行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
製程能力弱度指標基於多重樣本的一個貝氏可靠上界
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC94-2213-E-151-026- 執行期間： 94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日 執行單位： 國立高雄應用科技大學工業工程管理系 計畫主持人： 林谷鴻 報告類型： 精簡報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 95 年 8 月 11 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
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成 果 報 告
□期中進度報告
製程能力弱度指標基於多重樣本的一個貝氏可靠上界
A Bayesian Credible Upper Bound of Process Incapability Index
Based on Multiple Samples
計畫類別：
5
個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 94－2213－E－151－026
執行期間：94 年 08 月 01 日至 95 年 07 月 31 日
計畫主持人：林谷鴻 國立高雄應用科技大學工業工程與管理系教授
共同主持人：
計畫參與人員：
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：
5
精簡報告 □完整報告
本成果報告包括以下應繳交之附件：
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□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、
列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢
執行單位：國立高雄應用科技大學工業工程與管理系
中 華 民 國 九十五 年 八 月 十一 日
摘要
早已被製造業用來量測製程績效的製程能力弱度指標，能夠獨立地區別出製程的準確性 與精密性。當今，被收錄在品管與統計文獻探討製程能力弱度指標估計式的研究，幾乎 皆是考慮單一樣本的情況。最近，Lin(2006)考慮製程能力弱度指標基於多重樣本的估計 式，並由傳統頻率學派的觀點進行研究。本研究計畫假設製程服從常態分配，針對基於 多重樣本的製程能力弱度指標估計式，採用貝氏學派的統計觀點進行研究。推導製程能 力弱度指標基於多重樣本的一個可靠上界，計算欲達到某特定品質水準時，一個「有能 力的製程」其事後機率在各種顯著水準下的臨界值。 關鍵詞：貝氏、製程能力弱度指標、多重樣本ABSTRACT
Process incapability index, which provides an uncontaminated separation between information concerning the process accuracy and the process precision, has been proposed to the manufacturing industry for measuring process performance. Investigations concerning the estimated incapability index have almost focused on single sample in existing quality and statistical literatures. Recently, Lin(2006) considered an estimator of the process incapability index based on multiple samples, and investigated it from the traditional distribution frequency approach. In this project, investigations based on multiple samples are considered for normally distributed processes. A Bayesian approach to obtain an upper credible bound for the process incapability index is constructed. Critical values required to ensure the posterior probability reaching a certain desirable level are also calculated under various significance levels.
研究目的
製程能力指標將實際製程績效量化的功能，在任何成功的品質改善計畫中扮演著重要 而不可或缺的角色。許多被製造工業廣泛使用的製程能力指標(例如製程能力弱度指標)， 對於製程是否符合預設的品質要求提供了數值的量測。Greenwich與Jahr-Schaffrath (1995) 提出一個能夠獨立地區別出製程準確度與精密度的指標Cpp。這個被命名為製程能力弱度指 標定義如下: Cpp = 2 2 D σ + 2 2 D T) (μ− ， (1) 其中D = min{(USL - T)/3，(T - LSL)/3}，USL與LSL分別為規格上限與規格下限，T為目標 值，μ為製程平均數，σ為製程標準差。若吾人定義製程不精密指標Cip = (σ/D)2，製程不準 確指標Cia = [(μ - T)/D]2，則製程能力弱度指標可表示成Cpp = Cip + Cia。 Pearn與Lin(2001)在單一常態母體的假設下，基於一組樣本推導出Cpp的最小變異不偏估 計式(UMVUE)Cˆpp，並探討其抽樣分配與統計推論性質。Cˆpp被表示為： pp Cˆ = 2n2 D S + 2 2 D T) X ( − ， (2) 其中X = n X /n與 = 1 i i ∑= S2n ∑ni=1(Xi−X)2 /n 分別為μ與σ2的最大概似估計式(MLE)。在混合 常態模式下，Lin(2002)研究 的統計性質並進行統計推論。在不需μ = T的假設下，Lin(2004) 正確推導出C pp Cˆ pp的信賴上限並獲得比Pearn與Lin(2002)更一般性的結果。最近，Lin(2005)從 貝氏學派的觀點，在單一常態母體的假設下，建立Cpp基於一組樣本的可靠區間。 在實務上，製程的相關資訊往往來自多重而非單一的樣本。基於這個實務上的考量， Lin(2006-a)提出下列 m 組大小皆為 n 的自然估計式C~pp： pp C ~ =∑∑
= = − m 1 i n 1 j 2 2 ij D T) X ( mn 1 = 2 2 D T) X ( − + 2 2 mn D S ， (3) 其中{ Xi1, Xi2, …, Xin }是取自一個服從N(μ, σ2)分配的穩定製程，Xi = ，i = 1, 2, …, m， n / X n 1 j ij ∑= X = m X /m 1 i i ∑= ，S2mn = ∑ ∑mi=1 jn=1(Xij−X)2/(mn)。Lin(2006-a)證明C~pp為Cpp基 於多重樣本的最小變異不偏估計式，並且正確推導出 的機率密度函數(見等式(4)) 與各階動差。於等式(4)中，g pp C~ * = mnD2/(2σ2)，ξ∗ = mn(μ - T)2/σ2，0 < x <∞。 f(x) = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + Γ ξ − ξ × + Γ −∑
∞ = + 0 i * i * * ) 2 / mn ( i * ) 1 i ( ) 2 / exp( ) 2 / ( )] 2 / mn ( i [ x ) x g exp( ) x g ( 。 (4)等式(4)的函數型態非常複雜，造成了數值計算的困難。為了能夠直接對製程績效採用 假設檢定的方法進行統計推論，Lin(2006-b)以 之極限分配為基礎，建立一個信心水準近 似(1 - α)%的信賴區間上界估計式，並探討其抽樣分配在大樣本下的統計性質。然而，上述 關於製程能力弱度指標的諸多文獻，絕大多數是以傳統頻率學派的觀點進行研究。本研究 從貝氏學派的觀點，提出一個關於製程能力弱度指標基於多重樣本的貝氏程序，作為評估 製程績效的準則。 pp C~
研究結果
在單一常態母體的假設前提之下，考慮Lin(2005)所採用的事前分配π(μ, σ) = 1/σ，推 導出基於多重樣本的事後機率密度函數： f(μ, σ⏐x) = × β α Γ σ β σ − α − * ) )( ( ] ) exp[( 2 * * mn 1 * 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ − μ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − πσ 2 2 x 2 mn exp 2 mn ， (5) 其中x = { x11, x12, …, xmn }，−∞ <μ< ∞，0 <σ< ∞，α∗ = (mn - 1)/2，β∗=2[(mn)S2mn]-1。 以等式(5)為樞紐，在多重樣本資料x = (x11, x12, …, xmn) 與選定的品質水準C0之下，推 導出「製程有能力」的事後機率 p* =(
) (
)
* * * t / 1 0 * 1 * * * * 2 * * 1 * * 2 * * 1 dy y 1 exp ) ( ) y ( ) ( ) y ( b ) y ( b ) y ( b ) y ( b * * * ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ γ − α Γ γ − − +∫
α α+ Φ Φ ， (6) 其中X = m X /m 1 i i ∑= , S2mn = mi1 (X X) /(mn) n 1 j ij 2 ∑ ∑= = − , b1*(y*) = 2δ*2/[y*(1+(δ*)2)], y* = 2σ2/[∑ ∑ − ], δ = = m 1 i n 1 j (xij T)2 ∗ = | x - T|/smn, b*2(y*) = mn{[1/(t*y*)]− , γ1} ∗ = 1 + δ∗2, t* = mnC~pp/(2C0)。 Cpp基於多重樣本資料的一個100p* %信用區間為. (- ¶, C*(p* )/C~pp)。當~Cpp < C0C*(p*) 時，吾人無足夠證據拒絕「製程有能力」的宣稱，其中C*(p*)是進行製程績效檢定時所需的 臨界值。本研究計畫以實務上習慣採用的多重樣本，提出有別於傳統檢定製程績效的程序， 對製程能力弱度指標Cpp進行績效檢定。這個以實務為考量的研究計劃，將可獲得比Lin(2005) 更一般性的結果，並且為進行製程績效評估的專業人員，提供作決策時實質且更直接的幫 助。計畫成果自評
本研究計畫提出有別於傳統檢定製程績效的程序。在成功推導出「製程有能力」的事 後機率後，即可於各種常用的顯著水準下，計算檢定製程績效所需的臨界值。對於以製程 能力弱度指標Cpp進行績效檢定並且作決策的專業人員，提供了實質且直接的幫助。 本研究計畫除了開創新的學術成果之外，在實務上也提供品管從業人員一個有別於傳 統檢定製程績效的程序。此外，本研究計畫的部分結果向國際學術期刊International Journal參考文獻
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