數 理 人 文 38 上個世紀 80 年代以來，數學物理，特別是量 子場論和弦論，對數學的很多領域都產生了影響。 這些影響不是簡簡單單地隔靴搔癢，可以輕易地被 大多數數學家所忽視。筆者遇到很多年青的數學家 都曾經在某個時候（或正在）困惑：「是不是需要 學習一下量子力學和量子場論？」當然不同的數學 家對這些影響可能有完全不同的態度和反應。我們 想瞭解的是：「量子場論帶來的這個數學新潮流是 一個曇花一現的時尚，還是一股改變數學發展進程 的洪流？」要對這個問題做全面細緻的分析，免不 了需要進入很多數學物理進展的具體細節，這個任 務大大超過了筆者的能力。冒著主觀、片面化和簡 單化的風險，本文以不進入任何具體細節的方式， 試圖在哲學層面來解析這個潮流的根源和特點，以 期得到以上問題的一個解答。當然我們的真正目的 並不是去解答這個「膚淺」的問題，而是瞭解藏在 現象背後的深層原因，從而瞭解我們在歷史脈絡裡 的位置和時代賦予我們的機遇和使命。 數學的發展的一個原動力就是去認識我們的物理 世界。比如在希臘語裡「幾何」這個詞就是指測量 大地的意思。反過來，對物理世界的描述和深入理 解又需要數學這樣精確的語言和方法。其實從更深 的層次上看，很多數學語言都是在理解自然的過程 中被創造出來的，所以語言本身也是自然法則的一 部分。直到20 世紀中葉，數學和物理這種相互依存 的關係一直伴隨著數學發展的每一個重要時期。一 個特別值得一提的例子是牛頓的科學革命伴隨著微 積分的誕生。微積分不僅為牛頓力學，而是為整個 現代物理學提供了一個語言體系和強大的工具。如 果沒有了微積分，很難想像物理學今天會是什麼樣 子。而微積分在物理中的應用也成就了微積分本身 的大發展。一種數學理論由於在物理中的應用而被 普遍接受或被加速發展的情況屢見不鮮。除了微積 分還有一個例子就是愛因斯坦的廣義相對論之於黎 曼幾何。其實黎曼創立黎曼幾何的一個初衷就是希 望能夠把很多複雜的物理現象看成高維的非平凡的 幾何現象。愛因斯坦的廣義相對論可以看成黎曼這 一理想的完美實現 。黎曼幾何在廣義相對論發明 之後成為了數學裡面的一個主流分支，在數學裡大 放異彩，它的一個廣為人知的應用就是解決了拓撲 學裡著名的龐卡赫猜想。其實黎曼的原始思考不僅 包括了大尺度物理空間的基本要素和特徵，他還提 到小尺度上的空間有可能是離散的，而且小尺度上 的幾何基礎必須要由將來的物理來決定[1]，很難想 像這些思考發生在量子物理登上歷史舞臺的50 年前。 另外數學和物理相互依存和難以分割的關係還表 現在歷史上有很多大數學家，往往也同時是物理 學家或自然哲學家，比如牛頓、萊布尼茲、歐拉、 拉普拉斯、高斯、黎曼、龐卡赫、希爾伯特、魏爾 （Hermann Weyl ）、 馮 諾 曼 （John von Neumann） 等等。我們想強調的是數學和物理的緊密結合一直 是科學發展過程中的主流形態，然而這個主流形態 和我們今天所看到的大學教育裡面數學和物理相對 獨立的現狀非常不符，其原因是20 世紀中葉發生了 一個脫離傳統形態的現象。
淺議現代數學物理對數學的影響
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