第二章 文獻探討
2.1 MOEA/D、MOEA/D-DE 與 DE
2.1.1 MOEA/D
MOEA/D 的核心概念分為兩個部分：
其一是利用分解 (Decomposition) 的方式將多目標問題分解成多個單目標問 題，而個別子問題通常會偏重某些目標的演化，藉此讓各個子問題往不同方向發 展來獲得均勻分布的解集合。將問題分解成子問題的方法有若干種，該篇論文提 及了權值整合 (Weighted Sum Approach)、柴比雪夫法、邊界交叉法等三種方法，
其中的柴比雪夫法，可利用下式表示（假設此多目標問題為最小化問題 ）：
(2)
Subject to x∈ Ω
z
* = (z1* … zm*)T 為參考點，是由目前各目標上所找到的最佳值產生，zi*
= min{ fi(x) | x∈ Ω}，i = 1,..,m， 為一組權重值， ， 0 ， i = 1 …
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m，
= 1。上述式子代表每個子問題中的個體能以不同的方向向量去靠近參
考點。
其二為使用鄰居 (neighborhood) 的概念來進行交配選擇。個體間利用權重向 量來計算彼此之間的歐基里德距離 (Euclidean distance) 以判斷是否為鄰居：距離 越遠則越不容易被選為鄰居，同時於交配時從鄰居之中選擇親代，若產生之子代 優於親代則直接取代，反之亦然。
2.1.2 MOEA/D-DE
MOEA/D-DE 是改良 MOEA/D 缺點後加上差分演化式演算法 (DE) 的交配 機制發展出來的。MOEA/D 在演化過程初期時，相對較好的個體會快速取代所有 相對較差的鄰居，而某幾個品質較優的點總是佔有優勢，使得物種多樣性在演化 初期即被耗損，造成在目標空間中演化擴散的速度緩慢。
對於以上的問題 MOEA/D-DE 利用以下機制作為改良：在演化時對可取代的 個數有所限制，同時有機率是挑選整個族群當成鄰居，以增加演化出來的個體多 樣性。而 MOEA/D-DE 的交配方式則是參考差分演化式演算法，增強個體在演化 中的變化與可控性。
2.1.3 Differential Evolution（DE）
DE 會從族群中隨機選擇三個不同的個體 xr1、xr2、xr3 ( xr1≠xr2≠xr3)，利用 這三個個體在突變階段產生一個新的突變個體 ( , mutant vector )，由下列式子
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表示:
(4)
在嘗試個體 ( trial vector ) 中每個基因位置，則會隨機選擇突變基因或是親 代基因，可由下列式子表示:
(5)
rand ∈ U(0,1)
表示是在第 i 個子代的第 j 個基因，I 則是隨機選出的一個基因位置，使得 選到這個位置的基因必為突變基因，讓最後產生親代跟子代不完全相同。上述
DE 策略稱為 DE/rand/1/bin，其他還有幾種具不同特性的策略。
(6) 方 程 式 (6) 表 示 DE 的 突 變 基 因 ( ) 是 由 基 底 (base) 和 差 異 向 量
(difference vector ) 組成。基底和差異向量分別有各種不同的選擇方式，一般 DE 策略以 DE/x/y/z 表示，x 為基底選擇的方式，y 為差異向量個數，而 z 為交配的 方法。此種表示法可以簡單看出該 DE 策略的特性。下面就上述三個部份的種類 分別進行介紹。
2.1.3.1 基底選擇方式
一般常見的基底選擇策略分別有 rand、best、current to best 三種：rand 代表
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隨機從族群中挑一個體基因作為基底；rand to best 選擇目前最佳個體基因與隨機 個體基因中的值作當作基底，而靠近最佳解的多寡是由 F 值大小決定。 current to
best 和 rand to best 相似，相異處在使用目前被選擇用以突變之個體基因，取代 隨機個體基因。除了前述選擇策略之外，某些演算法也會特別設計一些變化：如
JADE [12] 的 current to pbest 則是挑選最佳解中百分比 ( p) 部分個體基因選擇，
為的是避免過早收斂的問題。以下三個例子分別代表基底是以 rand、rand to best、
current to best 來選擇時的情形。
rand： + 差異向量
rand to best：
+ 差異向量
current to best： =
+ 差異向量
2.1.3.2 差異向量的個數
差異向量的個數主要決定突變出來的個體基因與原本的基底個體基因差異 有多大：有著重於提升突變後差異量的突變策略，為的是增加演化的多樣性；而 有的則是求子代能出現在最佳解附近，兩者都可以由差異向量的大小來調整。每 個差異向量至少需要兩個不同個體的差異量乘以 F 的參數倍來計算，個別差異向 量間挑選的個體也都必須不同。下面兩個例子分別為差異向量個數分別為 1 和 2 的情形。
DE/rand/1 ：
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DE/rand/2 ：
2.1.3.3 交配方法
在個體中交配的基因位置是由交配方法決定，分為二項式 (binomial) 與冪次
(exponential) 兩種，分別用 bin 或 exp 表示。二項式是指所有基因都有機會進 行交配；而冪次則限於個體其中一段基因位置。
此外，F 與 CR 是控制 DE 的兩個主要參數：F 是控制突變後和親代的差 異程度，也就是前述差異向量所占的比重，值的高低關係到子代與親代差異大小；
選擇子代基因交配機率則是由 CR 值負責控制，值的高低關係到影響選擇突變基 因的機會多寡，數值越高則機率越大，反之亦然。大多數 DE 演算法的改進方向 皆是對 F 與 CR 這兩個控制參數進行調整，使其能配合演化狀態進行適當調整來 提高效能，而參數調整機制又能分為許多種類，詳見下一節 2.2。