第一次期中考數學(科學班)

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國立台灣師大附中 100 學年度第二學期高一科學班第一次期中考

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範圍:第二冊 2-4~第二冊 4-2 與初中數學競賽教程第 13,20、39、44 講 一、 選擇題 ：每題 5 分(多選全對 5 分，只錯 1 個選項得 3 分，只錯 2 個選項得 1 分，其餘不給分) （ ）1. 某個由正方形組成的街道如右圖所示﹐甲由<圖一>的 P 點走向 Q 點﹐乙由圖中的 Q 點走向P點﹒若甲﹑乙兩人以相同的速度取捷徑前進﹐而且在每一個分叉的路口選 擇前進或是轉彎的機率相等。求甲﹑乙二人不相遇的機率 為？(A) 19 128 (B) 99 128 (C) 109 128 (D) 119 128 (E) 129 128。 【單選】 （ ）2. 阿嘉寫信給他的女朋友友子﹐若信在中途遺失的機率為 0.2%﹐沒回信的機率為 5% ，並假設若友子回信無遺失情形。今阿嘉寄出一封信給友子﹐在已知阿嘉沒有收到回 信的條件下﹐問友子收到阿嘉的信的機率為何？（精準到小數點後第二位﹐小數點後 第三位四捨五入）(A) 0.96 (B)0.95 (C)0.94 (D) 0.93 (E) 0.92 。【單選】 ( ) 3. 附中 1296 班某次數學小考全距為 50 分，算術平均數 60 分，中位數 55 分，四分位 距 20 分，標準差 10 分，今 AJ老師將每一位同學成績乘以 0.8 後加 25 分(y0.8x25) 當作學期平時成績，則下列統計量有哪一些會在改分後變小？【多選】 (A) 全距(B) 算術平均數(C) 中位數(D) 四分位距(E) 標準差。 ( ) 4. 有三個人，每個人都有兩份工作，建築工常嘲笑音樂家體力差，音樂家和清潔工常 和小華去爬山。畫家向老師借了一本書，建築工在追求畫家的妹妹。小明欠清潔工 20 萬元。小中打乒乓球常常贏小明與畫家。他們之中有一個是律師而且沒有兩個人 有相同的工作。試問下列敘述何者正確？【初中競賽數學試題 13 講】 (A) 小華是律師 (B) 小中是清潔工 (C) 小明是老師 (D) 小中是建築工 (E) 小明是音樂家。【多選】 二、填充題：每格 5 分，共計 50 分 1. A B, 為樣本空間S之兩事件， ( ) 1, ( ) 1, ( ) 2 3 2 3 P A  P B A  P A B  ，求P A B( ' ')＝ 。 2. A B, 為樣本空間S之兩事件，P A( )0.2, ( )P B b P A, ( B)0.6，若A B, 為相關事件，求b的範 圍？________。 3. nN,且滿足 1 1 ₁ 1 ₂ 1 ₃ ... ( 1) 1 3 9 27 3 5000 n n n n n n C C C C        ，求n之最小值為何？ 。 4. 有一系統如右<圖二>﹐其每一單元都是獨立運作﹐而且每個單元正常運 作的機率是 7 10﹐則此系統能正常運作的機率為 。(化成最簡分數) 5. (x2_ 4x  3)10 除以(x  2)3 的餘式為 。 6. 將[2 a  (3b  c)3 ]6 展開﹐同類項合併整理後﹐求 a4 bc5 項的係數為 。 7. 以圓內接正 18 邊形的 18 個頂點，任意連接其中的三個頂點，形成直角三角形的機率為 ， 鈍角三角形的機率為，銳角三角形的機率為 ，則數對( , , )   ＝ 。 <圖一> <圖二>

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國立台灣師大附中 100 學年度第二學期高一科學班第一次期中考

p2 8. 自一副撲克牌中任取五張，假設每張被抽中的機率相等，則抽中鐵支的情形有 種。 （鐵支:例如抽中的點數為 A、A、A、A、J） 9. 甲、乙、丙、丁等 4 個人猜拳（剪刀、石頭、布），只猜一次，則此 4 人不分勝負之機率 為 。 10. 調查 n 個對象的兩種資料 X ﹑Y﹐將得到的資料



x y ﹑1, 1





x y2, 2



﹑…﹑



x yn, n



進行二維 數據分析﹐已知平均數X 65﹑Y 70﹐相關係數r_XY 0.8﹐Y 對 X 的迴歸直線為 0.4 44 y x ﹒若將資料轉換為U與V ﹐其中u_i 2x_i10﹑v_i  3y_i4﹐ i 1﹐2﹐…﹐ n ﹐則U 與V 的相關係數r 為_UV 。 三、計算與證明題： 共計 30 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. 請完成下列交叉列表﹐使性別與教育程度無關。（每格 1 分，共 6 分） 教育程度 性別 非大專程度 大專程度 合計 男性 27 (1) (2) 女性 (3) (4) (5) 合計 63 (6) 168 2. 一組 10 個二維數據

 

x y ﹐滿足, 10 1 20 i i x  



﹐ 10 1 100 i i y  



﹐ 10 2 1 85 i i x  



﹐ 10 2 1 1500 i i y  



﹐ 10 1 326 i i i x y  



，求(1) 此組二維數據

 

x y 之相關係數, r？【5 分】(2) 此組二維數據

 

x y, 之相關程度為何？【2 分】 (3)求這組數據Y對 X 的迴歸直線方程式為＝？【5 分】(4)利 用Y 對 X 的迴歸直線﹐預測X 15時﹐Y 的值為＝？【2 分】 3. 沈君是位圍棋新秀，去年參加全國圍棋名人大賽，從地方初選到最後名人爭奪戰，一連比賽 了 11 星期。沈君之戰績輝煌，優勝記錄是：每日至少勝一次；每星期最多勝 12 次。由此記錄可 推得在一段連續的日子裏，沈君不多不少連勝了 21 次。【10 分】【初中競賽數學試題 44 講】

【阿宗格言:努力、堅持，並永不放棄！ 】

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國立台灣師大附中 100 學年度第二學期高一科學班第一次期中考

p3 範圍:第二冊 2-4~第二冊 4-2 與初中數學競賽教程第 13,20、39、44 講 班級 座號 姓名 2007/9/6 一、 選擇題：（每題 5 分，共計 20 分） (1) (2) (3) (4) 二、填充題（每格 5 分，共計 50 分） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 三、計算與證明題： 共計 30 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. 2. 3.

【阿宗格言:努力、堅持，並永不放棄！ 】

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p4 範圍:第二冊 2-4~第二冊 4-2 與初中數學競賽教程第 13,20、39、44 講

<參考解答>

2007/9/6 一、選擇題：（每題 5 分，共計 20 分） (1) (2) (3) (4)

C

A

ADE

ABCDE

二、填充題（每格 5 分，共計 50 分） (1) (2) (3) (4) (5) 7 9 0.4 b 0.6且b0.5 22 66493 100000 2 10x 40x 39    (6) (7) (8) (9) (10)

-4320

( 3 21 7, , ) 17 34 34

624

13 27 -0.8 三、計算與證明題： 共計 30 分（請詳細列出計算過程，否則不計分） 1. ANS:

(1) 45 (2) 72 (3)36 (4)60 (5)96 (6)105

2. ANS:（1）21 0.84 25 (2)高度正相關

(3)

y102.8(x  2) y 2.8x4.4

(4)46.4

<SOL>

(1)

326 10 2 10 126 21 0.84 150 25 (85 10 4)(1500 10 100) r           (2) 0.7  r 1 高度正相關

(3)

Y對 X 的迴歸直線方程式： 10 126( 2) 2.8 4.4 45 y  x  y x

(4)

預測X 15時﹐Y的值為＝

46.4

3. <pf>：S S₁, ₂,...,S₇₇為第 1 天、第 2 天、…、第 77 天勝利的累積數， 1 2 77 1S S  ... S   12 11 132...(1) 令t_i  S_i 21,i1, 2,3,..., 77....(2)， 則1   t₁ t₂ ... t₇₇ 153...(3) S₁, S₂, . . . ,S_{7 7}及t t1, ,...,2 t 共77 154個數，但其值落在 1~153 個數中。由鴿龍原理，其中必有 2 個數相 同。S S1, 2,...,S77彼此不等，t t1, ,...,2 t77彼此不等，則Sk   tl Sl 21Sk  Sl 21 換言之，從第l1天至第k天，沈君恰連勝了 21 次。 . . .Q E D

【阿宗格言:努力、堅持，並永不放棄！ 】