y：x 之累積機率分配值，0≦y≦1
可知其反函數為：F
x1( y ) x
如此從隨機數產生器中產生的0 至1 的隨機亂數（即y）後，經由反函數的運用則可獲 得一x隨機變數值。
b.SLEUTH模式蒙地卡羅模擬
地理模擬中蒙地卡羅模擬是其中一項有效力的工具，一個隨機模式重複執行多 次，產生一個輸出分佈來描述模式的隨機性和變化性。然而在地理統計中，沒有標準 的方法來界定一個模式中，合適或最佳的蒙地卡羅測迴次數。在隨機的基礎上，檢視 模擬結果，採用空間中所有蒙地卡羅測迴執行的平均，產生一個機率的地圖。
蒙地卡羅測迴主要為設定模式重複計算的次數。每一次執行就會初始化參數的範 圍排列，一次執行會跑蒙地卡羅測迴設定的次數，每一次蒙地卡羅模擬會從起始年後 一年到停止年。每次執行的第一次蒙地卡羅會由 RANDOM_SEED 初始化，一次模擬結束 後，開始初始化種子，接著另一次新的蒙地卡羅模擬。過程連續很多次蒙地卡羅模 擬，當一次執行後，完成蒙地卡羅測迴訂定數值，會以蒙地卡羅測迴設定次數平均模 擬 每 年 的 統 計 指 標 ， 記 錄 控 制 年 統 計 指 標 數 值 於 檔 案 avg.log 中 ； 檔 案 control_stats.log 則記錄模擬與實際控制年的各項統計指標的 Pearson R2相關。與 每一組新的參數增量增加，新的執行開始直到所有可能的參數排列組合完成。
模式中計算是從輸入圖層中建物資料的年代所決定，每一測迴是從資料起始年計 算到資料的結束年，經由多次的計算，以平均出每次計算出之成果(張永葵，2006)。
C.自我修正參數：
應用自我修正，第一個步驟是決定系統在成長或是穩定發展時期， BOOM的狀態會 發生在都市成長率超過臨界高值，代表加速成長時期，增加了都市擴張的速度。BUST 狀態會產生在都市成長率低於臨界低值時，這個時期係數會較低，減緩都市擴張的速 度。臨界低值、臨界高值兩個數值控制了跳躍式的擴張參數、新中心的擴張參數、蔓 延式的擴張參數三個擴張參數的變化(Solecki and Oliveri,2004)。
若沒有自我修正的功能，模式將會產生線性或是指數性的都市成長，自我修正參 數在模式中是形成都市成長曲線呈 S 曲線成長所不可或缺的(張永葵，2006)。
SLEUTH模式，可以自行定義另外的成長參數，例如調整坡度圖層，驅使土地在都 市成長上，更容易或不易隨著坡度變化。道路圖層可以使用加權分類，主要大道、州 際公路和公路給定值100，次要的道路給定值50，非都市網格給定值0。這些加權道路 和原本的非加權道路，主要用來分別BOOM 和BUST狀態循環是否開啟(Solecki and Oliveri,2004)。
應用於自我修正係數之計算式如下(改寫自Candau，2002)：
a.計算都市成長率(growth_rate)、都市像素百分比(percent_urban) 都市成長率
growth_rate=number_growth_pixels/total_number_urban_pixels*100 (4-7) 都市像素百分比
percent_urban=(100*(total_number_urban_pixels+road_pixels)/(total_number_pixels-road_pixels-excluded_pixels)) (4-8) 式中：
number_growth_pixels：現在成長循環中新的都市像素數量
total_number_urban_pixel：現在和之前成長循環的都市像素數量 total_number_pixel：總像素數量
road_pixels：道路像素數量用於現在都市循環
excluded_pixels：在限制發展圖層中絕對限制值的像素數量 b.BOOM 狀態：模式係數設定 1.01
若都市成長率(grow_rate)大於臨界高值(CRITICAL_HIGH)：
slope_coefficient= slope_coefficient-(percent_urban* SLOPE_SENSITIVITY) rg_ coefficient = rg_ coefficient +( percent_urban* ROAD_GRAV_SENSITIVITY) 其中若跳躍式擴散係數(dispersion_coefficient)小於其最大值(Max)：
dispersion_coefficient = dispersion_coefficient * BOOM breed_coefficient = breed_coefficient * BOOM
spread_coefficient = spread_coefficient * BOOM
式中：
slope_coefficient：坡度阻礙係數值 rg_ coefficient：道路引力係數值
dispersion_coefficient：:跳躍式擴散係數 breed_coefficient：:新擴散中心係數 spread_coefficient：蔓延係數
percent_urban：都市像素百分比
坡度敏感值(SLOPE_SENSITIVITY)：應用在坡度抵抗係數在自我修正時的常數值，模式 係數設定0.1。
道路引力敏感值(ROAD_GRAV_SENSITIVITY)：應用在道路引力係數在自我修正時的常數 值，模式係數設定0.01。
臨界高值(CRITICAL_HIGH)：都市成長率最高門檻，處於系統中 BOOM 狀態，模式係數 設定 1.3。
MAX：各係數的最大值。
c.BUST 狀態：模式係數設定 0.9
若都市成長率(grow_rate)小於臨界低值(CRITICAL_LOW)：
slope_coefficient= slope_coefficient+(percent_urban* SLOPE_SENSITIVITY) rg_ coefficient = rg_ coefficient -( percent_urban* ROAD_GRAV_SENSITIVITY) 若跳躍式擴散係數(dispersion_coefficient)大於零：
dispersion_coefficient = dispersion_coefficient * BUST breed_coefficient = breed_coefficient * BUST
spread_coefficient = spread_coefficient * BUST 式中：
slope_coefficient：坡度阻礙係數值 rg_ coefficient：道路引力係數值
dispersion_coefficient ：跳躍式擴散係數 breed_coefficient：新擴散中心係數
spread_coefficient：蔓延係數 percent_urban：都市像素百分比
坡度敏感值(SLOPE_SENSITIVITY)：應用在坡度抵抗係數在自我修正時的常數值，模式 係數設定0.1。
道路引力敏感值(ROAD_GRAV_SENSITIVITY)：應用在道路引力係數在自我修正時的常數
值，模式係數設定0.01。
臨界低值(CRITICAL_LOW)：都市成長率最低門檻，處於系統中BUST狀態，模式係數設 定0.97。
(5)UGM 成長規則(都市成長規則)
( 資 料 來 源 ： USGS Project Gigalopolis: Urban and Land Cover Modeling Available:http://www.ncgia.ucsb.edu/projects/gig/；本計畫整理)
A.自發性的擴張規則
此一行為規則是模擬一個既有的都市擴張中心以外，發展出另一個新的擴張中心 的行為條件。自發性成長定義了隨機的土地都市化發生，在像素自動機的架構中，這 代表了任何的非都市化像素，在這像素上任何時間有任一機率變成都市化。因此，無 論給定像素 U(i,j,t)在座標(i,j)時間 t 會否被都市化，在時間 t+1 時會表示成：
U(i,j,t+1) = f [ dispersion_coefficient , slope_coefficient , U(i,j,t), random ]
跳躍式擴散係數值(dispersion_coefficient)決定了自發性，總體的都市化機率，而 坡度抵抗係數 (slope_coeffiecient)決定了加權的局部坡度機率，過程是隨機的。如 果像素已經是都市化或者限制發展，它不會變動，因此轉變能力是依據像素目前的 值。
自發性的成長：與跳躍式擴散係數 (dispersion_coefficient)和坡度抵 抗係數 (slope_coeffiecient)相關。
如下圖10所示：
對於常數p值從0開始，p以1漸增，直到等於擴散值(dispersion_value)停 止循環選擇，以隨機選取像素位置(i,j)，若像素位置(i,j) 可被都市 化，像素位置(i,j)即為都市網格，產生新擴散中心成長。
圖 10
(圖片來源: USGS Project Gigalopolis: Urban and Land Cover Modeling
http://www.ncgia.ucsb.edu/projects/gig/v2/About/bkStrSimulation .htm 本計畫整理)
B.新中心的成長規則
下一個都市成長階段定義為動態的新擴散中心。這個階段決定了任何新的、自發 性都市化的像素會變成新的擴散中心。新擴散中心係數(breed_coefficient)定義了每 一個新的都市像素 U(i,j,t+1)變成一個新的擴散中心 U’(i,j,t+1)之機率，假定兩個 相鄰的像素都可用於都市化。
U'(i,j,t+1) = f [ breed-coefficient, U(i,j,t+1), U(k,l),random ]
當(k,l)是(i,j)的兩個最鄰近像素。如果像素允許變成一個新擴散中心，兩個像素相 鄰於新擴散中心像素會被都市化，因此一個都市擴散中心被定義成一個區域上有三個 或更多的相鄰都市化像素，這個步驟依據加權坡度抵抗係數和相鄰像素的可利用性造 成轉變。
新擴散中心的成長：與新擴散中心係數(breed_coefficient)和坡度抵抗係數 (slope_coeffiecient)相關。
如下圖11所示：
如果隨機整數值(random_integer)小於新擴散中心係數(breed_coefficient)，
兩個相鄰的像素可被都市化，像素位置(i,j)鄰近像素會被都市化。
圖 11
(圖片來源: USGS Project Gigalopolis: Urban and Land Cover Modeling
http://www.ncgia.ucsb.edu/projects/gig/v2/About/bkStrSimulation.htm 本計畫 整理)
C.邊緣成長規則
邊緣動態成長被定義成從已存在的擴散中心成長，繁殖了包括(t+1)這個時間階段 產生的新中心，以及更多先前建立的中心，因此，假若一個非都市像素，至少有三個 相鄰的都市像素，它有某機率也變成都市化，由蔓延係數(spread_coefficient)定 義，假定它有可能建立在像素上坡度抵抗係數(slope_coefficient)。這個邊緣成長可 描述為：
U(i,j,t+1)=f [spread_coefficient, slope_coefficient, U(i,j,t), U(k,l), random]
(k,l)為最鄰近(i,j)的像素。
邊緣成長：與蔓延係數(spread_coefficient)和坡度抵抗係數 (slope_coeffiecient)相關。
如下圖12所示：
對於所有的非邊緣像素(i,j)，若像素(i,j)是都市像素且隨機整數值 (random_integer)小於蔓延係數(spread_coefficient)，其中若至少兩個 都市相鄰像素存在，隨機選取一個非都市像素的相鄰像素都市化，則像素 位置(i,j)的相鄰像素為都市像素。
圖 12
(圖片來源: USGS Project Gigalopolis: Urban and Land Cover Modeling http://www.ncgia.ucsb.edu/projects/gig/v2/About/bkStrSimulation.htm 本計畫整理)
D.道路影響成長
最後的成長階段，道路影響成長，決定於存在的交通公共建設和最近的都市化情 形如上述步驟 1,2,3。機率由新擴散中心係數(breed_coefficient)定義，選擇新的都 市像素(時間 t+1)，在它的鄰近區尋找存在的道路。如果道路被發現在給定像素的一 個最大的半徑中(道路引力係數 road_gravity_coefficient 決定)，暫時的都市像素會 被放在最接近選定像素的道路上。下一步，暫時的都市化像素產生一個隨機的路線沿 著道路(或道路連接到原始路段)步驟數由跳躍式擴散係數(dispersion_coefficient) 決定。最後暫時的都市像素的位置視為新都市化擴散核心，如果一個相鄰像素對於暫 時的都市像素(在道路上)可用來都市化，它會發生(在可能的候選位置隨機選擇)。如 果兩個相鄰的像素對於新都市像素是可用來都市化的，它會發生(在可能的候選位置隨 機選擇)，因此創造在道路上的暫時的都市像素定義為：
U'(k,l,t+1) = f [ U(i,j,t+1), road_gravity_coefficient, R(m,n), random ]
i,j,k,l,m,n 是像素的座標，R(m,n)定義為一個道路像素，隨機的道路路程表示為：
U''(i,j,t+1) = f [ U'(k,l,t+1), dispersion_coefficient, R(m,n), random ]
(i,j)是相鄰於(k,l)的許多道路像素。定義暫時的都市像素位置在隨機路程的末端 (p,q)，新的鄰近都市擴散中心會定義成：
U'''(i,j,t+1) = f [ U''(p,q,t+1), R(m,n), slope_coefficient, random ] 兩個額外的相鄰都市像素會被加入：
U''''(i,j,t+1) = f [ U'''(p,q,t+1), slope_coefficient, random ]
(i,j)和(k,l)屬於(p,q)的最鄰近像素。以上四個階段被稱為道路行程，每一個試圖選 取一個新的都市化像素，移動到一條道路為一個新的道路行程，在任何的成長循環 中，道路行程數量是由新中心係數值(breed_coefficient)所決定。
道路影響成長：與新擴散中心係數 (breed_coefficient)、道路引力係數 (road_gravity_coefficient)、蔓延係數 (spread_coefficient)和坡度 抵抗係數 (slope_coeffiecient)相關。
如下圖13所示：
對於常數p值從0開始，p以1漸增，直到大於新中心係數值停止循環。
其中道路引力係數等於影像尺寸和道路引力係數的函數。最大搜尋數等於 最大距離，由道路引力係數所決定，用來搜尋道路像素。(i,j)是現有的 成長循環，隨機選取的都市化像素。搜尋道路從(i,j)向外直到最大搜尋 距離。如果發現道路，沿著道路隨機選取方向，依道路值和跳躍式擴散係 數決定一連串的步驟。若一個鄰近像素可用於都市化，像素位置(i,j)鄰 近像素被都市化。假定兩個像素鄰近於新都市像素，兩個鄰近於都市像素 的像素被都市化。
圖 13
(圖片來源: USGS Project Gigalopolis: Urban and Land Cover Modeling
http://www.ncgia.ucsb.edu/projects/gig/v2/About/bkStrSimulation .htm 本計畫整理)
(6)土地轉變特徵
Clarke(1997)延伸早期研究，從模擬都市發展到土地轉變影響擴張，提出三點土地轉 變特徵(以下三點整理自Clarke，1997； Candau等人，2000)：
A.狀態改變
變遷代表狀態的離散改變，假定一個地區，在一個時間中為狀態 A，在另一時間 為狀態 B，即為狀態改變發生，假定都市化驅使改變，模式中都市是一個不變的類
變遷代表狀態的離散改變，假定一個地區，在一個時間中為狀態 A，在另一時間 為狀態 B，即為狀態改變發生，假定都市化驅使改變，模式中都市是一個不變的類