CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer)演算法

CORDIC 介紹

在西元1959 年 Jack E. Volder 提出CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer)演算法是，是用來做一些數值運算，例如三角函數、乘法、除法、二

接著將( 4-1)改寫為

1 個角度累加器去得到方向序列輸出

d ，此角度累加器(Angle Accumulator)數學方

_i 程式可表示為下式: 種叫做 Rotating Mode，另一種則是 Vectoring Mode。這兩種模式在本論文的實現 中都會用到。Rotating Mode 是給將輸入向量旋轉一個給定的角度，再 Vectoring Mode 則是將原本輸入的向量，經由不斷的旋轉並轉至 x 軸之上。

¾ Rotating Mode

在頻率估測當中，在已經估出頻率偏移角度的情況下，我們要對之後的每 一個取樣值估頻率補償，也就是對取樣值做旋轉。在 Rotating Mode 中，我們先 讓角度累加器的初始值為欲旋轉的角度，並在每個疊代當中，試圖讓角度累加器

[ ]

經由這樣的機制，得到原本輸入訊號的角度(phase)與大小(magnitude)。與 Rotating Mode 不一定的地方，在於它會試著讓疊代

y 的值為 0，以便讓旋轉後的向量對

_i

角度，又因為我們並不需要算出輸入訊號的大小

(magnitude)

，所以並不需要計算

A

n

。

不管是

Rotating Mode

或是

Vectoring Mode

，在每次疊代中，旋轉角度都

會有其最大限制，這個限制與 i 的起始位置有關，其最大旋轉角度的限制如下

:

1 1 狀況。首先我們針對 Rotating Mode 來做模擬，並針對論文主題中的頻率補償方 面，也就是向量的旋轉做模擬。假設輸入訊號為 1+i，旋轉角度為

3 / 2

π ，那麼輸 出訊號應該為 1-i 才對。由圖 4-3 中，我們可以看到，x(i)與 y(i)隨著 i 的增加慢 慢的逼進 1 與-1，這邊注意 x 與 y 的起始值 x(0)、y(0)，原本應該都是 1 才對，

但在圖上為-1，這是因為旋轉的角度大於π (為

3 / 2

π )，所以我們已經先旋轉了一 個π 角度了，變為 x(0)=-1，y(0)=-1。而在 z(i)方面也逐漸變為 0，印證之前在 Rotating Mode 中所說的 z(n)會趨近於 0。

圖 4-3 CORDIC Algorithm with Vector Rotate (Rotating angle =

3 / 2

π )

假若輸入訊號仍為 1+i，如果旋轉角度為 4.93(約為 282.468 )，會發生什麼 情形呢?我們從圖 4-4 中，可以看到當 i 很大時，不論是 x(i)、y(i)或 z(i)都無法貼 上它們應有的值，但是還蠻接近的，這是因為這個角度稍稍超過了所能旋轉的臨 界值。這個臨界值是從可( 4-14)中看出，最大能旋轉的角度為 1.7433，由於之後 我們可以透過預先旋轉角度π ，所以最大能旋轉的角度為

1.7433 4.8849 279.884

π

+ = = 。不過這個問題不會造成我們的困擾，因為大於這

個角度的話，我們可以扣掉

2

π ，也就是將範圍限定在 π

−

與π 之間即可，或是改 變 i 的初始值(如 0 改為-1 或-2)等。

圖 4-4 CORDIC Algorithm with Vector Rotate (Rotating angle = 4.93)

接著討論在 Vectoring Mode，並針對論文主題中，估測頻率補償時的角度來 做模擬。假設輸入訊號為 1-i，預期估出的角度應該是

−

π

/ 4

(-0.7854)。我們由圖 4-5 可以看到，隨著 i 的增加，預求的角度 z(i)也慢慢貼近-0.7854，而 y(i)也如同 之前所提到的，在 i 很大時會趨近於 0。在 Vectoring Mode 並不像 Rotating Mode 中旋轉角度要小於 4.8849 的限制，因為這邊所算出來的角度，都定義在

−

π與π 之間。

由圖 4-3 與圖 4-5 可以看出，CORDIC Algorithm 的收斂速度還蠻快的，大 概在 i=6~8 之間就可達到收斂的效果，我們就以這個經驗法則來做為之後實作的 參考。

圖 4-5 CORDIC Algorithm with Angle Calculation (1 – i)

實作電路設計

在頻率估計中，我們必須先算出需要補償的角度，圖 4-6 為其架構圖，當 i 為 0 時，多工器(multiplexer)選擇初始值

x 、

₀

y 與

₀

z ，當 i 大於 1 之後，多工器

₀ 選擇由加法器運算出來的結果

x 、

_i

y 與

_i

z 。d

_i i由

y 的正負號來決定，進而影響

_i

z ，

_i 在這裡我們關心的只有

z 的最終值，依照之前的討論，我們取出

_i

z 做為最後的角

₆ 度。

±

±

± di

−

di

di

−

圖 4-6 Iterative CORDIC structure

算出補償的角度之後，就是以補償的角度來對輸入訊號做旋轉。如果依照 圖 4-6 的架構的話，必需提高七倍的 clock rate 才行，這時我們可以利用 pipeline 的方式來設計，如圖 4-7 所示，

z 為旋轉的角度，而

₀

x 與

₀

y 是欲旋轉向量的實

₀ 部與虛部。

z 的運算由查表(LUT，Look Up Table)即 ROM 而來，而其正負號來

_i 用來控制每個加(減)法器該加還是該減。

x 與

₀

y 再經過七級的旋轉之後，即完成

₀ 了頻率補償的動作了。

± ± ±

± ± ±

± ± ±

± ± ±

± ± ±

± ± ±

± ± ±

圖 4-7 Pipeline CORDIC structure

在文檔中 IEEE 802.11n 基頻接收機設計與實現 (頁 49-58)