圖 6-25 與圖 6-26 為 As/A*=0.1 之軸(Z-)方向抗壓變形圖與 von Mises 應力分佈圖，從圖中可看出平面外 Z 方向抗壓，整體均勻受力，
以致各處變形量也均等，使得相對楊氏模數只與相對面積比有關，而 與斷面幾何形狀無關，因此，對於其他相對面積比所得之結果，僅以 表 6-4 與圖 6-27 呈現，不再另繪 von Mises 應力分佈圖。從表 6-4 所 列理論值與模擬結果可知，無側向約束邊界條件時，模擬結果與理論 解是相符的，誤差 在 0.2 % 以內，所設計 的數值模型與理論解之間可 相互應證其正確性。但若在數值分析中改用側向約束的邊界條件後，
結果如表 6-5 所示，隨面積比的逐漸增加，數值結果與無側向約束邊 界條件的理論解差異逐漸加大，以對數座標表現曲線如圖 6-27。
圖 6-25、相對面積 As/A*=0.1，Z 方向抗壓變形圖
圖 6-26、相對面積 As/A*=0.1，Z 方向抗壓應力分佈圖
圖 6-27、不同邊界條件下，Z 方向相對楊氏模數之理論與數值結果
表 6-4 中，在沒 有側向約束的情況下，理論解與數值解相當吻合。
時，數值解是正確的。
變成幾乎是整個蜂窩材料承受軸向變形，而斜桿變形已不再是唯一的
圖 6-28、相對面積 As/A*=0.1，Y 方向抗壓變形圖(scale factor=3)
圖 6-29、相對面積 As/A*=0.1，Y 方向抗壓應力分佈圖
圖 6-30、相對面積 As/A*=0.3，Y 方向抗壓變形圖(scale factor=10)
圖 6-31、相對面積 As/A*=0.3，Y 方向抗壓應力分佈圖
圖 6-32、圖相對面積 As/A*=0.5，Y 方向抗壓變形圖(scale factor=20)
圖 6-33、相對面積 As/A*=0.5，Y 方向抗壓應力分佈圖
圖 6-34、相對面積 As/A*=0.7，Y 方向抗壓變形圖(scale factor=30)
圖 6-35、相對面積 As/A*=0.7，Y 方向抗壓應力分佈圖
圖 6-36、相對面積 As/A*=0.9，Y 方向抗壓變形圖(scale factor=50)
圖 6-37、相對面積 As/A*=0.9，Y 方向抗壓應力分佈圖
表 6-6、Y 方向相對楊氏模數之理論與數值結果(無側向約束) As/A* 理論值 模擬值 誤差(%)
0.04 0.000096 0.000102617 6.449 0.06 0.000324 0.000362554 10.634 0.08 0.000768 0.000786114 2.304
0.1 0.0015 0.001640739 8.578
0.04 0.000096 0.000101686 5.592 0.06 0.000324 0.000361006 10.250 0.08 0.000768 0.000704216 -9.057 0.1 0.0015 0.001560413 3.872
如果在側面邊界(重複單元體彼此間的垂直交界面)上，約束 X 方 向位移，Y 方向單軸抗壓之變形圖與 von Mises 應力分佈圖示於圖 6-38 到 6-47，數值分析的結果亦如表 6-8 所示，X 方向受力的結果則 列於表 6-9 中。從圖 6-38、6-40 可知，雖然薄壁蜂窩結構變形主要還 是來自斜桿的彎曲變形，此彎曲變形在沒有側向約束時，會產生很大 的側向變形，一旦限制它的側向移動，在斜桿部分將分攤很大的軸向 力，造成整體的勁度和強度大幅提高(圖 6-48、圖 6-49)。所以比起無 側向約束的模型，在薄壁部分數值解與無側向約束的理論解差距會高 一些。由此可以得到一個重要的訊息：有無圍束效應，對木材之勁度 與強度影響很大。此圍束效應可能來自真實圍束材料，同樣也可能來 自適當的邊界約束，例如抗壓試驗時，雖然試體周邊並沒有圍束材 料，但試體上下面受萬能試驗機的壓制，其實是沒有側向位移的(Yu et al., 2008)，其效果某種程度上等同於圍束力，尤其對小方塊試體而 言，影響更深。
當相對面積為 As/A*=1.0，且柏松比為υ=0.25時，有側向約束邊
界條件的理論解是 f 1.2 E
E
s
*
y = = ，理論解得到的相對楊氏模數與數值解
相符。修正理論解之推導過程類似式 6-1 至 6-7，只是方向稍有改變。
圖 6-38、相對面積 As/A*=0.1，Y 方向抗壓變形圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面) (scale factor=3)
圖 6-39、相對面積 As/A*=0.1，Y 方向應力分佈圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面)
圖 6-40、相對面積 As/A*=0.3，Y 方向抗壓變形圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面) (scale factor=10)
圖 6-41、相對面積 As/A*=0.3，Y 方向應力分佈圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面)
圖 6-42、相對面積 As/A*=0.5， Y 方向抗壓變形圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面) (scale factor=20)
圖 6-43、相對面積 As/A*=0.5，Y 方向應力分佈圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面)
圖 6-44、相對面積 As/A*=0.7，Y 方向抗壓變形圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面) (scale factor=30)
圖 6-45、相對面積 As/A*=0.7，Y 方向應力分佈圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面)
圖 6-46、相對面積 As/A*=0.9，Y 方向抗壓變形圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面) (scale factor=50)
圖 6-47、相對面積 As/A*=0.9，Y 方壓應力分佈圖(約束 X 方向於重 複單元體交介面)
表 6-8、Y 方向相對楊氏模數之理論與數值結果(有側向約束) As/A* 理論值 模擬值 誤差(%)
0.04 0.000096 0.010923237 99.121 0.06 0.000324 0.016526716 98.040 0.08 0.000768 0.022565071 96.597 0.1 0.0015 0.028674114 94.769
0.04 0.000096 0.010946612 99.123 0.06 0.000324 0.016634612 98.052 0.08 0.000768 0.022488143 96.585 0.1 0.0015 0.02869977 94.773
圖 6-48、不同相對密度以及不同約束條件，規則六角形蜂窩結構與 數值模擬 X、Y 方向楊氏模數
圖 6-49、不同相對密度以及不同約束條件，規則六角形蜂窩結構與 數值模擬 X、Y 方向楊氏模數(局部放大)
第 7 章 理論公式的修正
7.1 理論公式的主要誤差來源
在前一章數值模型中，t/L與As/A*之間，係採用通式(2-19)來換 算，但圖表中的理論解(Gibson and Ashby, 1997)則為僅適用於極薄壁 的式(2-20)，這是圖表中的理論解一個主要誤差來源。除此之外，文 獻中的蜂窩結構理論公式僅適用於薄壁蜂窩無側向約束的情況，且在 側向抗壓例中，僅考慮微桿件之彎曲變形，而不考慮各微桿件之軸向 變形。然而實際木材的細胞壁並不薄，而且木材的勁度與強度深受有 否圍束之影響，抗壓試驗時，木材試體受萬能試驗機的夾制，上下接 觸面並不能自由的向側邊位移，因此本研究將推導考慮軸向變形與不 同邊界約束條件的理論解，加上厚壁蜂窩數值模擬，期能更適切的描 述真實的木材微觀結構。真實的抗壓試驗，其實僅約束試體的上下接 觸面，使其不能側移，側面並沒有其他法向約束，而且內部除了結構 本身對外力的抵抗外，也沒有其他約束，所以顯然也並非是側向完全 受約束的情況。但本研究並未對真實抗壓試驗的邊界條件作精確模擬 或理論推導，只是取一重複單元(圖 7-1)，分別給予無約束側向邊界 與有約束側向邊界作分析，其所得結果可視為真實值之上下限(Upper and Lower Bounds)，真實規則蜂窩結構行為，應介於兩個極端之間。
就縱向抗壓試驗而言，理論公式採用式 2-38，就等於直接採用了 式 2-7，在無側向約束下，數值解已與之吻合，不需作任何修正。在 有側向約束下，理論公式與數值解雖有 20%的差距，但已在式 6-1 至
式 6-7 中有所解釋與修正，在此也不擬作進一步處理。首先要推導理
5.2 修正理論公式
將式(7-1)至式(7-4)代入式(7-5)可得
若為規則正六角形蜂窩結構， 30 , L ，上式可簡化為 h 加束制，使原來的平面應力(Plane Stress)變成平面應變(Plane Strain)， 則式(5-11)將改寫為
'
2
3 2
bt
5.3 結果與討論
由5.2 節所推導之理論公式若再配合式(2-19)，即可得相對楊氏模 數E1*/Es、E2*/Es與面積比As/A*之關係。圖 7-3 為使用式(7-11)所推 導理論與數值解比較之結果比較，在低相對密度情況下吻合度良好，
僅在非常厚壁區段內(約是As/A*>0.5 以上)誤差較大，畢竟上式仍受 制於Timoshenko梁理論的先決假設，值不可以太大，圖 7-5 為使用 式(7-30)推導理論與數值解，圖 7-4為使用式(7-25)與圖 7-6為使用式 (7-36)的推導理論解與數值解之比較，顯示結果所推導理論與數值結 果相當符合。
圖 7-3、不同相對密度，推導有約束的邊界條件下理論解與數值模擬 之X2方向楊氏模數
圖 7-4、不同相對密度，推導無約束的邊界條件下理論解與數值模擬 之X2方向楊氏模數
圖 7-5、不同相對密度，推導有約束的邊界條件下理論解與數值模擬 之X1方向楊氏模數
圖 7-6、不同相對密度，推導無約束的邊界條件下理論解與數值模擬 之X1方向楊氏模數
將前兩章以數值解(在X2方向受力且具X1及X3方向約束)配合抗壓試 驗與影像處理所得之材料弦向微觀楊氏模數與本章之理論解匯整在 一起，可繪成圖7-7，圖 7-8也是依此方式，差別只在於方向的不同。
無側向約束的數值解與理論解之比較則如圖7-9和圖 7-10。藉由數值 模擬的方式修正理論解所產生的誤差，可得到更精確的楊氏模數Es， 尤其是厚壁區段，數值解更具代表性。在此，四種材料各採用其個別 之平均微觀楊氏模數。如前所述，具側向維束與不具側向維束之結 果，可分別視為真實值之上下限。
圖 7-7、以數值解(在X2方向受力且具X1及X3方向約束)配合抗壓試驗
與影像處理所得之材料弦向微觀楊氏模數與修正理論解作比 較
圖 7-8、以數值解(在X1方向受力且具X2及X3方向約束)配合抗壓試驗 與影像處理所得之材料徑向微觀楊氏模數與修正理論解作比 較
圖 7-9、以數值解(在X2方向受力且具X1及X3方向約束)配合抗壓試驗 與影像處理所得之材料弦向微觀楊氏模數與理論解作比較
圖 7-10、以數值解(在X1方向受力且具X2及X3方向約束)配合抗壓試驗
與影像處理所得之材料徑向微觀楊氏模數與理論解作比較
第 8 章 結論
綜合本研究之結果、討論與未來研究方向，整理條列如下：
(1).木材雖然是蜂窩結構的一種，但結構性質仍有些許的差異，我們 依其材料的異同點條列式說明，相同處:(1)木材與蜂窩材料，彼 此都是多孔材料(2)在力學性質上，彼此都是平面外比平面上強。
相異處:(1)蜂窩材料通常會指明單一細胞的幾何形，而木材的細 胞本身為較不規則形狀(2)蜂窩材料細胞彼此間屬於較完美接合 方式，而木材為天然材料難免細胞彼此間會有缺陷出現(3)蜂窩材 料為一連通型的管狀細胞，而木材為多個管狀細胞彼此交互排列 而成。
(2).藉由影像處理技術，可求得木材細胞壁所佔之面積比 As/A*，以及 相對密度 ρ*/ρs，進而搭配理論公式或數值解求得細胞壁之微觀材 質 Es，研究發現雖然各種木材細胞壁之材質皆不同，但同種木材 細胞壁之微觀材質卻近似，巨觀上，不同年輪層材質的差異，主 要來自孔隙比率的不同。
(3).木材細胞壁材質具不等向性，縱向最強，弦向與徑向勁度或強度 大約只有縱向的四分之一到數十分之一不等。
(4).文獻中的蜂窩結構理論公式僅適用於薄壁蜂窩(例如 As/A*<0.02 之鋁蜂巢)，本研究推導出考慮軸向變形與不同邊界約束條件的理 論解，加上厚壁蜂窩數值模擬，能更適切的描述真實的木材微觀 結構。
(5).在木材尺寸效應分析中，發現尺寸越大時，楊氏模數反而越低，
使用規範中的標準試體作材料試驗，所得楊氏模數欲實際應用在 結構物設計時，應作折減，7.5cm×7.5cm×15cm 試體的軸向楊氏模 數，可比2.5cm×2.5cm×5cm 試體的試驗值降約 1~2 GPa。本研究 僅以縮尺試體進行抗壓試驗，未來可以對實尺寸試體加以研究，
並可擴及抗彎試驗，以釐清真實結構物與規範中標準試體之間的 差異性。
(6).以影像處理技術求取多孔材質的孔隙率，不失為一快速有效的量
(6).以影像處理技術求取多孔材質的孔隙率，不失為一快速有效的量