第三章 研究方法
第二節 Copula 方法及其定理之介紹
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本文主要是想研究不同國家再面臨突如其來的衝擊是否會產生蔓延效果，我 們就必須探討此等關係究竟是由一個國家直接傳染到另一個國家，還是兩個國家 產生相互影響的作用，甚至是三個以上不同國家之間的交互作用，為了要明確解 釋蔓延效果，文中採取動態分析並將關聯結構(copula)的概念導入模型裡面，以 確認不同國家間的蔓延效果。
第二節 Copula
關聯結構模型早期是被運用在統計分析上，近幾年則廣泛地運用在其他不同 的領域，尤其是財務工程上。一般而言，關聯結構模型的運用主要分成三個部分:
風險管理、價格訂定以及結構相關分析。首先運用關聯結構模型在風險管理上的 文章是 Roncalli et al.(2001)，文中，選擇 Gaussian-copula 和 Student-T-copula 來估 計資產組合的風險值。關聯結構模型運用在財務商品上的訂價則有 Ruicheng et al.(2009)使用關聯結構模型模型來訂定 CDO(collateralized debt obligation)的價格，
這是一般最常使用關聯結構模型的文章。本文主要則是著墨在結構相關分析這個 方向，關聯結構模型運用在結構相關分析可參考 Longin and Solnik(2001)使用 Gumbel copula 來檢定不同國家的股票市場是否存在相關性，Hu(2006), Steven and Ng(2009)也曾運用混合的(mixed)copula 模型來探討不同國家股票市場與房地產 市場的結構相關，Lai and Tseng(2010)也曾利用 Gaussian copula 與 Clayton copula 建構 Mixture Copula 來估計中國與七大工業國股市間的一般相關性 (regular dependence)與極端相關性(extreme dependence)，該文所得到的實證結果發現到中 國與其他股市同步崩跌的機率相當低，換句話說，可能隱含著中國可以做為全球 股票投資人的資金避風港。
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第三章 研究方法
第一節 Contagion 之測度檢定
關於檢定是否發生 contagion，本文採用 Bradley et al.(2005)所介紹的方法。
其對 X 和 Y 之間的關係假設如下:
Y = m(X) + σ(X)ε
ε~(0,1)且 cov(ε, X)=0，因此，可以導出當 X=x 時，Y 和 X 的相關係數為:
ρ(x) = σXβ(x)
√σX2β2(x) + σ2(x)
σX為 X 的標準差，β(x) = m′(x)，m(x) = E(Y|X = x)，σX2 = Var(Y|X = x)。
定理 1.當以下情況發生時，表示 X 對 Y 有蔓延效果 ρ(xL) > ρ(xM)
xM = FX−1(0.5) 為 此 分 配 的 中 位 數 ， FX(x) = Ρ(X ≤ x) of X and xL = FX−1(0.025) 為此分配的下四分位數。
檢定蔓延效果的步驟如下:
H0 ∶ ρ(xL) ≤ ρ(xM) (無蔓延效果) H1 ∶ ρ(xL) > ρ(xM) (存在蔓延效果) 檢定統計量：
Z＝ ρ̂(xL) − ρ̂(xM)
√σ̂ρ̂(x2 L)+ σ̂ρ̂(x2 M)
Z 為一標準常態分配。當α = 0.05，即Z ≥ z1−α = 1.645時，可以拒絕H0， 作出確實存在蔓延效果的結論。一旦檢定出發生蔓延效果的結果，則可以推測出 該區間內的資料分配可能產生尾端相關(tail dependence)的現象。因此，就能透過 不同的關聯結構模型來配適出與原始資料最符合的模型。
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第二節 Copula 方法及其定理之介紹
估計聯立系統之隨機變數本屬不易，原因之一是不同的隨機變數存在相異的 機率分配；而變數間之相關性亦是影響估計的重要因素。要聯合估計一變數集合 僅只於單一、簡單之多變量聯合分配(如常態)，若是稍有不合理想之假設條件(如 missing data)，在計算上，則會發生不易計算的結果，因此，本文主要著墨於關 聯結構模型來處理變數間相關性的問題。關聯結構理論(Copula theory)在財務經 濟之應用主要是在不同資產的價格或其報酬率之聯合分配的建構與相關程度的 衡量。由於金融波動與日俱增，且資產價格常出現特殊的變動，因此，過去對於 不同資產間的報酬設定其聯合分配為多元常態的假設似乎偏離了真實性，也將降 低了分析的可信度。透過關聯結構函數之設計，可以把單變數的各個邊際分配與 各變數之間的關聯結構形式分開考慮，經由此方法，分配的設定就變得非常有彈 性，更能接近真實的分配，藉由此較精確的描述，實證結果的可靠度也將有顯著 的提升。若要檢視不同國家及不同市場之報酬的時間序列之間在發生極端事件的 關聯時，視各個時間序列為一聯合分配，可藉由關聯結構形式，將每一時間序列 當成單變數的邊際分配。
Copula 是一個由多維變數映射至均勻分配(Uniform distribution)的函數，符 號以表示，滿足以下三個條件：
1. C:[0,1]n → [0,1]
2. C 是有著地(grounded)且遞增的函數；
3. C 的所有邊際函數Ci滿足：Ci(u) = (1, … ,1, u𝑖, 1, … ,1) u ∈ [0,1] ;
假如F1, … , Fn是𝑋1, … , 𝑋𝑛單變量的累積分配函數，則C[F1(x1), … , Fn(xn)]是表 示一多變量的累積分配函數其邊際函數為F1, … , Fn。由以上定義可以了解 Copula 是一個聯合機率分配的函數，在實際應用上，下述的 Sklar’s 定理，可謂是 Copula 最重要的定理。
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定理2：Sklar’s Theorem
若F(. )是一個 n 維的累積機率分配函數，且其邊際函數是連續函數F1, … , Fn，
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表 3.1 不同分配下的copula
Copula Distribution Parameter range Independence
Gaussian 𝐶𝑋,𝑌(𝑢, 𝑣) = ∅𝜌(∅−1(𝑢), ∅−1(𝑣)) 𝜌 ∈ (−1,1) 𝜌 = 0
Student-t 𝐶𝑋,𝑌(𝑢, 𝑣) = 𝑇𝜌,ʋ(𝑡−1(𝑢), 𝑡−1(𝑣)) 𝜌 ∈ (−1,1) 𝜌 = 0
Gumbel 𝐶𝑋,𝑌(𝑢, 𝑣) = 𝑒𝑥𝑝 ( − [(−𝑙𝑜𝑔𝑢)𝑎1+ (−𝑙𝑜𝑔𝑣)1𝑎]𝑎) 𝑎 ∈ (0,1) 𝑎 = 1
Clayton 𝐶𝑋,𝑌(𝑢, 𝑣) = (𝑢−𝑎+ 𝑣−𝑎− 1)−𝑎1 𝑎 ∈ (−1, ∞) 𝑎 → 0
表格中描述不同關聯結構函數的分配、參數範圍以及獨立的條件。