探討階層結構圖最少交錯邊之問題與應用－以國小一到六年級「數」概念之階層結構圖為例－

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國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

探討階層結構圖最少交錯邊之問題與應用

－以國小一到六年級「數」概念之階層結構圖為例－

研究生：廖寶貴撰

中華民國九十五年一月

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摘要

利用圖形理論，表達某個知識領域中的知識結構，以節點表示知識結構中的概念，連接兩節點的連邊代表概念與概念間的關聯性。另外，上、下的階層關係，表達概念發生的先後次序，讓整個概念構圖能充分地表達出知識的結構，使學習者了解學習次序，以期達到更佳的學習效果。但在資料量（概念）龐大的情形下常會發生（一）概念之間的連邊，有複雜的交錯現象，（二）同性質的概念群易分散。然而，這兩個問題會使得概念圖的結構鬆散或複雜得難於理解。而一般解決的方式，通常採用人為手動調整，或重新再製作一個新的階層概念圖，來達到減少交錯邊數及概念群分散的現象。本研究將利用 PM 法、BC 法及 IM 法，這三種分析概念結構圖的方法，來探討解決交錯邊數過多的問題，並將結果應用於教育上。本研究發現： 1. PM 法的計算過程過於繁雜，計算量十分龐大，就算只有少量的頂點，也必須耗費比 BC 法、IM 法還要多的時間。 2. BC 法可以減少交錯邊數，但是沒有辦法有效的將單元分類，因此相對的減少邊數有限；但是在階層數為 2，每階層之頂點數為 4 個以內時， BC 法會有比 IM 法較佳的效果。 3. IM 法在選擇法則中，若發生因條件相同而只好任選其一進行放置時；在任選的過程中便可能因此而使結構圖的交錯邊增加，而未達到 IM 法的最佳情況。 4. 透過減少交錯邊的技術，應用於數概念之階層結構圖後發現結構圖可以分出乘除法結構、加減法結構、數的表徵、小數結構以及分數的結構，五個群組。

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A study about the applying of the least number of crossing edges to the hierarchic figure

Abstract

We used the graph theory to show the knowledge structure in a certain system, where vertices correspond to elements of the systems and edges correspond to relations among the elements. Moreover, the hierarchy

shows the order of concepts, and can be expected to improve the study status. .However, if there are a lot of concepts in the hierarchy, then it would be produced the following two problems；

(1) to produce a lot of crossing edges, (2) to scatter the similar concepts.

These two common phenomena will make concepts to loose organization or must be difficult to understand. Generally, the two problems are solved by making another new hierarchy structure artificially. Under thus motivation, our research is to use the PM method, the BC method and the IM method to

investigate the effectiveness of these three methods. And we apply the algorithm to the unit of “number” in the education field.

We find the following results;

1. the process of computation in the PM method is too complicated, and the amount of calculating is also very huge,

2. the number of crossing edges in the BC method can be reduced, but the vertices of denoting similar concepts can not be categorized effectively, 3. the choose rule in the IM method has some defects that if there are many

vertices has the same conditions, than you must make a random choice; the process of choice, it may increase the crossing edges, and has not reached

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the best situation of the IM method,

4. the application to the unit of “number” in the education field establishes five groups, namely multiplication and division structure, addition and subtraction structure , the form of the figure, decimal structure and the structure of the rational number, five groups.

Key words：vertices、hierarchy、group、Penality minimization method、 Barycentric method、Illustrative mapping method

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目次第一章緒論………1 第一節研究動機………1 第二節研究目的………3 第二章文獻探討………4 第一節階層圖之基本定義………4

第二節 Penality minimization method………10

第三節 Barycentric method………17

第四節 Illustrative mapping method………23

第三章實例應用與比較………30

第四章結論與建議………36

第一節結論………36

第二節建議………37

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第一章緒論

第一節研究動機長久以來，認知及教育心理學界都一個基本假設：要增進某領域的知識，就要了解該領域內重要概念間的互相關係。(卓樹樣，2005) 余民寧教授提出，學習者的先備知識和所欲學習之概念間的關係，是構成有意義學習的重要因素。（余民寧，民 86）是故，無論要對任何一個領域的知識做有意義的學習，除了必須對該領域的概念有充分的了解，還必須了解概念間的相互關係，而透過概念構圖便是一個很實用的方法。概念構圖是將一組概念做系統化的分類，將相近、有關聯的概念做連結，並且依據學習次續將概念圖階層化。因此，透過概念構圖不但可以觀察出概念間的關係，也可以了解各個概念的學習次序。概念圖在教育上，已經開始被廣泛的應用，除了在課程編制上，各版本的教師手冊編制有「教材地位圖」，概念圖也開始被使用在教學及評量上。高雄市立左營國中，林瑞文老師將概念圖引入理化科的教學中，引導學生學會自修的能力，從自製概念圖的過程中，學習摘取重點（概念）、了解重點與重點之間的關連性（連邊），他認為「概念圖是一種學習的工具，畫圖的過程就是學習的歷程」（林瑞文，2002），利用繪製概念圖，可以讓學生在過程中更加熟悉該課程的內容；除此之外，教師也在學生繪製的概念圖中，了解學生的學習結構，發現學生的迷思概念，藉此做出有效的補救教學。除了在教學上，概念圖可以有效的了解學生的學習狀況之外，也有很多的學者認為，紙筆評量的方式，只能粗略的了解學生的學習成就，無法真正的了解學生在學習過程中出現的問題，因此，將繪製概念圖列入評量中，以期能夠透過分析學習者的概念圖給予評斷。

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關性，是一個可以使學習達到事半功倍的做法。最早應用結構圖於兒童學習上的是 1971 年在康乃爾大學研究兒童科學概念的 Joseph D. Novak， Novak 發現，應用概念構圖的技術，可以使資料更有系統，也可以藉此紀錄知識狀況及其變化情形（Novak，1990），但是由於資料量過於龐大，也將導致概念圖十分雜亂不易閱讀；一份概念圖中，若是概念之間的關係十分複雜，會導致概念間的關連線產生很大的交錯量，是故減少交錯邊數的技術，變得十分重要。簡單的解釋概念圖，即是利用圖形理論，表達某個知識領域中的知識結構，以節點表示知識結構中的概念，以連接兩節點的連邊代表概念與概念間的關聯性，另外以上、下的階層關係，表達概念發生的先後次序，讓整個概念構圖能充分地表達出知識的結構。階層概念圖通常能有效的表達某一領域的知識結構；但是如上述所言，在資料量（概念）龐大的情形下常會發生（一）概念之間的連邊，有複雜的交錯現象。假如一個概念圖中有過多的交錯邊現象，會降低對概念圖的可被理解及閱讀之特性。（二）同性質的概念群易分散。概念圖的本意，是為了讓學習者對所學的教材有更透徹的理解；若是概念圖中，同性質的概念產生分散的現象，則概念圖就失去了可以使學習者追蹤概念的功能。這兩個問題，會使得概念圖的結構鬆散或複雜得難於理解。而一般解決的方式，通常採用人為手動調整，或重新再製作一個新的階層概念圖，來達到減少交錯邊數及概念群分散的現象。林瑞文老師在實施概念圖教學後一個月，調查學生對於繼續使用此種方法教學的意願，其中有三分之ㄧ的學生表示不贊成，而不贊成的原因是「太費時」，林老師的教學中，只採用國中理化中少數的幾個章節來繪製概念圖，其中的概念已經算是很少，要做出一張概念圖已經是很費時了，更別說對於龐大的概念量；如果對於龐大的概念量，也必須在出現問題的時候，就採用手動的方式做修正

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或是重新繪製，恐怕不符合經濟效應；因此，Sugiyama, Tagawa & Toda 在 1981 年提出 Barycentric method（簡稱 BC 法），來解決交錯線過多的問題；但是，雖然很有效的解決了交錯線過多的問題，對於概念分散的問題，卻仍沒有完善的解決辦法；故日本學者 Takeya 於 1993 年提出

Illustrative mapping method（簡稱 IM 法），利用概念的重要度，同步的解決了概念間交錯線過多的問題，及同性質概念的分散問題。第二節研究目的大量的資料造成交錯邊數過多，使得結構圖無法達到易於理解的效果；這樣的問題，在過去的數年中，有非常多的學者嘗試解決這個問題。本研究的主要目的便是針對解決交錯邊數的兩個主要的方法進行探討，並企圖對其做改善，以期能使結構圖有最佳的可讀性。主要目的有下列幾項：利用隨機模擬的階層結構圖，比較 PC 法、BC 法及 IM 法之成效。實際應用於現行數學教材中比較重心法與 IM 法的成效。

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第二章文獻探討

本研究的最終目的，是希望可以了解減少交錯邊數的方法；因此，蒐集國內外關於介紹階層圖的文獻，以期可以更加了解階層圖的結構，進而探索減少交錯邊數的方式。重要文獻如下：第一節階層圖之基本定義一、定義部份定義 2.1.1 以 G(V，E)表示一有向圖，其中 V 表示為階層圖 G 中有限個頂點所成的非空集合，E 表示為階層圖 G 中有限個有向邊所成的集合。定義 2.1.2 將 V 被分割為 n 個真子集，即 j) i V (V V V V V= 1∪ 2 ∪L∪ n i ∩ j ≠φ， ≠ ，其中稱為第 i 階層的點集合，n 為階層數。 i V 定義 2.1.3 每一個元素e=(vi,vj)∈E，其中vi∈Vi且vj∈Vj滿足 i<j，且每個邊在集合 E 中皆為唯一。因此，亦將 n 階的階層圖表示為 G(V，E，n)。定義 2.1.4 若 n 階階層圖為正規階層圖，則滿足： (1) 集合 E 被分割為 n-1 個子集， j) i E (E E E E E= 1 ∪ 2 ∪L∪ n-1 i ∩ j ≠φ， ≠ ，其中，，i=1,2,…n-1 j i i V V E ⊂ × 若V_i有 k 個元素

{

v₁,v₂,_L,v_k

}

，則σ :

{

v₁,v₂,_L,v_k

} {

_a v₁,v₂,_L,v_k

}

為一個一對一且映成的函數，即σ 可以說是中所有元素的一種排列。i Vi i V 2 1 i =v v Lv σ ，其中V_i 為第 i 階層的頂點個數。因此，又可將 n 階階層

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圖表示為 G(V，E，n，σ )，其中σ =(σ₁,σ₂,_L,σ_n)。定義 2.1.5 在 G(V，E，n，σ )中，定義連結矩陣如下： (1) M(i) =M(σ，_i σ_i₊₁)為一個V_i ×V_i₊₁ 的矩陣；其中，矩陣的行與列之元素分別為σ 與_i σ 。 _i+₁ (2) 令 i V k 1 i =v Lv Lv σ 及 1 i V 1 1 i+ =w LwlLw + σ 。則為矩陣中的一個元素，記為。其中，稱為連結矩陣。 ) w , (v_k _l (i) M m(i)kl ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = i k i k (i) k E ) w , (v 0 E ) w , (v 1 m l l l _當當 _(i) M G 的連結矩陣 g 則為 (1) (2) (n) n 2 1, ) M M M g(σ σ _Lσ = _L 定義 2.1.6 令R(u)為可到達集，收集由 u 出發可以到達的所有頂點。 R(u)=

{

v v是由u 出發可到達的頂點

}

定義 2.1.7 令A(u)為先行集，收集以 u 為終點的所有頂點。 A(u)=

{

v u 是由 v出發可到達的頂點

}

定義 2.1.8 令 R 為可到達矩陣，， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n1 ij 1n 11 r r r r r R L O N M M N O L 其中 ⎩ ⎨ ⎧ = 的可到達頂點不為，的可到達頂點為， v v 0 v v 1 r i j i j ij 定義 2.1.9 令 A 為鄰接矩陣，

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， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn n1 ij 1n 11 a a a a a A L O N M M N O L 其中 ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = E ) v , (v 0 E ) v , (v 1 a j i j i ij _，，範例：以圖(1) 為例，可以計算出其連結矩陣如下：圗(1)計算連結矩陣之範例則可以計算出連結矩陣如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 0 1 b 1 1 1 1 a f e d c M(1) ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 f 1 0 0 1 e 1 1 1 0 d 0 0 0 1 c j i h g M(2) ， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 j 1 0 1 i 0 0 0 h 0 0 1 g m k M(3) l 二、定理部分定理 2.1.10 假設第 i 階層的元素集合為 v={a、1 a、2 a3...an}，第 i+1 階層的

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元素集合為 u={ }，則第 i 層與第 i+1 層間的交錯邊數為 m 3 2 1 b b ...b b、、

(

r(v),r(u)

)

K

∑ ∑ ∑ ∑

= = + = = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 -m 1 k m 1 k j 1 -n 1 n 1 i (i) ik (i) jm m α α α 證明：考慮 (i)，即考慮第 i 層與第 i+1 層的交錯邊數。 M 首先，其連結矩陣為 nm n2 n1 n 2m 22 21 2 1m 12 11 1 m 2 1 m m m a m m m a m m m a b b b L M O M M M L L L ，其中。 ⎩ ⎨ ⎧ ∉ = ∈ = E b a if 0 m E b a if 1 m j i ij j i ij 若與有連結，則不論其他頂點是否有連邊，皆不會影響交錯邊數。 a1 b1 若與a₁ b₂有連結，則 (m₁₂=1)。若與有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ， )有交錯的交錯邊數為

∑

。 1 b a、₂ a₃...a_n 1 a b₂ = n 2 i i1 12m m 若與a₁ b₃有連結，則(m13 =1)。若與有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ， ) 有交錯的交錯邊數為

∑

。 1 b a、₂ a₃...a_n a₁ b₃ = n 2 i i1 13m m 若與有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ， ) 有交錯的交錯邊數為。 2 b a、₂ a₃...a_n a₁ b₃

∑

= n 2 i i2 13m m 是故，若與a₁ b₃有連結，則將產生交錯邊數為

∑

。 = = + n 2 i i2 13 n 2 i i1 13m m m m 若與有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ， ) 有交錯的交錯邊數為。 1 b a、₂ a₃...a_n a₁ b₄

∑

= n 2 i i1 14m m 若b2與a、2 a3...an有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ，a1 b4)

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有交錯的交錯邊數為

∑

。 = n 2 i i2 14m m 若與有連結，則會產生交錯邊，故可計算出與邊( ， ) 有交錯的交錯邊數為。 3 b a、2 a3...an a1 b4

∑

= n 2 i i3 14m m 是故，若與有連結，則將產生交錯邊數為。 1 a b₄

∑

= = = + + n 2 i i3 14 n 2 i i2 14 n 2 i i1 14m m m m m m 同理可推得，考慮若與a1 bm有連結，則(m1m =1)，則交錯邊數為。

∑

= = = = + + + + n 2 i 1) -i(m 1m n 2 i i3 1m n 2 i i2 1m n 2 i i1 1mm m m m m ... m m m 由 1.~5.可以計算出，若與a1 bk有連結，則將產生的交錯邊數為 m 1,2 k m m m m ... m m m m m m ... m m m m m m m m m m m m 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 1j n 2 i 1) -i(m 1m n 2 i i3 1m n 2 i i2 1m n 2 i i1 1m n 2 i i3 14 n 2 i i2 14 n 2 i i1 14 n 2 i i2 13 n 2 i i1 13 n 2 i i1 12 … = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + + + + + + + +

∑ ∑ ∑

∑

= = + = = = = = = = = = = = ，再考慮a₂與b_k有連結，可得交錯邊數為

∑ ∑ ∑

= = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 2jm m 依相同的方式，考慮與有連結時的交錯邊數分別為，其中 α a b_k

∑ ∑ ∑

= = + = = = + = = = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m-1 1 k m 1 k j n 2 i ik 1)j -(n 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 4j 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 3jm m m ... m m m 、 1,2...n = α 由 6.~8.，將所有交錯邊數加總，可得總交錯邊數為

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

= = + = = + = = + = = = + = = = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 -m 1 k m 1 k j 1 -n 1 n 1 i ik j 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 1)j -(n 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 2j 1 -m 1 k m 1 k j n 2 i ik 1j m m m m ... m m m m α α α 引理 2.1.11 由定理 2.1.10 可計算得階層圖 G(V，E，n，σ )的總交錯邊數為K(g)=K(M(1))+K(M(2))+ +K(M(n-1))。 L

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定理 2.1.12 在一個 n 階的階層圖 G(V，E，n，σ )中，若 i V i k i 2 i 1 i =v v Lv Lv _i σ ， i=1,2,…n。則頂點與 i-1 階的連結數為，稱為頂點的上連結數，可以計算出 i k v C_ikU C_ikU vi_k

∑

= = Vi-1 1 j 1) -(i jk U ik m C ，k=1,… V_i，i=1,2…n。頂點與 i+1 階的連結數為，稱為頂點的下連結數，可以計算出 i k v L ik C L ik C i k v

∑

+ = = i1 V 1 (i) k L ik m C l l ，k=1,…V_i ，i=1,2…n-1。

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第二節 Penality minimization method

Penality minimization method（簡稱 PM 法），考慮一個 2 階層的階層圖，利用找尋適當的元素排列，使交錯邊數達到最少的一種方式。一、定義部分定義 2.2.13 令連結矩陣 M 中，P 為所有列元素的排列所成的集合，Q 為所有行元素的排列所成的集合。則令p_i∈P，Q_i =

{ }

q_i 為能使 ( , ) min ( _i, _k) k i i q K p q p K ∀ = 之 Q 的最大子集，其中∀q_k∈Q，∀q_i∈Q_i 令q_j∈Q，P_j =

{ }

p_j 為能使 ( , ) min ( _k, _j) k j j q K p q p K ∀ = 之 P 的最大子集，其中∀p_k∈P，∀p_j∈P_j 定義 2.2.14 p(u,v)=k(r(v),r(u))−k(r(u),r(v))，若，則稱為 penalty 值。 )) ( ), ( ( )) ( ), ( (r v r u k r u r v k > p(u,v) 定義 2.2.15 Penalty 圖：令σ，₁ σ₂為已經搭配好的元素排列，且g(σ，₁ σ₂)=M為已知，則 Penalty 圖 H=(W, F, p)。其中 1 V W =

{

(u,v) W W K(r(u),r(v)) K(r(v),r(u))

}

F = ∈ × < N 為所有自然數所成的集合 N F p: → 定義為p(u,v)=k(r(v),r(u))−k(r(u),r(v))，∀(u,v)∈F 定義 2.2.16 強連結：若{ a, b, c, d, e}為一組強連結，則此 5 個頂點以任意點為起點，必可以到達另外 4 個頂點。則稱之為一組強連結。定義 2.2.17 A 為鄰接矩陣，令A=A+I，則A的永久擴展值（permanent

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expansion）定義為

∑ ∏

∈ = + + = S m 1 i i (i))-1 m ( A σ σ ，其中σ 為定義 2.1.4 中所定義的頂點排列，S 為所有可能排列所成的集合。定義 2.2.18 Boolean Function：布爾算術是一種二元變數及二元常數做邏輯運算的運算方式，對每個二元變數給定特定值(0 或 1)後，經過代數表示式中邏輯運算的結果，Boolean Function 會得到一個值(亦為 0 或 1)。每個變數 A 有補全的性質:補集A。例如,可變物"A"為 0, 那麼 A 的補集為 1。布爾記法：使用A表示互補分布,如: If： A=0 Then：A=1； If： A=1 Then：A=0 定義 2.2.19 定義為在階層圖 G 中，有雙向循環的邊集合。L 定義為在階層圖 G 中，有雙向循環的點集合。若 G 中沒有雙向循環的情形，則稱 G 為非循環圖。定義 2.2.20 令Γ為一個函數，定義為Γ(x)=

{

y(x,y)∈E，x、y∈V

}

。定理 2.2.21 吸收法則：(e₁ +e₂)e₂ =e₁e₂ +e₂ =e₂，其中e_i為布林變數。證明： (1) 考慮e₁=1，e₂=1 則(e₁+e₂)e₂ =(1+1)*1=1*1=1=e₂ (2) 考慮e₁=1，e₂=0 則(e₁ +e₂)e₂ =(1+0)*0=1*0=0=e₂ (3) 考慮e₁=0，e₂=1 則(e₁ +e₂)e₂ =(0+1)*1=1*1=1=e₂ (4) 考慮e₁=0，e₂=0

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故(e₁+e₂)e₂ =e₁e₂ +e₂ =e₂是成立的。二、使用 PM 法減少交錯邊數的步驟：步驟 1. 製作 Penalty 圖 H，計算 Penalty 值，若 p( u, v)=q，則作 u －＞ v。步驟 2. 找尋所有的強連結步驟 3. 在包含超過兩個頂點的每個組成部分裡，有向邊的反向消除循環，使得 Penalty 值的總數被減到最小。目的在將循環圖 H 還原為點的排列次序。步驟 4. 根據步驟 3 所修改後的 H 決定的順序。在決定的順序時，主要根據 H 圖的路徑，取最長路徑之順序，若有路徑等長者，則取 penalty 值總和最大者。 1 V V₁ 範例：考慮G=

{

V,E,2,σ

}

，其中 2 1 V V V = ∪

{

1,2,3,4,5,6,7,8

}

1 = V

{

, , , , , , ,

}

2 a b c d e f g h V = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ) , 8 ( ), , 8 ( , ) , 8 ( ), , 7 ( ), , 7 ( ), , 6 ( ), , 5 ( ), , 5 ( ), , 4 ( ), , 3 ( ), , 3 ( ), , 3 ( ), , 3 ( ), , 2 ( ), , 2 ( ), , 1 ( ), , 1 ( ), , 1 ( ), , 1 ( g f b d b f g c e h f e a e c h e d c E ) , (σ₁ σ₂ σ = 12345678 1 = σ abcdefgh = 2 σ 首先，利用上述條件將階層圖繪出

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利用連結關係，計算出連結矩陣 0 1 1 0 0 0 1 0 8 0 0 0 0 1 0 1 0 7 0 0 1 0 0 0 0 0 6 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 4 1 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 h g f e d c b a ，且可以算出總交錯邊數為 69。少交錯邊數的工作：接著運用 PM 法的 4 個步驟，進行減步驟 1：利用p(u,v)=k(r(v),r(u))−k(r(u),r(v))計算 penalty 值，當 p( u, 則繪製箭號由 u 至 v。繪製完成 v)=q 如(圖三) 圖(二) Penalit 範例原圖

(20)

圖(三)H 圖步驟 2：在 H 中可以獲得 4 組強連結： } （四）。驟 3：寫出圖的可到達頂點，則則 { 1, 3, 4, 5, 8 }、{ 2 }、{ 6 }、{ 7 取{ 1, 3, 4, 5, 8 }做出子循環圖，如圖圖(四)一組強連結之子循環圖（四）的鄰接矩陣，其中若 i 為 j aij =u，並以 penalty 值為其次方數；若 i 不為 j 的可到達頂點，步

(21)

0 aij = 。故可以得到 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 u 0 0 0 8 0 0 0 0 u 5 u 0 0 u 0 4 u 0 0 0 0 3 0 0 u u 0 1 8 5 4 3 1 A 7 6 5 4 3 2 2 1 ，以及 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + = 1 u 0 0 0 0 1 0 0 u u 0 1 u 0 u 0 0 1 0 0 0 u u 1 I A A 7 6 5 4 3 2 2 1 ，接著計算永久擴展值 7 6 4 3 2 7 6 5 2 6 7 3 2 1 S m 1 i i (i))-1 u u u u u u u u u u u u u m ( A+ =

∑ ∏

= + σ 到 ) e e e e )(e e e e )( e e e (e f 3 7 6 5 6 7 2 3 4 6 7 2 1 + + + + + + + + + = 經過 2 1 5 4 2 1e e e e e e e e e e f = + + + + + 圗中 + + ∈ = σ 。以布林變數取代為，並且將加法與乘法互換。則會得 2 + 吸收法則的計算之後，可以得到 e 。步驟 4：藉此，可以得到的最佳排列為交換 H 5 連至 1(或 8 連至 5) 圗 k i u ek_i e 7 6 3 2 5 3 2 i V 的方向，即將 H 中的方向改為 1 連至 5，5 連至 8。根據e ，可₆ 以得到下列三種排列方式： σ = 7 2 1 4 3 8 5 6 o 根據，可以得 r 7 2 1 4 3 8 6 5 or 7 2 1 4 3 6 8 5 7 e 到下列二種排列方式：

(22)

o 經過計算之後， r 7 2 5 1 4 3 6 8 可以得到σ = 7 2 1 4 3 8 5 6 時，可以產生最少的加錯邊數，交錯邊數為 48。將重新排列之後的結構圖繪製如下：圖(五)經 PM 法重新計算排列之階層圖

(23)

第三節 Barycentric method Barycentric method（簡稱 BC 法），重心法利用重心位置，重新對元素排列，利用重心由小到大的排序產生σ ，即根據B₁ ≤B₂ ≤_L≤B_n，則 n 2 1v v v _L = σ 一、定義部分定義 2.3.22 以一個向量y=(y₁,y₂_Ky_m)而言，重心位置的計算定義為

∑

= = ⋅ = _m 1 j j m 1 j j y y y j D 。定義 2.3.23 定義連接矩陣的行重心、列重心為：列重心： V i 1 (i) k V 1 (i) k R ik k 1,2, V m m B 1 i 1 i L l l l l l = ⋅ =

∑

+ + = = _，行重心： V i 1 1 (i) k V 1 (i) k C i k 1,2, V m m k B i i + = = ₌ ⋅ =

∑

L l l l l l ，定義 2.3.24 定義一個二階層圗的的上重心、下重心為：上重心： U i ik V 1 j 1) -(i jk 1 -i j U ik k 1,2, V C m ) x(v B 1 -i L = ⋅ =

∑

= ，下重心： L i ik V 1 (i) k 1 i L i k 1,2, V C m ) x(v B 1 i L l l l l = ⋅ =

∑

+ = + ，其中， U為上連結數，為下連結數。 ik C L ik C

定義 2.3.25 重心次序生成矩陣（Barycenter-ordered generating matrix, 簡稱 BGM）Tm：

(24)

(2) 的列元素及行元素是收集所有可能的連結情形，故元素個數有個。將元素編號為 m T 1 -2m

{

r1,r2Kr₂m_-₁

}

(3) 定義對應(ri,rj)的矩陣值為， tij ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < + = ) r , k(r ) r , k(r 0 ) r , k(r ) r , k(r -) r , k(r ) r , k(r t i j j i i j j i i j j i ij 若，若，若，。定義 2.3.26 可以觀察矩陣上三角部分的元素，若上三角部分的元素是”-“，則這組重心位置的排序是不協調的，無法使交錯邊數達到最少，故定義已表示在的上三角矩陣中”＋”的個數、”－“的個數及”0”的個數。 m T 0 -N N N、+ 、 T_m 定義 2.3.27 定義 100 N N N N 0 m m -m -m m × + + = ₊ δ 100% 1) -1)(2 -(2 N 1 -m m -m × = 為協調比率，即可將交錯邊數減至最少的比率。範例：考慮，為二階階層結構圖，則，故給定矩陣之行元素、列元素為

{

}

。 2 T 22 -1=3 r , r , r₁ ₂ ₃ 其中，有三種排列的可能：(0,1)、(1,1)、(1,0)分別計算這三種排列的重心質為： i r 2 1 0 1 2 1 0 D_(0,1) = + × + × = 、 1.5 1 1 1 2 1 1 D_(1,1) = + × + × = 、 1 0 1 0 2 1 1 D_(1,0) = + × + × = ，因為 1< 1.5< 2，故令 =(1,0)、 =(1,1)、 =(0,1) 1 r r₂ 3 r 以二進位計算 =(1,0)=2、 =(1,1)=3、 =(0,1)=1。 r₁ r₂ r₃ 接著計算交錯邊數，因為k(r₁,r₁)=k(r₁,r₁)，所以t₁₁ =0 因為k(r₁,r₂)<k(r₁,r₂)，所以t₁₂ ="+"，故t₂₁ = "-" 因為k(r₁,r₃)<k(r₁,r₃)，所以t₁₃ ="+"，故t₃₁ ="-"

(25)

因為k(r₂,r₂)=k(r₂,r₂)，所以t₂₂ =0 因為k(r₂,r₃)<k(r₂,r₃)，所以t₂₃ ="+"，故t₃₂ ="-" 根據上述條件，可以將T₂計算出， 0 -1 0 -3 0 2 1 3 2 T2 + + + = 二、使用 BC 法減少交錯邊數的步驟：首先，說明一個基本原則，及幾個符號的使用：原則：在進行 BC 法的過程中，每一個步驟做完都要計算其交錯邊數，若發現交錯邊數並沒有減少，且行列的重心值順序亦未改變的話，則恢復原本的排列，不進行交換。：表示最佳矩陣，即行元素、列元素的排列是最佳情形。 * M ：表示最初的矩陣，即原圖的連結矩陣。 0 M * K ：表示連結矩陣為M*時的交錯邊數。：表示經過 i 次運算後的連結矩陣。 i M ) (M_i R β ：表示利用計算出列重心後，將列元素依照列重心由小至大重新排列後的矩陣。 i M ) (M_i C β ：表示利用計算出行重心後，將行元素依照行重心由小至大重新排列後的矩陣。 i M ) (M R_R _i ：表示利用計算出列重心後，若有列重心值相同的形況，則交換重心值相同的兩列後所得到的矩陣。 i M ) (M RC i ：表示利用計算出行重心後，若有行重心值相同的形況，則交換重心值相同的兩行後所得到的矩陣。 i M 將所有步驟分為兩個階段：

(26)

步驟 1：令 *即為，計算 M M₀ K*值。步驟 2：令M1 ≡βR(M0)，計算K1值，並修正M1之行重心值。步驟 3：若K1< * K ，則重新定義M*為， 1 M K*為K₁。步驟 4：令M₂ ≡β_C(M₁)，計算K₂值，並修正M₂之列重心值。步驟 5：若K₂< * K ，則重新定義 *為， M M₂ * K 為K₂。步驟 6：若發現計算重心值時，有兩個重心值相同時，往下一階段進行，若沒有，則回到第二步驟，重複進行。第二階段（出現相同的重心值）步驟 7：如果在步驟 5 中，若修正列重心值後出現兩個相同的列重心，則令M3 =RR(M2)，計算K3值，並修正M3之行重心值。步驟 8：此時，如果行重心值皆不相同，且並未依照大小排列，則回到階段一，若是行重心值出現有相同大小的重心值，則進行步驟 9。步驟 9：若修正行重心值後出現兩個相同的行重心，則令，計算值，並修正之列重心值。 ) (M R M4 = C 3 K4 M4 步驟 10：此時，如果列重心值皆不相同，且並未依照大小排列，則回到階段一，若是列重心值出現有相同大小的重心值，則回到步驟 7 重複進行。範例：圖(六)BC 法範例原圖

(27)

步驟 1：寫出連結矩陣 3.0 2.5 4.0 2.0 2.3 B 3.0 1 0 1 0 1 d 3.7 1 1 0 1 0 c 3.3 1 1 0 0 1 b 1.5 0 0 0 1 1 a B i h g f e M C i R ik 0 l = ，K(M₀)=14 步驟 2：將列重心值按大小次序排列，得到 3.0 3.5 2.0 2.5 2.0 B 3.7 1 1 0 1 0 c 3.3 1 1 0 0 1 b 3.0 1 0 1 0 1 d 1.5 0 0 0 1 1 a B i h g f e M C i R ik 1 l = ，K(M₁)=11 步驟 3：將行重心值按大小次序排列，得到 3.5 3.0 2.5 2.0 2.0 B 4.0 1 1 1 0 0 c 3.3 1 1 0 0 1 b 2.3 0 1 0 1 1 d 2.0 0 0 1 0 1 a B h i f g e M C i R ik 2 l = ，K(M₂)=9 步驟 4：出現相同行重心值，故進行階段二的步驟，將 e、g 交換位置，得到 3.5 3.0 2.5 2.0 2.0 B 4.0 1 1 1 0 0 c 3.7 1 1 0 1 0 b 2.3 0 1 0 1 1 d 2.5 0 0 1 1 0 a B h i f e g M C i R ik 3 l = ，K(M₃)=9 步驟 5：列重心值經由修正之後，並未依大小排列，故將 a、b、c、d 依重心大小排列，得到

(28)

3.5 2.7 3.0 2.0 1.0 B 4.0 1 1 1 0 0 c 3.7 1 1 0 1 0 b 2.5 0 0 1 1 0 a 2.3 0 1 0 1 1 d B h i f e g M C i R ik 4 l = ，K(M₄)=8 步驟 5：行重心值經由修正之後，並未依大小排列，故將 g、e、f、h、 i 依重心大小排列，得到 3.5 3.0 2.7 2.0 1.0 B 4.0 1 1 1 0 0 c 3.3 1 0 1 1 0 b 3.0 0 1 0 1 0 a 2.0 0 0 1 1 1 d B h f i e g M C i R ik 5 l = ，K(M₅)=7 因為行重心值與列重心值都已經按大小次序排列，故可以得到最少交錯邊數為 7。得到最後排列的圖形如下：圖(六) 經 PM 法重新計算排列之階層圖

(29)

第三節 Illustrative mapping method 一、定義部分定義 2.4.28 階層圖:

(

V,E,L,n G

)

若滿足： (1) 分割：V =V1 ∪V2 ∪...∪VN且Vi ∩Vj =φ ∀i≠ j。 (2) 階層函數：L

( )

v_i ∈N =

{

1,2,...,n

}

∀v_i∈V 且若有一個邊 E v v_i _j ∈ ，則L

( )

v_i < L

( )

v_j 。稱圖 G 為一個 n 階層圖，定義 2.4.29 正規階層圖：正規階層圖是一個階層圖，滿足：L(Vj)−L

( )

Vi =1， E v v_i _j ∈ ∀ 。定義 2.4.30 階層子圖：一個階層圖的子圖，是一個階層圖，滿足：（1）子集：子圖中的頂點集是階層圖中頂點集的子集，同時子圖中的邊集是階層圖中邊集的子集。（2）階層函數不變：子圖與原階層圖共用一個階層函數，而且所對應的函數值固定不變。定義 2.4.31 若是到只有一條步道，則稱vi vj

(

vi,vj

)

基本邊；在本研究中，不考慮非基本邊。定義 2.4.32 有向邊的重要度：

(30)

(

)

(

)

₍

₎

(

)

⎪⎪_⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∉ ∈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = E v v E v v n n v v C v v I j i j i j i j i , if 0 , if 2 1 2 , # , ，，為有向邊

(

vi,vj

)

之重要度。定義 2.4.33 點的重要度：頂點之重要度定義為所有能與頂點緊連的有向邊之重要度的總和 i v v_i

( )

_∑

{

(

) (

)

}

≠ = + = n i j j i j j i i IV V I V V V I , 1 , , 二、定理部分定理 2.4.34 對於任意的順序關係

(

vi,vj

)

，0≤I

(

vi,vj

)

≤1 證明：因為C

(

vi,vj

)

= A

( )

vi ×R

( )

vj )] ( [ # )] ( [ # )] , ( [ # C v_i v_j = A v_i × R v_j ⇒ 其中，假設A(v_i)= x，R(vj)= y n y x+ = ⇒ y x⋅ 則 = x⋅(n−x) 4 ) 2 ( 4 ) 4 ( 2 2 2 2 2 2 n n x n n xn x x xn + − − = + + − − = − = 所以 ] 2 ][ 2 [ ) ( ) (v A v n n A i × j < ○1 當 n 是偶數設n=2k ] 2 ][ 2 [ ] 2 1 ][ 2 [n n+ =k⋅k = n n ⇒ 所以 ] 2 1 ][ 2 [ ] 2 ][ 2 [ )] ( [ # )] ( [ # 0≤ A vi × R vj ≤ n n = n n+ ○2 當 n 是奇數

(31)

設n= k2 +1 ] 2 ][ 2 [ 1 ] 2 1 ][ 2 [n n+ =k⋅k+ =>k2 > n n ⇒ 所以 ] 2 1 ][ 2 [ ] 2 ][ 2 [ )] ( [ # )] ( [ # 0≤ A vi × R vj ≤ n n < n n+ 故我們可以直接說，

( )

[

]

×

[

( )

]

≤_⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤_⎢⎣⎡ + _⎥⎦⎤ ≤ 2 1 2 # # 0 Av_i Rv_j n n

(

)

[

]

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ≤ ≤ ⇒ 2 1 2 , # 0 C v_i v_j n n

(

)

[

]

1 2 1 2 , # 0 ≤ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ≤ ⇒ n n v v C i j

(

,

)

1 0≤ ≤ ⇒ I vi vj

三、Illustrative mapping method 的繪製流程

Illustrative mapping method 法的繪製，主要是反覆不停地選擇頂點及放置所選擇頂點，其整個流程如下： (一)、選擇重要度最大的概念，將其放置於中心軸上。若有兩個以上的時候，任選其中一個。 i v (二)、與概念緊連之上位或下位概念中，從中選取重要度最大的概念，將其放置於中心軸上。若有兩個以上的時候，根據下面的選擇法則來選取。 i v j v (三)、與概念或緊連之上位或下位概念中，從中選取重要度最大的概念，將其放置在中心軸上。若最大值有兩個以上的時候，根據選擇法則選取一個。 i v v_j k v (四)、若步驟三所選到之概念無法放置於中心軸時，則根據下列配vk

(32)

進行，直到全部的概念都擺放完為止。選擇法則： 1、挑選能放置於離中心軸最近的概念。 2、若步驟一中沒有離中心軸最近的概念可選取時，則選取能與連接出最多邊的概念。這裡表示已經擺放上去的概念所成的集合。 ' V ' V 3、若步驟二仍無法選出概念時，則從滿足步驟二之所有候選概念中，選取最小的概念。這裡表示概念與連結之所有的有向邊長度之總和。 m L v_m L_m v_m ' V 4、皆無法決定的時候，選擇任意一個的元素。放置法則： 1、某概念選擇放在中心軸的左邊或右邊之準則，乃看該概念放在左邊時，能與緊連之頂點的個數較多呢？還是該概念放在右邊較多來決定，選擇放在較多的那一邊。 ' V 2、若步驟一中，左右兩邊緊連的頂點個數一樣多時，則根據與這些緊連頂點連接的有向邊之邊長總和來決定，選擇放在有向邊之邊長總和最小的那一邊。 3、若步驟二中，不管放在中心軸的哪一邊其總長都一樣時，則根據該概念所要放置層級，其在中心軸左右兩邊概念個數的多寡來決定。選擇放在較少的那一邊。 4、若步驟三中，仍無法決定放那邊時，則任選一邊放置。其執行的流程繪製如圖七：

(33)

圖(七)IM 法流程

為了可以利用電腦做模擬階層圖，Sugiyama 提出了另一種 Illustrative mapping method 的計算方式，是為加權後的 Illustrative mapping method。定義 2.4.36 加權選擇重要度：在同一個階層中，以中心軸為主，分左右兩側，每一邊的頂點權重值，以位在中心軸上的頂點權重值為最大值 1，分別往兩側遞減，亦可說越接近中心軸的點，加權值越大，其加權的公式如： j j j ij N n N W = − +1。例如欲計算圖中結點的加權選擇重要度，先計算同一階層位於主軸左邊的所有頂點數 j v 4 = j N ，其所在的位置vj nj =3，所以的加權選擇重要度值vj 2 1 4 1 3 4 = + − = ij W 。定義 2.4.37 加權位置重要度

(34)

放置頂點位於同一側時，加權值取正值；反之，頂點與放置頂點位於異側時，加權值取負值，其加權公式如下： j j ij N n sign W* = 。例如，當選擇頂點後，如何計算放置頂點要放置在主軸的左邊或右邊的加權位置重要度？以圖三為例，當頂點和位於同一側時，sign 取正號＋，同時計算與有連邊的頂點之加權位置重要度，在圖三中只有與相連，所以頂點的加權位置重要度為 i v vi i v v_j i v v_j vi i v 4 3 * =+ ij W 。同時為了讓選擇法則及放置法則能以程式執行運作，將上述的選擇及放置法則修改如下：選擇法則：（1）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

，其中 ≠ = + = ' , 1 , , n i j j ij i j j i i IV V I V V W V I j j j ij N n N W = − +1 （2）

( )

∑

{

(

) (

)

}

≠ = + = n i j j i j j i i IV V I V V V I , 1 , , （3）在子圖中，計算在相鄰頂點的堆疊裡，每一頂點 V 對子圖中的頂點連接的頂點數。（4）相鄰頂點的堆疊中，每一頂點 V，在原先階層圖中的重要度值。（5）相鄰頂點的堆疊中，每一頂點 V，在原先階層圖中的連接頂點數。放置法則：將選出來的頂點 V，預放於階層子圖中的主軸之左邊及右邊，同時計算下列的參考值。（1）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

≠ = + = ' , 1 * , , n i j j ij i j j i i IV V I V V W V I （2）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

≠ = + = ' , 1 , , n i j j i j j i i IV V I V V sign V I （3）在子圖中以中心軸為基準，分別計算左、右兩側頂點與頂點 V

(35)

的連接邊數。

（4）在子圖中以不越過中心軸為基準，分別計算左、右兩側頂點 V 可到達的頂點數。

（圖八）為一正規階層圖，實際置入 Illustrative mapping method

演算法中，經過重新排列頂點次序後，所繪製成（圖九）。

圖(九) 經 IM 法重新計算排列之階層圖圖(八)IM 法範例原圖

(36)

第三章實例應用與比較

在研究過程中，研究者將許多隨機模擬的階層結構圖應用在上述的三種分析結構圖的方法中，並加以做比較。但是這樣的比較只能探究出 IM 法在減少交錯邊數上，有較好的成效，但是無法得知是否在減少過程中不會分散概念。因此，便企圖以教材做分析，觀察其概念群聚的效果。在研究中，以康軒版國小一到六年級教材中與「數」概念有關的單元為例，依照下列的步驟繪製概念階層結構圖：首先將教材單元分析取得，並且依照教科書的單元順序給予編號，視為階層結構圖中的頂點，如表 1 所示。接著依照年級做階層的區分，一年級為第一階層，六年級為第六階層，將屬於該年級的頂點繪製與該年級的階層上。再根據教科書中的教材地位圖判定其概念間是否有關聯，若有關聯則給予連邊。將繪製出的概念階層結構圖視為原圖，再根據上述的方法分別對原圖做分析。

(37)

表 1 國小數概念-單元分析 1 1/1 數數看 31 7/5 分數 2 1/3 排順序、比多少 32 7/6 除法 3 1/5 分與合 33 8/1 整數的乘法 4 1/7 數到 20 34 8/3 小數 5 1/8 加和減 35 8/5 概數 6 2/1 數到 50 36 8/6 整數除法 7 2/2 加和減(一) 37 8/8 整數四則應用 8 2/4 加和減(二) 38 8/9 分數的加減 9 2/5 數到 100 39 9/1 整數四則 10 2/9 兩步驟的加減 40 9/3 數列與圖形序列 11 3/1 200 以內的數 41 9/4 分數乘法 12 3/2 二位數的加減(一) 42 9/6 因數與倍數 13 3/4 二位數的加減(二) 43 10/1 估算與小數乘法 14 3/7 幾的幾倍 44 10/3 數量關係 15 4/1 二位數的加減 45 10/5 整數四則 16 4/3 乘法(一) 46 10/6 等值分數 17 4/4 乘法(二) 47 11/1 數的十進結構 18 4/5 分分看 48 11/2 因數與倍數 19 4/7 統計圖表 49 11/4 分數的加減 20 4/8 分數 50 11/5 分數的乘法 21 5/1 2000 以內的數 51 11/6 小數的乘法 22 5/3 三位數的加減 52 11/8 比、比值與成正比 23 5/4 乘法 53 11/9 分數的除法 24 5/6 除法 54 12/1 分數除法 25 5/8 分數 55 12/2 小數除法 26 6/2 乘與除 56 12/3 比率、百分率及成正比 27 6/5 分數的加減 57 12/6 以符號代表數 28 6/7 小數 58 12/7 分數四則應用 29 7/1 10 萬以內的數 59 12/8 等式與數量關係

(38)

根據步驟 1~3，可以繪製出原圖，如下圖

1

2

3

4

5

6

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圖(十)「數」概念之階層結構圖-原圖根據原圖，可以計算出總交錯邊數為 338 個。觀察原圖發現交錯數十分繁雜，這樣的階層結構圖並沒有辦法將「易於解讀、易於理解」的效果展示出來；因此，我們先利用 BC 法對原圖分析、重組。可以得到下面的階層結構圖。

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圖(十一)「數」概念之階層結構圖-經 BC 法計算排列的圖根據圖(十一），這是經過兩次疊代所得到的階層結構圖，經過計算可得到總交錯邊數為 132 個。觀察圖(十一)發現交錯數已經大量減少，並且在已經有些許分群的效果，接著利用 IM 法對原圖分析、重組。可以得到下面的階層結構圖。

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圖(十二)「數」概念之階層結構圖-經 IM 法計算排列的圖根據圖(十二)，這是經過 IM 法的計算重新調整頂點位置後得到的階層結構圖，經過計算可得到總交錯邊數為 121 個。觀察圖(十二)可以發現交錯數比經過 BC 法所調整過的階層結構圖的交錯邊數還少，除了交錯邊數的減少之外，更佳的特點是，圖(十二)的結果在概念分群上，有明顯的群聚效果，我們將頂點還原為單元名稱便可明顯的觀察出其群聚的效果。

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58 54 50 49 51 56 55 47 53 60 48 52 57 59 分數四則應用分數除法分數的乘法分數的加減整數乘法與小數乘法比率、百分率及成正比小數除法數的十進結構比與比值速率因數與倍數除法以符號代表數等式與數量關係 46 43 40 42 39 45 44 41 等值分數估算與小數乘法分數小數整數除法整數四則數量關係圖形與數 31 36 37 38 33 32 30 35 34 29 分數分數的加減概述小數整數四則運用除法乘法整數的乘法數列 10 萬以內的數 27 25 28 22 24 26 23 21 分數的加減分數小數三位數的加減除法乘與除乘法 2000以內的數 19 15 13 12 18 14 16 17 11 20 分數二位數的加減二位數的加減（二）二位數的加減（一）分分看幾的幾倍乘法（一）乘法（二） 200以內的數 1000以內的數 10 8 7 4 3 1 2 5 6 9 兩步驟的加減加和減（二）加和減（一）加和減分與合數數看排順序、比多少數到20 數到50 數到 100 圗(十三)「數」概念之階層結構圖-還原單元名稱

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第四章結論與建議

第一節結論在研究過程中發現： 1、PM 法的計算過程過於繁雜，計算量十分龐大，就算只有少量的頂點，也必須耗費比 BC 法、IM 法還要多的時間。在使用上，較不符合經濟效益。 2、BC 法可以減少交錯邊數，但是沒有辦法有效的將單元分類，因此相對的減少邊數有限；但是在階層數為 2，頂點數為 4 個以內時， BC 法會有比 IM 法較佳的效果。 3、IM 法在選擇法則中，常發生因為數個頂點重要度相同，因而只好任選其一進行放置；在任選的過程中便可能因此而使結構圖的交錯邊增加，而未達到 IM 法的最佳情況。 4、在探討使用 IM 法後的階層圗中，仍有些交錯邊是可以透過肉眼觀察、手動排列就可以再繼續減少的；故研究者推測，是由於在 IM 法的使用中，依照重要度的排列，強迫使相關度高的概念(頂點) 聚合；因此，會造成某些頂點在排序過程中被強制定位，因此產生交錯邊。 5、由於 IM 法在聚集來源相同的群組時，相對的解決交錯邊過於密集的問題，因此計算使用 IM 法後的階層圖中的交錯邊數，比重心法的交錯邊數少了 11 個，更有效的達到減少交錯邊的目的。 6、透過減少交錯邊的技術，應用於數概念之階層結構圖後發現結構圖可以分出乘除法結構、加減法結構、數的表徵、小數結構以及分數的結構，五個群組。

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第二節建議在研究中，大部分的範例都只採用 2 階層的結構圖，但實際層面上，大部分需要整理、排列的階層圖都是多階的；因此，在使用上建議以 IM 法做階層結構分析，有較佳的群組效果。在使用 IM 法時，建議使用加權重要度作為判斷的標準，較不易出現重要度完全相同而必須任選的情形。

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探討階層結構圖最少交錯邊之問題與應用－以國小一到六年級「數」概念之階層結構圖為例－

國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授： 胡豐榮 博士