第二章 文獻探討
第三節 Barycentric method
Barycentric method（簡稱 BC 法），重心法利用重心位置，重新對元素 排列，利用重心由小到大的排序產生σ ，即根據B1 ≤B2 ≤L≤Bn，則
定義 2.3.25 重心次序生成矩陣（Barycenter-ordered generating matrix, 簡 稱 BGM）Tm：
(1) Tm的列元素集合與行元素集合是相同的，包含除了零
(2) 的列元素及行元素是收集所有可能的連結情形，故
其中， 有三種排列的可能：(0,1)、(1,1)、(1,0)分別計算這三種 排列的重心質為：
因為k(r2,r2)=k(r2,r2)，所以t22 =0
因為k(r2,r3)<k(r2,r3)，所以t23 ="+"，故t32 ="-"
根據上述條件，可以將T2計算出，
0 -1
0 -3
0 2
1 3 2 T2
+ +
= +
二、使用 BC 法減少交錯邊數的步驟：
首先，說明一個基本原則，及幾個符號的使用：
原 則 ：在進行 BC 法的過程中，每一個步驟做完都要計算其交錯邊 數，若發現交錯邊數並沒有減少，且行列的重心值順序亦未 改變的話，則恢復原本的排列，不進行交換。
：表示最佳矩陣，即行元素、列元素的排列是最佳情形。
M*
：表示最初的矩陣，即原圖的連結矩陣。
M0
K* ：表示連結矩陣為M*時的交錯邊數。
：表示經過 i 次運算後的連結矩陣。
Mi
) (Mi
βR ：表示利用 計算出列重心後，將列元素依照列重心由小至 大重新排列後的矩陣。
Mi
) (Mi
βC ：表示利用 計算出行重心後，將行元素依照行重心由小至 大重新排列後的矩陣。
Mi
) (M
RR i ：表示利用 計算出列重心後，若有列重心值相同的形況，
則交換重心值相同的兩列後所得到的矩陣。
Mi
) (M
RC i ：表示利用 計算出行重心後，若有行重心值相同的形況，
則交換重心值相同的兩行後所得到的矩陣。
Mi
將所有步驟分為兩個階段：
步驟 1：令M*即為M0，計算K*值。
步驟 2：令M1 ≡βR(M0)，計算K1值，並修正M1之行重心值。
步驟 3：若K1<K*，則重新定義M*為M1，K*為K1。
步驟 4：令M2 ≡βC(M1)，計算K2值，並修正M2之列重心值。
步驟 5：若K2<K*，則重新定義M*為M2，K*為K2。
步驟 6：若發現計算重心值時，有兩個重心值相同時，往下一階段進 行，若沒有，則回到第二步驟，重複進行。
第二階段（出現相同的重心值）
步驟 7：如果在步驟 5 中，若修正列重心值後出現兩個相同的列重心，
則令M3 =RR(M2)，計算K3值，並修正M3之行重心值。
步驟 8：此時，如果行重心值皆不相同，且並未依照大小排列，則回 到階段一，若是行重心值出現有相同大小的重心值，則進行 步驟 9。
步驟 9：若修正行重心值後出現兩個相同的行重心，則令
，計算 值，並修正 之列重心值。
) (M R
M4 = C 3 K4 M4
步驟 10：此時，如果列重心值皆不相同，且並未依照大小排列，則回 到階段一，若是列重心值出現有相同大小的重心值，則回到 步驟 7 重複進行。
範例：
圖(六)BC 法範例原圖
步驟 1：寫出連結矩陣
3.5
第三節 Illustrative mapping method 一、定義部分
定義 2.4.28 階層圖:
(
V,E,L,nG
)
若滿足：(1) 分割：V =V1 ∪V2 ∪...∪VN且Vi ∩Vj =φ ∀i≠ j。 (2) 階層函數：L
( )
vi ∈N ={
1,2,...,n}
∀vi∈V 且若有一個邊E v
vi j ∈ ，則L
( )
vi < L( )
vj 。 稱圖 G 為一個 n 階層圖，定義 2.4.29 正規階層圖：
正規階層圖是一個階層圖，滿足：L(Vj)−L
( )
Vi =1， Ev vi j ∈
∀ 。
定義 2.4.30 階層子圖：
一個階層圖的子圖，是一個階層圖，滿足：
（1） 子 集 ：子圖中的頂點集是階層圖中頂點集的 子集，同時子圖中的邊集是階層圖中 邊集的子集。
（2）階層函數不變：子圖與原階層圖共用一個階層函數，
而且所對應的函數值固定不變。
定義 2.4.31 若是 到 只有一條步道，則稱vi vj
(
vi,vj)
基本邊；在本研究 中，不考慮非基本邊。定義 2.4.32 有向邊的重要度：
( )
設n= k2 +1
三、Illustrative mapping method 的繪製流程
Illustrative mapping method 法的繪製，主要是反覆不停地選擇頂 點及放置所選擇頂點，其整個流程如下：
進行，直到全部的概念都擺放完為止。
選擇法則：
1、 挑選能放置於離中心軸最近的概念。
2、 若步驟一中沒有離中心軸最近的概念可選取時，則選取能與 連 接出最多邊的概念。這裡 表示已經擺放上去的概念所成的集 合。
V'
V'
3、 若步驟二仍無法選出概念時，則從滿足步驟二之所有候選概念 中，選取 最小的概念 。這裡 表示概念 與 連結之所有 的有向邊長度之總和。
Lm vm Lm vm V'
4、 皆無法決定的時候，選擇任意一個的元素。
放置法則：
1、某概念選擇放在中心軸的左邊或右邊之準則，乃看該概念放在左 邊時，能與 緊連之頂點的個數較多呢？還是該概念放在右邊較 多來決定，選擇放在較多的那一邊。
V'
2、若步驟一中，左右兩邊緊連的頂點個數一樣多時，則根據與這些 緊連頂點連接的有向邊之邊長總和來決定，選擇放在有向邊之邊 長總和最小的那一邊。
3、若步驟二中，不管放在中心軸的哪一邊其總長都一樣時，則根據 該概念所要放置層級，其在中心軸左右兩邊概念個數的多寡來決 定。選擇放在較少的那一邊。
4、若步驟三中，仍無法決定放那邊時，則任選一邊放置。
其執行的流程繪製如圖七：
圖(七)IM 法流程
為了可以利用電腦做模擬階層圖，Sugiyama 提出了另一種 Illustrative mapping method 的計算方式，是為加權後的 Illustrative mapping method。
定義 2.4.36 加權選擇重要度：
在同一個階層中，以中心軸為主，分左右兩側，每一邊的頂 點權重值，以位在中心軸上的頂點權重值為最大值 1，分別 往兩側遞減，亦可說越接近中心軸的點，加權值越大，其加 權的公式如：
j j j
ij N
n W N − +1
= 。例如欲計算圖中 結點的加權
選擇重要度，先計算同一階層位於主軸左邊的所有頂點數 vj
=4
Nj ，其 所在的位置vj nj =3，所以 的加權選擇重要度值vj 2
1 4
1 3 4− + =
ij =
W 。
定義 2.4.37 加權位置重要度
放置頂點位於同一側時，加權值取正值；反之，頂點與放置
的連接邊數。
（4）在子圖中以不越過中心軸為基準，分別計算左、右兩側頂點 V 可到達的頂點數。
（圖八）為一正規階層圖，實際置入 Illustrative mapping method 演算法中，經過重新排列頂點次序後，所繪製成（圖九）。
圖(九) 經 IM 法重新計算排列之階層圖 圖(八)IM 法範例原圖
第三章 實例應用與比較
在研究過程中，研究者將許多隨機模擬的階層結構圖應用在上述的三 種分析結構圖的方法中，並加以做比較。但是這樣的比較只能探究出 IM 法在減少交錯邊數上，有較好的成效，但是無法得知是否在減少過程中不 會分散概念。因此，便企圖以教材做分析，觀察其概念群聚的效果。在研 究中，以康軒版國小一到六年級教材中與「數」概念有關的單元為例，依 照下列的步驟繪製概念階層結構圖：
首先將教材單元分析取得，並且依照教科書的單元順序給予編號，視 為階層結構圖中的頂點，如表 1 所示。
接著依照年級做階層的區分，一年級為第一階層，六年級為第六階 層，將屬於該年級的頂點繪製與該年級的階層上。
再根據教科書中的教材地位圖判定其概念間是否有關聯，若有關聯則 給予連邊。
將繪製出的概念階層結構圖視為原圖，再根據上述的方法分別對原圖 做分析。
表 1 國小數概念-單元分析
1 1/1 數數看 31 7/5 分數 2 1/3 排順序、比多少 32 7/6 除法
3 1/5 分與合 33 8/1 整數的乘法 4 1/7 數到 20 34 8/3 小數
5 1/8 加和減 35 8/5 概數 6 2/1 數到 50 36 8/6 整數除法 7 2/2 加和減(一) 37 8/8 整數四則應用 8 2/4 加和減(二) 38 8/9 分數的加減 9 2/5 數到 100 39 9/1 整數四則
10 2/9 兩步驟的加減 40 9/3 數列與圖形序列 11 3/1 200 以內的數 41 9/4 分數乘法
12 3/2 二位數的加減(一) 42 9/6 因數與倍數 13 3/4 二位數的加減(二) 43 10/1 估算與小數乘法 14 3/7 幾的幾倍 44 10/3 數量關係
15 4/1 二位數的加減 45 10/5 整數四則 16 4/3 乘法(一) 46 10/6 等值分數 17 4/4 乘法(二) 47 11/1 數的十進結構 18 4/5 分分看 48 11/2 因數與倍數 19 4/7 統計圖表 49 11/4 分數的加減 20 4/8 分數 50 11/5 分數的乘法 21 5/1 2000 以內的數 51 11/6 小數的乘法
22 5/3 三位數的加減 52 11/8 比、比值與成正比 23 5/4 乘法 53 11/9 分數的除法
24 5/6 除法 54 12/1 分數除法 25 5/8 分數 55 12/2 小數除法
26 6/2 乘與除 56 12/3 比率、百分率及成正比 27 6/5 分數的加減 57 12/6 以符號代表數
28 6/7 小數 58 12/7 分數四則應用 29 7/1 10 萬以內的數 59 12/8 等式與數量關係
根據步驟 1~3，可以繪製出原圖，如下圖
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
39 40 41 42 43 44 45 46
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
圖(十)「數」概念之階層結構圖-原圖
根據原圖，可以計算出總交錯邊數為 338 個。觀察原圖發現交錯數十 分繁雜，這樣的階層結構圖並沒有辦法將「易於解讀、易於理解」的效果 展示出來；因此，我們先利用 BC 法對原圖分析、重組。可以得到下面的 階層結構圖。
57 48 58 52 53 60 49 50 54 59 47 55 56 51
41 39 45 46 40 42 44 43
29 32 33 30 35 34 31 36 38 37
21 26 24 23 22 25 27 28
11 20 18 14 16 17 12 13 15 19
1 2 5 6 9 3 4 7 8 10
圖(十一)「數」概念之階層結構圖-經 BC 法計算排列的圖
根據圖(十一），這是經過兩次疊代所得到的階層結構圖，經過計算可 得到總交錯邊數為 132 個。觀察圖(十一)發現交錯數已經大量減少，並且 在已經有些許分群的效果，接著利用 IM 法對原圖分析、重組。可以得到 下面的階層結構圖。
58 54 50 49 51 56 55 47 53 60 48 52 57 59
46 43 40 42 39 45 44 41
31 36 37 38 33 32 30 35 34 29 27 25 28 22 24 26 23 21
19 15 13 12 18 14 16 17 11 20
10 8 7 4 3 1 2 5 6 9
圖(十二)「數」概念之階層結構圖-經 IM 法計算排列的圖
根據圖(十二)，這是經過 IM 法的計算重新調整頂點位置後得到的階 層結構圖，經過計算可得到總交錯邊數為 121 個。觀察圖(十二)可以發現 交錯數比經過 BC 法所調整過的階層結構圖的交錯邊數還少，除了交錯邊 數的減少之外，更佳的特點是，圖(十二)的結果在概念分群上，有明顯的 群聚效果，我們將頂點還原為單元名稱便可明顯的觀察出其群聚的效果。
58 54 50 49 51 56 55 47 53 60 48 52 57 59
第四章 結論與建議
第一節 結論 在研究過程中發現：
1、PM 法的計算過程過於繁雜，計算量十分龐大，就算只有少量的頂 點，也必須耗費比 BC 法、IM 法還要多的時間。在使用上，較不符 合經濟效益。
2、BC 法可以減少交錯邊數，但是沒有辦法有效的將單元分類，因此 相對的減少邊數有限；但是在階層數為 2，頂點數為 4 個以內時，
BC 法會有比 IM 法較佳的效果。
3、IM 法在選擇法則中，常發生因為數個頂點重要度相同，因而只好 任選其一進行放置；在任選的過程中便可能因此而使結構圖的交錯 邊增加，而未達到 IM 法的最佳情況。
4、在探討使用 IM 法後的階層圗中，仍有些交錯邊是可以透過肉眼觀 察、手動排列就可以再繼續減少的；故研究者推測，是由於在 IM 法的使用中，依照重要度的排列，強迫使相關度高的概念(頂點) 聚合；因此，會造成某些頂點在排序過程中被強制定位，因此產 生交錯邊。
5、由於 IM 法在聚集來源相同的群組時，相對的解決交錯邊過於密集 的問題，因此計算使用 IM 法後的階層圖中的交錯邊數，比重心法 的交錯邊數少了 11 個，更有效的達到減少交錯邊的目的。
5、由於 IM 法在聚集來源相同的群組時，相對的解決交錯邊過於密集 的問題，因此計算使用 IM 法後的階層圖中的交錯邊數，比重心法 的交錯邊數少了 11 個，更有效的達到減少交錯邊的目的。