，當我們所研究的聚合物鏈系統時間序列加長，其都仍有三個大小相當的極大特徵值，代表三維特徵. 政治大在其三個極大特徵值對應的特徵向量的分析上，表現出不同粒子的運動狀態特性立. 向量圖的球依然存在，並且球的貢獻來自於流體粒子，其表示隨著步數的演化，. ‧ 國. 學. (圖 43.)。. 為了可以找出適當的物理解釋，因為其球的貢獻來自於流體粒子，因此我們. ‧. 比較兩個不同的流體粒子系統，但得不到我們所想要的物理解釋，其中在單純流. sit. y. Nat. 體粒子的系統(N=16000)，增加時間序列長度，並不存在任何分離的特徵值，而. al. n. 向+X 方向的速度，是造成有一極大特徵值的原因。. Ch. engchi. er. io. 在對於通道流體粒子的系統上，因為有一外力持續作用於系統，所有粒子都帶有. i n U. v. 我們回過頭分析聚合物鏈系統的速度時間尺度發現聚合物鏈粒子與流體粒子方向弛釋的時間尺度不一致。由於流體粒子交互作用的量相當小，因此在每個 T 時其方向自相關大小量值變化不多，導致 C.M.D.其秩只有 4000+3 的量，其球來源就為其三大特徵值 6000/3，所對應的速度相空間，也就是表示，如果在增加 T 的計算上，其三大特徵值的表現沒有消失，代表有一部份的粒子不作交互作用或是交互作用不足。. 62.

(72) 我們確認 C.M.D.的元素分佈的確與其特徵値分佈有關係，但其關係連接來自於時間長度 T，C.M.D. 元素分佈與特徵値分佈分別對時間長度 T 值有 aT −0.5 + b之關係，並且在無外力的情況下，當時間長度夠長皆會朝隨機的結果趨近或是重合，我們期望增加時間長度 T=80000 至 120000 以上，或是加上設定不同的粒子條件也許可以得到不同的資訊。因此，C.M.D.的這個方法，的確可以得到不少相關性的訊息，可以為我們提供簡單且不複雜的關係資訊。但在特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差的圖上(圖 55.、圖 56.)，對於各系統趨近純隨機系. 政治大系統上的輔助，但要如何利用這樣的方法，是我們可以再思考的方向。立. 統的路徑，有可能得到特別的訊息，這個 C.M.D.的方法可以當作分析一個物理. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 63. i n U. v.

(73) Chapter 6. 引用文獻 [ 1] Wen-Jong MA , Chin-Kun HU, J.Phys.Soc.Jpn.Vol.79,NO.2,Feb.(2010) 024005 [ 2] Wen-Jong MA , Chin-Kun HU, J.Phys.Soc.Jpn.Vol.79,NO.2,Feb.(2010) 024006 [ 3] Wen-Jong MA , Chin-Kun HU,J.Phys.Soc.Jpn.Vol.79,NO.5,May(2010) 104002 [ 4] Wen-Jong MA , Chin-Kun HU, J.Phys.Soc.Jpn.Vol.79,NO.10,Oct.(2011) 054001 [ 5] Wen-Jong Ma, Lakshmanan K. Iyer,Saraswathi Vishveshwara, Joel Koplik, Jayanth R. Banavar,Phys.Rev. E Jan. vol.15 No.1 (1995) [ 6]N.W. Ashcroft,N.D. Mermin, Solid State Physics 1976. 政治大 [ 8] Eugene P. Wigner,Annals 立of Mathematics Vol.62,NO. 3,Nov. (1955) [ 7] Jacob Schaefer , Robert Yaris, J. Chem. Phys. 51, 4469 (1969). Press, 2004,3rd. [ 10] Y. Malevergne, D. Sornette Phys. A 331 (2004) 660 – 668. ‧. ‧ 國. 學. [ 9]Mehta, M. L. Random Matrices, Amsterdam ; San Diego, CA : Elsevier/Academic. sit. y. Nat. [ 11] C. W. J. Beenakker, Rev. Mod. Phys., Vol. 69, No. 3, July 1997. n. al. er. io. [ 12] J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (2nd Edition). i n U. v. [ 13] Davey Alba,China's Tianhe-2 Caps Top 10 Supercomputers, IEEE Spectrum, Jun. 17. 2013. Ch. engchi. [ 14] James Jeffers，James Reinders, Intel Xeon Phi Coprocessor High Performance Programming, Feb.11. 2013 [ 15] A. Vladimirov and V. Karpusenko,Heterogeneous Clustering With Homogeneous Code: Accelerate MPI Applications Without Code Surgeryusing Intel Xeon Phi Coprocessors, Oct. 17. 2013 [ 16] Lennard-Jones, J. E. (1924), Proc. R. Soc. Lond. A 106 (738): 463–477 [ 17] Pearson, K.. Nature. 72, 294. (1905) [ 18] P.K. Pathria,Statistical Mechanics, Third Edition (2007) 64.

(74) [ 19] Marjorie G Hahn, Xinxin Jiang ,and Sabir Umarov, J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 165208 [ 20] C Tsallis, Braz. J. Phys. vol.39 no.2a São Paulo Aug. 2009 [ 21] John Wishart, Biometrika ,Vol. 20A, No. 1/2 (Jul., 1928), pp. 32-52 [ 22] Silverstein, Jack W. "The smallest eigenvalue of a large dimensional Wishart matrix." The Annals of Probability (1985): 1364-1368. [ 23] Edelman, Alan. "Eigenvalues and condition numbers of random matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 9.4 (1988): 543-560.. 政治大 trace of a Wishart matrix." Journal of Multivariate Analysis 102.2 (2011): 立. [ 24] Nadler, Boaz. "On the distribution of the ratio of the largest eigenvalue to the. 363-371.. ‧ 國. 學. [ 25] Nagar, Daya K., and Arjun K. Gupta. "Expectations of functions of complex. ‧. Wishart matrix." Acta applicandae mathematicae 113.3 (2011): 265-288.. sit. y. Nat. [ 26] Sandoval Jr, Leonidas, Adriana Bruscato Bortoluzzo, and Maria Kelly Venezuela.. io. er. Not all that glitters is RMT in the forecasting of risk of portfolios in the Brazilian stock market,Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. n. al. 410 (2014): 94-109.. Ch. engchi. i n U. v. [ 27] Chen, Huan, Yong Mai, and Sai-Ping Li. Analysis of network clustering behavior of the Chinese stock market, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2014). [ 28] The Oxford handbook of random matrix theory. Oxford University Press, 2011. [ 29] Laloux, L., Cizeau, P., Bouchaud, J. P., & Potters, M. (1999). Noise dressing of financial correlation matrices. Physical Review Letters, 83(7), 1467.. 65.

(75) Chapter 7. 附錄 7.1. MPI 平行運算. 此次使用到大量計算，用以往的單核心運算己無法符合計算需要，我們應應用到 Intel 公司最新運算產品 Intel® Xeon Phi™協同處理器，達到計算中時間成本上最佳效果。一般使用大量運算大多使用 GPU 或是 Cluster，建置、購買都較高，但此一產品可以較低的成本達到多核心平行運算的效果，該產品己經利用在中國超級電腦天河二號上[ 13] ，其系統設定參考各個實驗室文章及相關書藉。. 政治大. 主機規格如下：. 立Intel Xeon E5-1620(8cores,3.6 GHz/10M). 主機 CPU. ‧ 國. 64GB DDR3 Reg.ECC Memory(伺服器級記憶體). y. Nat. io. sit. NVDIA Q600 1G DDR3. er. 顯示卡. 6GB GDDR5. ‧. 記憶體. 學. 協同處理器. Intel Xeon Phi 3120A(57 cores,1.1GHz/28.5M). n. a l 表 2. 運算主機規格表 i v n Ch U engchi. 考量到 E5 CPUs 跟 Phi CPUs 不同規格，處理資料量必定不同，在做資料切割運算時，為求最大效能，最好所有 CPU 同時完成處理，不會有 CPU 閒置，故先測試其效能，同樣在處理雙迴圈 10000*10000 大小的矩陣，Rank=0 的 E5 CPU 在處理外迴圈 13 步之後，Rank=54 的 Phi CPU 才完成 1 步，因此單一 Host CPU 與 Coprocessor CPU 處理效能約 13:1(圖 61)。. 66.

(76) 政治大立圖 61. E5、Phi 效能測試圖 ‧. ‧ 國. 學. 故在這樣的考量下，若總共 104 步，那麼 x 為 E5 負責的步數、y 為 Phi 的步. sit. y. Nat. 數，其中 E5 利用 5 個核心、Phi 利用 50 個核心，在這些條件下，會有約 x=1130、. al. n. 本最大效果。. er. io. y=87 最佳解，利用這樣的方式，可以使在我們的程式計算中，得到節省時間成. Ch. engchi. 67. i n U. v.

(77) 5x+50y=10000 x-13y=0 x=1130,y=87. 150. 100. 50. 0. 立. 0. 200. 政治大. 400. 600. 800. 1000. 1200. Host steps. 學 ‧. ‧ 國. 圖 62. Host CPUs 與 Coprocessor CPUs 最佳處理量示意圖. io. sit. y. Nat. n. al. er. Coprocessor steps. 200. Ch. engchi. i n U. v. 圖 63. Intel Xeon E5-1620、Phi coprocessor 3120A 工作示意圖. 68.

(78) 通道流體粒子補充. 立. 政治大. 學 ‧. ‧ 國. 圖 64. 通道流體粒子 Z 軸 X 方向速度分佈圖. io. sit. y. Nat. n. al. er. 7.2. Ch. engchi. i n U. v. 圖 65. 通道流體粒子 Z 軸特徵值. 69.

(79) 在流體通道系統中，因為粒子恆向+X 方向流動，依照流體力學，離上下 Z 方向壁的粒子速度越慢，因此以 Z 軸方向做 X 方向速度分佈就呈一拋物線，並且我們將 16000 顆粒子以 Z 軸位置分十等份，分別對其計算特徵值，發現越接近上方壁的特徵值越小。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 70. i n U. v.

(80)