CHAPTER 3. 模擬及物理分析
4.3. C. 綜合比較
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4.3.C. 綜合比較
圖 48. 聚合物鏈系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖
圖 49. 純流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖
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圖 50. 通道流體系統 C.M.D.最大特徵值對步數演化圖
這三個系統的最大分別就是通道流體系統為一個持續有一外力對此系統作用(圖 50.)，而聚合物鏈系統(圖 48.)及純流體系統(圖 49.)，除了內部設定的溫度控制 及內部位能外，並沒有其它外力作用於該系統。因而造成圖 50.的不同，但是隨 著步數的變化，其特徵值變化為先減少後再增加，這可以從維度來思考，最低點 的步數值 T 大約落在 6000 至 8000 之間，而其粒子系統剛好 N=16000，其 3T 剛 好大於 N 值，大於 N 值後，其特徵值才明顯得表現出其系統的特色。但我們仍 無法解釋我們在聚合物鏈粒子系統球的成因，所以我們回過頭分析該系統各粒子 所具有的時間尺度，發現聚合物鏈粒子與流體粒子的時間尺度完全不同，也就代 表流體粒子交互作用非常之小，導致每一個 T 其 C.M.D.元素值幾乎相同沒有改 變，使得整個 C.M.D.的秩為 4000+3，4000 為聚合物鏈粒子的貢獻，3 為流體粒 子的部份，因此三個極大特徵值為大小相當的 6000/3 之值，讓我們確認這就是 球的成因。
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圖 51. 聚合物鏈系統時間尺度圖
但其實這之間就有更令人有趣的基本問題了，當 3T 小於 N 的時，其所建 構出來的 C.M.D.都為奇異方陣，而其非零特徵值都有一定的分佈範圍，我們可 以思考是否為其 C.M.D.的基本性質。而我們猜想，其特徵值的分佈，也許與 C.M.D.
元素分佈有關，因此我們針對 C.M.D 的元素分佈對特徵值分佈分析，並且從 T=1 慢慢增大來分析。
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圖 52. 聚合物鏈系統 C.M.D.元素分佈
圖 53. 純流體粒子 C.M.D.元素分佈
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圖 54. 通道流體系統 C.M.D.元素分佈
聚合物鏈系統 C.M.D.元素分佈(圖 52.)與高斯分佈(圖 10.)相近，但明顯的不 同，兩端並非為零，而純流體系統(圖 53.)的分佈就很明顯為高斯分佈，也就是 純流體系統的隨機性相當的大，通道流體系統(圖 54.)很明顯的隨著時間越長，
其粒子與粒子間成正相關，這也是因為該系統有一外力持續作用之原故，所有的 粒子都因外力作用，而慢慢的朝+X 方向前進，照成粒子間長時間成正相關。在 這樣的分佈下，再去分析三種系統在 3T 大於 N 時非零特徵值的分佈及 3T>=N 的特徵值分佈。我們首先從隨機方向的狀況下去分析其特徵值分佈對 C.M.D.元 素分佈的型態做一個基本分析。其可以代表分佈狀態的標準差值(特徵值標準差 𝜎λ、矩陣元素標準差𝜎𝑀)來分析其相關係，結果發現維度對於標準差也會有不同 的結果(圖 57.)，且不同類型的分佈，最後都會呈同樣的結果，但因為我們的系 統 N 值為 10000 及 16000，所以我們只取 uniform N=10000 及 16000 對我們的系 統來比較(圖 55.)。
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圖 55. 各系統特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差
我們發現除了通道流體系統因為恆有一力作用的關係外，聚合物鏈系統 (N=10000)及純流體系統(N=16000)，其曲線都會朝純隨機的曲線趨近甚至重合。
圖 56. 不同聚合物鏈位能比較
(綠色線為純聚合物鏈、無流體粒子，並且鏈與鏈之間只剩彈性位能𝑘𝑠 = ∞)
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圖 57. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差
圖 58. 隨機特徵值標準差對 C.M.D.元素標準差擬合
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圖 59. 隨機 C.M.D.特徵值標準差對時間長度擬合
圖 60. 隨機 C.M.D.元素標準差對時間長度擬合
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我們建新的方向關係矩陣(Correlation matrix of direction，C.M.D.)，是以粒子 運動方向為變量的 Wishart matrix，在方向完全隨機的情況下，與純量 Wishart matrix 相似(圖 40.)，其特徵值分佈在高維度、長序列的情況與 Marchenko–Pastur distribution 吻合。我們將 C.M.D.分佈利用在分析分子動力模擬系統上，追蹤時 間序列從短到長的趨勢變化，在單步時因為整個矩陣維度的性質，只能得到其歸