第二章 理論和系統簡介
2.1 S IGMA -D ELTA M ODULATION (SDM)
2.1.1 SDM 之發展由來
Sigma-Delta(Σ－Δ) Modulator 是由 Delta(Δ) Modulator 演變而來的，最早是在 1952 年由 Frank de Jager 提出[23] ，主要應用在通訊領域。圖 2.1.1 為 Delta(Δ) Modulator 和功率放大的方塊圖，虛線部分即為 Δ 調變器架構示意圖。假設 代 表一個16-bit 的數位音訊， 為△調變之 1Bit 雙準位輸出(
Si
S0 ±1)[52]。
Si
SΛ
S0
e
∫
∫
圖2.1.1 Delta Modulator 和功率放大方塊圖
△調變之目的就是要使 之積分波形愈接近 愈好，當 經D 類放大器轉換 成類比訊號時，透過類比積分器與低通濾波器處理後所看到的類比訊號即為圖 2.1.2 所示的 ，△調變會在固定的頻率下透過現在的值和要追蹤輸入訊號 的 差來調變。當 超過 時就讓其 值下一個時刻為負1 表示需要往下修正，反之 則值下一個時刻為正1 表示需要往上修正。不斷修正的結果就讓 轉換為類比經 過類比積分器後的波形和 的波形一樣，唯一差別是其為類比訊號而 是數位訊 號。最後再透過類比低通濾波器以產生平滑重現類比訊號。
S0 Si S0
Sd Si
Zi Si S0
S0
Zi Zi
S i
S0
Sd
S i
Z i
圖2.1.2 Delta Modulator 操作機制
但是△調變主要是有三個缺點：(i)若輸入訊號變化太劇烈將使得輸出 積分 過後跟不上輸入訊號造成嚴重失真；(ii)當輸入訊號為直流或頻率極低時， 只會 不斷上下切換卻無法得知電壓大小，如下頁圖2.1.3 所示；(iii)類比積分器較不穩 定且佔用面積。針對這些缺點Inose 在 1962 年基於Δ調變器架構提出Σ－Δ調變 器[24]，將Δ調變器的類比積分器移至輸入端維持系統的響應，如下頁圖 2.1.4 所 示。如此不但可以使輸入訊號因透過積分而變為較平緩以外，對於輸入訊號是直 流系統也能有效的追蹤。再將其中的二個積分器與減法器做等效處理，可省下一
S0
S0
個數位積分器，即成為圖2.1.5(i)之基本一階Σ－Δ架構。
S i
Z i i
S S 0
S 0
S i
圖2.1.3 Delta Modulator 的缺點
SΛ
S0
e
∫
∫ ∫
圖2.1.4 Inose Δ調變器
(i) (ii) 圖2.1.5 (i)一階Σ－Δ調變器 (ii) 一階數位Σ－Δ調變器
圖2.1.6 n 階數位Σ－Δ調變器
若在輸入端及迴授端設計乘法係數來設定權重，即成為一完整一階數位Σ－
Δ調變器，如上頁圖2.1.5(ii)所示。而將之串接數個之後即可得到圖 2.1.6 所表示 的n階數位Σ－Δ系統，其中an、bn、…、a1、b1為乘法器的係數，可以控制迴授 路徑以及訊號路徑各階的權重。
2.1.2 SDM 之概念與系統效果
Sigma-Delta(Σ－Δ) Modulation 利用較高的取樣頻率補償訊號位元數之降低 [16]，將多位元(multi-bit)的訊號轉成一連串單位元(1-bit)的訊號輸出，使得這串單 位元訊號的頻譜在音頻範圍內(20kHz)和輸入訊號一模一樣。量化器(Quantizer)因 為固定的階層差別產生的量化誤差則透過迴圈轉移函數使其盡量移往高頻的頻 帶，如此一來這些雜訊便可以利用類比低通濾波器或是揚聲器的低通效應還原音 頻內的訊號。
在輸入訊號通過最後的量化器之前會經過多級的低通濾波器，使量化器幾乎 只針對低頻訊號作量化，其目的是希望訊號經由量化器量化後低頻成分可以非常 精確。但是迴授端會夾帶量化後的高頻成分，因此低通濾波器目的便是在訊號進 入量化器前濾掉高頻成分。故當Σ－Δ調變器的階數越高，濾除高頻的能力越強 且量化器對於低頻訊號的量子化也越精準，量化誤差也就越往高頻推，來得到更 好的訊號雜訊比(Signal-to-Noise Ratio)。但階數越高數位濾波器成本越高且夾雜
了穩定性分析的問題，因此如何在階數與規格要求取得平衡是很重要的。以圖 2.1.7 為例子雜訊有明顯被推至高頻的效果，而二階系統的量化雜訊比一階較往高 頻推擠，Noise-Shaping 的效果更加明顯，由此可以表示階數越高，效果越好。
圖2.1.7 一階與二階Σ－Δ輸出頻譜響應圖