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5 積分

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5 積分

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5.3 微積分基本定理

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3 3

微積分基本定理

微積分基本定理之所以被稱為基本定理,這個定理的重要性 在於它連結了微分學跟積分學,並且給出了微分與積分之間 明確的關係。

微積分基本定理分成兩個部分。其中的第一個部分,是處理 類似這樣的函數

其中 f(x) 是定義在 [a, b] 上的連續函數, x 是在 [a, b] 之間 的變數。

考慮到給定任意在 [a, b] 之間的數 x ,上述的積分便可以算 出一個值指定給 g(x) ,因此這樣的形式的確是一個函數。

(4)

4 4

微積分基本定理

先考慮 f(x) 是正值函數,此時 g(x) 也就代表著 f(x) 圖形底下 從 a 到 x 的面積。很自然的可以想像 g(x) 的數值是隨著 x 連續變動的。

圖一

(5)

5 5

範例一

考慮 f(x) 如圖二,定義 試求 g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5) 的值,接著刻劃 g(x) 的值。

圖二

(6)

6 6

範例一 / 解

首先由積分性質, .

接著從圖三可以看出, g(1) 是圖中三角形的 面積:

= (1  2) = 1

再來計算 g(2) ,我們便考慮 g(1) 再加上 x = 1 ~ 2 間矩形 的面積

= 1 + (1  2) = 3

圖三 (a)

圖三 (b)

(7)

7 7

範例一 / 解

接著 x = 2 ~ 3 的面積我們只能用估算的,

若以 1.3 來估計,則

對於 x

3, f(x) 為負,因此計算積分我們 需要倒扣在 x 軸底下的面積:

cont’d

圖三 (c)

圖三 (d)

3 + 1.3 = 4.3

4.3 + (–1.3) = 3.0

(8)

8 8

範例一 / 解

因此我們連接這些點,大概可以刻劃 出 g(x) 的圖形。

另外注意到,由於在 x ≤ 3 的時候,

f(x) 為正值,因此 g(x) 在 x ≤ 3 的 地方均為遞增。而在 x > 3 之後,

f(x) 轉負,則 g(x) 在 x > 3 為遞減。

cont’d

圖三 e

3 + (–1.3) = 1.7

圖四

(9)

9 9

微積分基本定理

我們再多做一些觀察。

考慮 f(t) = t , a = 0 。我們計算積分可知

反過來對積分的結果微分可得到 g(x) = x ,可以發現 g = f 。 換句話說,我們以積分 f(t) 的形式定義 g(x) ,最後得知 g(x) 是 f(t) 的一個反導函數。

若我們考慮前一個範例一之中估計得到的 g(x) ,微分之後也 大致上可以得到原來 f(x) 的圖形。

圖二

(10)

10 10

微積分基本定理

於是我們或許可以猜測,積分後得到的 g(x) ,是否跟 f(x) 的 反導函數有關係?

我們先考慮 f(x)  0 的情況,同樣定義 來試 著解釋這個現象。

為了計算 g(x) ,我們先從微分的定義來觀察:給定 h  0 ,

g(x + h) – g(x) 也就是從 x 到 x + h 之間的面積,如下右圖。

圖一 圖五

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11 11

微積分基本定理

對於足夠小的 h

我們可以觀察到 g(x+h) – g(x) 這一塊小區 域大概接近高度是 f(x) ,寬度為 h 的長方塊。於是有

g(x + h) – g(x)  hf(x)

因此

所以直覺上,我們會有這樣的事情

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12 12

微積分基本定理

從圖形上的直覺,我們大概對積分與反導函數之間的關係有 了一些感覺。事實上這件事情對任意連續的 f(x) 均成立,便 是所謂的微積分基本定理:

用萊布尼茲的符號,這個基本定理可以改寫為:

(13)

13 13

微積分基本定理

粗略的來說,微積分基本定理的第一定理表示,一個函數的 積分是原函數的反導函數。

也就是「積分」與「微分」為反運算。

(14)

14 14

範例二

求 對 x 的導數。

解:

由於 是連續函數,由微積分基本定理的第

一定理,可知道

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15 15

範例三

我們再來看一個例子,雖然 這樣形式的函數

似乎比較奇怪,但這種函數常在物理或者化學中常出現。

例如菲涅爾函數 (Fresnel function) :

是以法國物理學家 Augustin Fresnel 命名的。

這個函數第一次出現在菲涅爾在光波的散射理論之中,在現 代也能應用在最佳化路線設計當中。

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16 16

範例三

微積分基本定理的第一定理告訴我們菲涅爾函數的導數為

S(x) = sin(x

2/2)

這表示我們可以利用微分學中一次導數、二次導數檢驗來分 析 S(x) 的行為。

圖七的 f(x) 是 sin(x2/2) 的圖形,

計算 f(x) 的積分,便可以大致上刻 劃 S 的圖形。

cont’d

圖七

(17)

17 17

範例三

我們利用電腦可以計算非常多個 x 值的面積值,用來刻劃更 詳細的 S 的圖形。

圖八是更大範圍的 S(x) 的函數圖形。

cont’d

圖八

(18)

18 18

微積分基本定理

在重複一次,微積分基本定理第一部分,是知道「積分是微 分的反運算」。

接著微積分基本定理的第二部分,主要是反過來利用已知的 反導函數,來估算一個函數的定積分值。我們先介紹定理的 敘述:

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19 19

微分與積分互為反運算

(20)

20 20

微分與積分互為反運算

若已知 F

(x) = f(x) ,由微積分基本定理的第二定理可知

這個表示若我們已知一個函數 F(x) ,微分後再積分則可以得 到接近原本 F(x) 的函數,但是形式是 F(b) – F(a) ,積分上 界減去積分下界的形式。

雖然形式有點差別,不過大致上即是:積分與微分互為反運 算。

第一定理:積分便是原本函數的反導函數;

第二定理:微分後再積分會得到接近原本函數的函數。

參考文獻

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