LC 振盪器分析

振盪器可視作為一個回授系統，其輸出經由回授路徑回傳至輸入端進行訊號 疊加，若在特定頻率下產生相位偏移使得整個迴路呈現出正回授現象，則輸出就 會產生振盪。常見的振盪器分析方法可分為巴克豪森準則(Barkhausen’s criteria) 分析及負電阻分析。

4.4.1 巴克豪森準則分析

考慮一個線性負回授系統，如圖 4-3 所示，分為放大器增益網路 A(jω)及回授 增益網路β(jω)，則其閉迴路轉移函式 Af(jω)可表示為：

A_f(jω) = V_o

V_i (jω) = A(jω)

1 + A(jω)β(jω) = A(jω)

1 + T(jω) (4-3)

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A(jω)

β(jω) +

-V

V

V

圖 4-3 線性負回授系統

其中，T(jω) = A(jω)β(jω)稱為迴路增益(Loop gain)，決定回授放大器的穩定性。

當訊號不斷回授進行疊加後，可得減法器輸出 V_X為：

V_X = V_i + |T(jω)|V₀ + |T(jω)|²V₀ + |T(jω)|³V₀ + … (4-4) 由式(4-4)可知，若迴路增益大於或等於 1，且為了確保回授訊號可持續增強 原訊號，其迴路相位移為180°時，則 V_X將會發散，此時輸出訊號會被不斷放大，

直到飽和，因此最後可維持穩定振盪。綜合上述結論，若一個負回授系統在頻率 為ω₀時，其所具有的迴路增益可滿足下列兩個條件：

|T(jω)| ≥ 1 (4-5)

∠T(jω) = 180° (4-6)

則電路可在ω₀處產生振盪，此即為巴克豪森準則。

圖 4-4 為 單 級 LC 放 大 器 電 路 圖 ， 採 用 共 源 極 組 態 (Common-source configuration)，其中 LC 為其負載，R₁為負載等效電阻，電壓增益為-g_m1R₁，且從 輸入到輸出端之相位偏移為180°。因此若要滿足巴克豪森準則，必須再增加一級 來讓總相位移達到360°，如圖 4-5 所示。假設 M₁與 M₂的電晶體轉導值皆相等，

則此時迴路增益大小須滿足：

(-g_m1R₁) × (-g_m2R₁) = (g_mR₁)² ≥ 1 (4-7)

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L ₁ C ₁ R ₁ V _DD

V _OUT V _IN

M ₁

圖 4-4 單級 LC 放大器電路圖

L

C

R

V

L

C

R

V

M

M

圖 4-5 兩級串接回授之 LC 調諧組態

4.4.2 負電阻分析

理想情況下，若電感阻抗 jω₀L₁和電容阻抗 1/jω₀C₁大小相等時，並聯後將產 生無窮大阻抗，輸出會在頻率為 ω0 處產生振盪。但實際電路中，電感和電容皆 存在有寄生電阻，訊號將會被衰減，如圖 4-6 所示。若是能在 RLC 電路的輸出端

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並聯一個負電阻，就能抵銷 LC 的寄生電阻效應，使輸出維持穩定振盪，如圖 4-7 所示。相對於正電阻消耗能量，負電阻須提供能量來彌補正電阻損耗，而單純以 被動元件無法達到負電阻效果，須以主動元件等效而出。因此對 LC 振盪電路而 言，可分為消耗能量之諧振電路和提供能量之負電阻電路兩部分。

L ₁ C 1 R ₁ +

-V IN

I _IN

V OUT

圖 4-6 含寄生電阻效應之 LC 調諧組態

L ₁ C 1 -R ₁

+

-V IN

I _IN

V OUT

R ₁

Active circuit

圖 4-7 負電阻式 LC 共振示意圖

一個負電阻產生器可由交錯耦合對電路來加以實現，如圖 4-8 所示，而為了 分析從交錯耦合電晶體的汲極端看入之輸入阻抗，將電路改以等效模型呈現，如 圖 4-9 所示，並在輸入端加入測試電壓源來提供電晶體之偏壓電流，其推導如下：

I_X = g_m1V₁ = -g_m2V₂ (4-8) V_X = V₂ - V₁ (4-9) 由式(4-8)可得 V1和 V2：

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V₁ = I_X

g_m1，V₂ = - I_X

g_m2 (4-10)

將式(4-10)代回式(4-9)並移項整理可得：

V_X

I_X = -( 1

g_m1 + 1

g_m2) (4-11)

若 g_m1 = g_m2 = g_m，則可知其輸入阻抗 Z 為：

Z = V_X I_X = - 2

g_m (4-12)

因此當 R₁ // (-2/g_m) ≤ 0 且電路之總電抗和為 0 時，輸出訊號即可維持穩定振盪而 不衰減。

M ₁ M ₂

C ₁

L ₁

R ₁ V _DD

Z

圖 4-8 交錯耦合對之 LC 振盪器示意圖

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V 1 V 2

+ +

-

-g m1 V 1 g m2 V 2

+

-V X

+

-I _X

圖 4-9 交錯耦合對之等效電路圖